擂台题(45,46)的评注

1　擂题 4 5的评注　　擂题 (4 5 ) (李建潮提供 )　注 :本刊 2 0 0 0年第 5期将本擂题作者姓名误为李建明 ,特此更正 )证明或否定 :在△ＡＢＣ中 ,有ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ ｃｏｓｎＣ≥ｓｉｎｎ Ａ2 ｓｉｎｎ Ｂ2 ｓｉｎｎ Ｃ2(ｎ∈Ｎ ,ｎ >1 )①本擂题奖金获得者是吴善和 (福建省资源工业学校 ,3 64 0 1 2 )。现刊登吴善和先生的来稿 ,作为本擂题的解答。证明 :　根据待证不等式①关于Ａ、Ｂ、Ｃ的对称性 ,不妨设Ａ≥Ｂ≥Ｃ ,则π/3≤Ａ <π ,0 <Ｃ≤π/3。不等式①等价于ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ -2ｓｉｎｎ Ｃ2 ｃｏｓｎＣ ｓｉｎ…     

擂台题(20)的评注及擂台题(24)的说明

1.擂台题(20)的评注擂题(20)已知两定点A、B与一定圆O,P为定国上任一点,用几何法(或初等方法)求|PA| |PB|的最值.(储炳南)储炳南老师将题目交给我时说:想了很久,未果.我当时确有点不以为然.现在.擂题(20)已面世一年多了,共收到解答多份、仅有一份做对了不到一半.看来     

擂台题(22)及部分据本巧设题的评注

擂题(22) (左书可提供) 本擂题仅收到4份来稿,他们都成功地举出了反例,否定了命题。本题之所以来稿极少,是因为擂题(22)是个错题。实际上,在刊该题的杂志印发过程中,供题人就来信告诉我,命题错了,但此时已无法更改,故干脆装聋做哑,静等具强烈思维批判意识的高手作稿来投。果然,时隔不久,就陆续收到了这4份来稿,最早收到的是1996.12.28,最晚的是1997.1.27。     

擂台题(44)的评注

擂题 ( 44 ) (袁金提供 )　黑板上写有 2 n 个 1 ,每一次可擦去黑板上任意两个数a和b,再写上ab 1 ,在这样操作 2 n-1次之后 ,便只剩下一个数 ,将如此所剩下的数的最大可能值记为A ,试求出A的末位数。本题收到的来稿中 ,有两份是正确的 ,按时间顺序 ,作者是刘济民 (河南洛阳郊区龙门一中 ,4 71 0 2 3。本题奖金获得者 ) ,陶家全 (湖北省襄樊市第十三中学 ,4 41 0 0 2 )。其它来稿的主要思路基本正确 ,但答题不完全。本题需要用归纳思想探明思路 ,书写较长。现综合陶家全、刘济民先生的来稿 ,作为本擂题的解答。解　不妨把擦去黑板上任意两…     

擂台题(31)的评注

（评注时间：２０００－０７－２６） 本擂台题（题见下文）刊出已有２年多了,一直未解决。现收到吕承安、赵彪（安徽阜阳红旗中学,２３６０１７）来稿,他们在利用特殊化寻找解题途径时,意外地得到了本擂题的一个反例,从而证明本擂题是不可证的,圆满地解决了该擂题,是本     

一个多项式的序列性质--兼擂题(72)的解答

贵刊2005年第2期王勇先生提供的擂题(72)如下: 题设多项式序列{fn(x)}满足:     

擂台题(48)的评注

擂题 (4 8) (陆伟成提供 )　设ａ、ｂ、ｃ∈ (0 ,2 ) ,且ａ2 ｂ2 ｃ2 ａｂｃ=4 ,求证 :ａｂｃ≥ (2 -ａ2 ) (2 -ｂ2 ) (2 -ｃ2 )≥ (4ａ2 -ａ4 -2 ) (4ｂ2 -ｂ4 -2 ) (4ｃ2 -ｃ4 -2 )。本擂题共收到解答 1 3份 ,其中正确的 8份 ,按时间顺序 ,作者分别是黄军华 (长沙市湖南师大附中 ,4 1 0 0 0 6,本擂题奖金获得者 ) ,杨学枝 (福建福州 2 4中 ,3 5 0 0 1 5 ) ,张顺 (黑龙江宾县教科所 ,1 5 0 4 0 0 ) ,令标 (安徽当涂青山中学 ,2 4 3 1 5 1 ) ,杨彪 (湖南城步茅坪镇中学 ,4 2 2 5 0 3 )。来稿中所采用的方法主要有 :三角法、代数法。黄军…     

