第28届IMO候选题及解答(续完)

12.在欧氏平面上取1987个点,使得每两点间的距离为无理数,每三个点构成一个面积为有理数的非退化三角形,这可能吗? 13.用数码{0,1,2,3,4}可以组成多少个相邻数码正好差1的n位数?     

两道IMO试题的血缘关系

(Ⅰ)判断并证明:是否能够在半径为1的圆周上选取1975个点,使得其中任意两点间的直线距离都是有理数.(17届IMO第5题) (Ⅱ)证明:对于任何自然数n≥3,在欧氏平面上存在一个以个点的集,使得每一对点之间的距离是无理数,并且每三个点构成     

关于祖冲之图形的一些注记

1.第五届初中“祖冲之杯”数学邀请赛有一道有趣的题目: 定义平面上有n(n≥3)个点,如果其所有两点间的距离取z个不同的值,若z=[n/2],那么由这n个点及其任意两点的连线所构成的图形,叫做n个点的祖冲之图形,请画出所有4—6个不同的四点的祖冲之图形。对一般祖冲之图形,严桂光作了初步探讨,显见正n边形的n个顶点及其两两连线组成n个点的祖冲之图形。除此之外的祖冲之图形称为奇异的祖冲之图形。[1]中证明对于n≥4的偶数及形为6k+1(k≥l)的奇数     

探索、发现、论证(下)

（本讲适合初中） 2 案例2：领悟不同问题的共同实质 例2—1 平面上有n（n≥2）个点，其中无三点共线，在每两点间连一条直线．问一共可以作多少条直线？[第一段]     

关于λ_n=maxA_iA_j/minA_iA_j的下界

一、平面上任给n个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比maxA_iA_j/minA_iA_j记为λ_n,关于λ_n的下述讨论: 1.λ_n≥2~(1/2)/2[n~(1/2)] [1]中没有注意到函数[x]在x为整数处的不连续性,所以[1]中其实只对n不是完全平方数时证明了结论(见[1]中小文注)。 2.λ_n≥n/3~(1/2) [2]中原题为 maxP_iP_j≤(n/3)~(1/2)minP_iP_j。此不等式显然不成立。如取P_1、P_2,使P_1P_2     

利用公式d=|·|/||求距离

“距离”是立体几何中的两大度量(即角与距离)之一,传统的解题思路是“一作、二证、三计算”.立体几何中的“八大距离”,除球面距离及两点间的距离外,其余六种距离都与垂直有关,即与点在直线或点在平面上的射影有关.但有时点的射影的位置难以确定,这给求距离时的作图带来了很大困难.在学习了空间向量后,利用向量的方法求距离可以大大简化解题过程.公式d=｜a粌·n粓｜｜n粓｜表示a在n上的投影的长度,可利用其求“八大距离”中的三个基本距离:点到直线的距离,点到平面的距离,异面直线间的距离。一、求点到直线的距离求点P到直线b的距离:设A是…     

关于外测度的一个注记

直观上,覆盖[0,1]区间的所有有理点的一列区间也必然覆盖无理点,从而覆盖[0,1]整个区间。文章从外测度的定义、性质出发,讨论了有理数的稠密性以及区间[0,1]上的有理数外测度的问题,从几个侧面解释上述直观的错误。给出覆盖了所有有理点的区间列但不能覆盖无理点的例子。     

存在性智力趣题与抽屉原理

一本数学智力趣题集中有如下三道趣题.1.平面上有1987个点,若其中任何三点中都有两点的距离小于1,则必存在一个半径为1的圆,它至少盖住这1987个点中的994个点.2.一个正方形被9条直线分割,若其中每一条直线都与正方形的一对对边相交,且把该正方形分成面积比为2∶3的两个梯形,则这9条直线中至少有3条直线交于同一点.3.平面上有n(n≥4)个互不相同的点,每两点间用直线段相连,若其中长度为d的线段有n 1条,则这n个点中至少有1点,从该点出发的线段中至少有3条线段长度为d.上述三道趣题有一个共同点,它们都是与数量有关的存在性命题.关于涉及数量的存在性的证明,有一个简单而强有力的武器——抽屉原理:若将sn b个苹果(s,b,n∈N ,0     

到三角形三顶点距离之和为定值的点存在的条件及轨迹

<正>我们知道,在平面内,到两个定点F₁、F₂距离的和是定值的动点轨迹是椭圆,其中,该定值大于F₁F₂.若将该问题进一步拓展,提出以下问题:在△ABC所在平面内,到点A、B、C距离之和是定值的动点轨迹是什么曲线?在知网文献的“全文”栏中输入检索条件“到三个定点的距离的和”,可以得到13篇文章,时间跨度为2001—2020年度.其中有1篇文章研究的是数轴上“到三个定点距离之和为定值的问题”^[1],     

Riemann函数的推广

是一个比较独特的函数,因为从古典分析的观点来看,它具有下面一些不寻常的性质:(1)R(x)在[0,1]上的所有无理点连续,而在所有的有理点不连续,即几乎处处连续。证明见菲赫金哥尔茨著的《微积分学教程》一卷一分册p.146。(2)R(x)在[0 ,1]上R可积证明见上书二卷一分册p.97。(3)R(x)在[0,1]上处处不可导。证明在R(x)的不连续点自然不可导,现没ξ。为R(x)的连续点(即无理点),则必可在(0,1)内选取一无理点列{ξ_n},使ξ_n→ξ。(n→∞),这时,极限     

