欧拉不等式R≥2r的三种隔离简

“R≥2r”即“三角形的外接圆半径不小于其内切圆直径”,这就是著名的欧拉（Euler）不等式．     

欧拉不等式的隔离

利用三角形的高、角平分线长给出欧拉不等式R≥2r隔离的几个不等式链。     

欧拉不等式的四面体推广

定理　设四面体A1A2 A3A4 的内切球、外接球半径分别为r和R ,则R≥ 3r(A1A2 A3A4 为正四面体 ) .证明 :设O为外心 ,Ai 所对侧面的面积为Si,O到Ai 所对侧面的距离为ri(i =1 ,2 ,3 ,4) ,四面体的体积为V ,从A1作的高为h ,则R +r1≥h ,两端乘以S1,得S1R +S1r1≥ 3V ,①同理有类似的不等式②、③、④ ,① +② +③ +④得∑SiR +∑Siri≥ 1 2V .而∑Siri=3V ,V =13 r∑Si.于是有R∑Si≥9V =3r∑Si,于是R≥ 3r .欧拉不等式的四面体推广!山东省安丘市7571信箱@邹明…     

欧拉不等式的另一种隔离

本刊1995年第5期《短论集锦》介绍了欧拉不等式的一种隔离,本文介绍另一种与高有关的隔离。     

欧拉不等式的无限层隔离

在文[1]中,对著名的欧拉不等式2r≤R,给出了4个不等式链,每个不等式链各自给出了欧拉不等式的六层隔离,本文进一些步给出欧拉不等式的无限层隔离.     

一类对称不等式的另证

文[1]用拆2化1证法统一证明了《数学教学》问题解答中出现的几个问题．笔者发现，此类问题若利用不等式等号成立的条件，配凑后使用均值不等式，则会更简单．本文以文[1]中的例1、3、4、5、6、7为例，对这一类对称不等式进行证明（例2使用数学归纳法会更简单）．     

两个著名不等式的新隔离

本文以文[1]作背景,给出著名Weitzenbock不等式∑a^2≥4√3△与Euler不等式R≥2r的一个隔离．     

利用一次函数巧证不等式

在证明不等式的过程中，放缩有着极大的技巧性，有些和式不等式的证明可以利用构造函数的方法，将已知函数与一个一次函数比较，让它在某处的数值与一次函数相等，达到有效的证明．本文从近年来国内外数学竞赛中列举数例，以飨读者．[第一段]     

不等式a~2+b~2≥2ab的变形及应用

<正> 不等式a2+b2≥2ab有许多变形,利用这些变形可以简便而灵活地解答不同类型的问题. 证在不等式a2+b2≥2ab两边同时加a2+b2得     

一个优美不等式另证

秦庆雄、范花妹老师在《数学通讯》2010年第10期（下半月）给出了优美不等式．     

关于欧拉常数不等式的一个注记

本文主要研究欧拉常数的不等式,引入新变量u=y（y＋1）和函数gq＋1（y）=1/2（y＋1）-1n（1＋1/y）＋1/2y＋i=1∑q＋1（-1）^i＋1 B2i/2i[1/（y＋1）^2i-1/y^2i],利用函数gq＋1（y）性质,证明了当q=0,1,2,3,4,5时文[1]的猜想正确,改进了文[2]、[3]的相关结果。     

欧拉不等式的一种隔离

命题 设从△ABC的外接圆中截去△ABC所剩三弓形的高分别为h_1,h_2,h_3,△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R。则     

构建新不等式的一种思路

V.Ocordon曾给出了三角形的高与边长之间的不等式[1]:∑a2/h2b+h2c≥2 ① (关于△ABC三边及其边上的高的循环不等式,a、b、c为△ABC的三边,ha、hb、hc为对应边上的高,R、r分别为△ABC外接圆半径和内切圆半径)     

一个不等式的简证及拓展

在《数学教学》2010年第2期第47页《数学问题与解答》中，第783题的证明技巧性高，运算量大，不易掌握．本文给出的证明简捷明快，属通性通法，并且可进行拓展延伸，或许对读者有一定的参考价值．     

一个类欧拉隔离式的简证及推广

1问题的提出 《数学通报》2009年第2期刊出的1773号问题是：若a1,a2,a3∈R＋,求证：     

欧拉不等式的简捷证明及其推广

设△ABC的外接圆与内切圆的半径分别为R与r,则R≥2r,其中等号成立当且仅当△ABC为正三角形.这就是著名的欧拉不等式,它不仅形式简洁、优美,而且应用极为广泛,众多的三角形不等式都是其等价形式(参见文[2]).关于它的证明常见于许多书刊,如文[1]给出了其三角证法.纵观这些证明,均较繁琐.本文给出一种极为简捷的证法及其推广如下.1 欧拉不等式的简证 证明:如图 1,记△ABC的三边长分别为     

一个不等式的几种简证

问题已知a、b为正数,求证： 3√a/a＋7b＋3√b/b＋7a≥1.