满足定条件的三内角平分线不一定构成三角形--兼擂台题(51)的解答

本擂题是相当困难的。沈先武先生利用变换 ,将三角形不等式转化为代数不等式 ,再用反例对擂题 (5 1 )作出了否定的回答 ,从解决过程中可以看到 ,这样做需要相当的运算能力和坚韧不拔的毅力 ,成功确实来自于勤奋和汗水。沈先生是本擂题的获奖者。为了推动初等数学研究 ,本刊期待读者提供优秀的未解决的初等数学问题。欢迎读者设擂、攻擂。     

三角形垂心的一个有趣性质——兼擂题(121)的解答

<正>《中学数学教学》2019年第1期上的擂题(121)是赵忠华老师提供的一个有趣的几何问题:擂题(121)设H是△ABC的垂心,J为BC的中点,点M,N在边BC上,BM=CN,且B,M,N,C四点按此顺序排列.过H且垂直于HM的直线交AB于点E,过H且垂直于HN的直线交AC于点F,则JH⊥EF.下面我们用坐标法证明这个命题.     

擂台题(47)的评注

擂题 ( 47) (刘永春提供 )　在△ＡＢＣ中 ,证明或否定4 02 7<ｓｉｎＡｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＢｓｉｎＢ ｓｉｎＣ ｓｉｎＣｓｉｎＣ ｓｉｎＡ <4 12 7 ①本擂题共收到 38份解答 ,就解决问题而言 ,绝大多数解答是正确的。按时间顺序 ,前五位作者分别是陆伟成 (上海东沪职业技术学院 ,2 0 0 1 2 6,本擂题奖金获得者 ) ,华漫天 (浙江慈溪实验中学 ,31 5 30 0 ) ,林新群(福建仙游二中 ,35 1 2 0 0 ) ,褚小光 (江苏吴县外贸公司 ,2 1 5 1 2 8) ,陈胜利 (福建南安市五星中学 ,362 34 1 )。本擂题中不等式①是否定的 ,反例很多 ,仅举一例…     

有奖解题擂台(122)

<正>问题设a、b、c、d>0,且abcd=1,证明:(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥(16)/3(a+b+c+d-1).第一位正确解答者将获得奖金100元.擂题提供与解答请电邮至guoyaohong1108@163.com,解答认定时间以电子邮件时间为准.欢迎广大读者踊跃提供擂题.     

擂题(116)的评注

<正>本刊2018年第2期有奖解题擂台(116)如下:题已知a、b、c为正实数,用初等求差法证明:a³b+b3b+b³c+c3c+c³a≥a3a≥a²b2b²+b2+b²c2c²+c2+c²a2a².1评注评注人收到攻擂解答4份,其中2份来稿是正确的,按来稿的时间顺序,作者依次是:杨续亮(安徽省岳西县汤池中学,246620,2018年4月19日),宋庆(江西永修县一中,330304,2018年5月14日),本擂题的获奖者是杨续亮老师.     

有奖解题擂台(123)

<正>问题设R、s分别是△ABC的外接圆半径、半周长,证明:■其中∑表示循环和.第一位正确解答者将获得奖金100元.擂题提供与解答请电邮至guoyaohong1108@163.com,解答认定时间以电子邮件时间为准.欢迎广大读者踊跃提供擂题.     

擂台题(30)的评注

擂题(30)已知在六边形ABCDEF中,AB∥DE∥CF,BC∥EF∥AD,CD∥AF∥BE,且S△ACE=7.求六边形ABCDEF面积的最大值.(程立虎提供)本题的奖金当属韩文美(江苏、张家港市中等专业     

两道擂题的等价性及其加强

贵刊2002年第2期擂题(54)(严复卓供题)为: 擂题(54):在△ABC中,求证.     

擂台题(35)的解答

擂题(35)如右图所示,欲建一粮仓,已知其内部体积V一定,h、R、H均为变量,试确定h/R和H/R的值,使其表面积最小,即用料最省.     

一个四元条件代数不等式的证明——兼擂题(122)解答

<正>本刊2019年第2期刊登了赵忠华老师提供的擂题(122)如下:问题设a、b、c、d>0,且abcd=1,证明:(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥■(a+b+c+d-1).本文给出擂题的证明.为证明擂题,先证明四个引理引理1设a、b、c、d>0,则有(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab).证明设待证不等式左右之差为M,则     

擂题(49)的评注

擂题(49)(吴伟朝提供)设R是由全体实数组成的集合,函数f:R→R对于任意的x、y∈R,都有:     

有奖解题擂台(128)

问题设a、b、c、R、r分别为△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径.证明:23+22r27R-6r≤ab+ccos2A2+bc+acos2B2+ca+bcos2C2≤98.第一位正确解答者将获得奖金100元.擂题提供与解答请电邮至guoyaohong1108@163.com.解答认定时间以电子邮件时间为准,欢迎广大读者踊跃提供擂题.     

擂台题(26)的评注

擂题(26)在锐角△ABC中,设m=cosA cosB cosC,求证:(1 m)~3≥27(cos~2A m)(cos~2B m)(cos~2C m).