一道数学奥林匹克问题的思考

命题 1 [1] 　平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .若确保图形中出现以给定点为顶点的三角形 ,求证 :x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) .笔者认为 ,x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) 是充分不必要条件 ,并发现如下命题 .命题 2　平面上给定n(n≥3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .图形中出现以给定点为顶点的三角形的充要条件是x≥ n2 n - n2 1 ,其中 ,[x]表示不超过x的最大整数 .证明 :设平面上给定的n个点分别为…     

一道习题的探究引申

[习题]平面上有n个点(n≥2),且任意3个点不在同一直线上,过这些点作直线,一共能作出多少条不同的直线?引导推理平面上有n个点,两点确定一条直     

格点问题

坐标平面上横、纵坐标都是整数的点称为格点(或整点)；坐标平面上横、纵坐标都是有理数的点称为有理点。不是有理数的点称为无理点；     

Euler线的一个仿射推广

设ABC为欧几里得平面上的一个三角形。用G表示ABC的重心,O表示外心,H表示垂心;Euler(1707—1783)早已证明G,O,H三点共线,且GH=2(OG)。直线OGH称为Euler线。这个定理有许多证法,可参看[2,pp.17,18]。 Euler定理涉及欧氏平面的度量,     

奇异祖冲之图形的存在性问题

文[1]给出了祖冲之图形、奇异祖冲之图形、超祖冲之图形的概念．平面上有n（n≥3）个点，如果其所有两点间的距离取Z个不同值，若Z＝[]，那么由这n个点及其任意两点的连线所构成的图形．叫n个点的祖冲之图形．如果Z<[],则称之为n个点的超祖冲之图形．易知，正n边形是祖冲之图形，我们把正多边形叫做“规范的祖冲之图形”，除此之外称做奇异祖冲之图形，文［1]提及奇异祖冲之图形的存在性，本文的结论是：平面上n（n＞3，n≠5）个点的奇异祖冲之图形是存在的．当n为大于3的偶数时，以n个点为顶点的奇异祖冲之图形的存在性，可由正n＋1边形…     

正多边形同心圆锥曲线的两个性质

<正>文[1]研究了正多边形的同心圆(即圆心在正多边形中心的圆)的两个性质:(1)正多边形同心圆上的任意一点到各顶点距离的平方和是定值;(2)正多边形同心圆上任意一点到各边距离的平方和是定值.文[2]推广了文[1]的结论,得到了正多边形的同心椭圆(即椭圆中心在正多边形中心的椭圆)的两个性质:(1)设G为正n边形的中心,则以G为中心的椭圆上任意一点到正n边形的各顶点的距离的平方和与该点到椭圆两焦点距离的乘积的n倍之和为定值;(2)设G为正边形的中心,     

运用不等式■≥■证明一类无理不等式

关于无理不等式的证明,近来有许多文章(如文[1]、[2]、[3]等)都介绍了一种的证明方法:等号成立条件法.在此应用“方差”对其中一类无理不等式给出初中学生也能理解的简洁证法.方差是初中代数《统计初步》中的一个重要概念.S~2=(1/n)[(x_1- )~2 (x_2- )~2 … (x_n- )~2]其中 =(1/n)(x_1 x_2 … x_n),S~2表示方差,显见     

一类正三角形面积的一般公式

“已知定点到正三角形三个顶点的距离分别是m、n、k，求这个正三角形的面积．”在竞赛题和训练题中常出现这类问题的特例或与之有关的变通题，现将此类正三角形面积的一般公式介绍如下．定理在平面上，如果定点到正三角形三个顶点的距离分别是m、。、k，且任意两个距离之和不小于第三个距离，那么（Ⅰ）、当任意两个距离之和大于第三个距离时，满足条件的正三角形有两个，它们的面积是（Ⅱ）、当某两个距离之和等于第三个距离时，满足条件的正三角形只有一个，其面积是证明：不妨设（Ⅰ）、当n＋k＞m时，有定点P在正面ABC的外接圆内或外两…     

几何图形的计数

给定一个几何图形 ,计算该图形中某种特定的元素有多少个 ,这类问题称为几何图形的计数问题。它在各种数学竞赛中很常见 ,而且学会解这类问题 ,有助于培养学生周密细致的思维能力。本文通过几个初中数学竞赛题 ,讲一些解计数问题的方法。知识点　 1、平面上给定n个点 ,每两点连一直线 ,最多可以得到(n -1 )n2 条直线。2、平面上给定n条直线 ,当它们每两条都相交 ,且任何三条都不共点时 ,这n条直线交点最多 ,共有(n -1 )n2 个交点。例 1　怎样在平面上画 1 0条直线 ,使它们恰有 :( 1 ) 2 1个交点 ;( 2 ) 3 1个交点 ;( 3 ) 3 0个交点。分析　 …     

“在地面上测量距离”教学设计与设计意图

教学内容人教版九年义务教育六年制小学数学教科书第七册第五单元第6节“实际测量”中的“在地面上测量距离”。教材简析“实际测量”这部分内容是教材中“长方形和正方形的面积”里面的一节内容。这一内容是学生在已经学习和掌握了一些平面图形的知识以及一些平面图形面积计算的基础上来教学的。实际测量中包括:在地面上测量距离,步测和目测三方面内容。该文的教学设计只涉及“在地面上测量距离”这一方面。这一教学内容主要包括:认识卷尺、测绳和标杆等测量工具;理解两点(两地)间距离的含义;能利用卷尺或测绳测量较近的两点间的距离;能利…