对一道数学探究题的发散思维

<正>七年级数学《整式的加减》中有这样一道探究题:如图1所示,用若干火柴棒拼成一排由三角形组成的图形,如果图形中有2,3或4个三角形时,分别需要多少根火柴棒?如果图形中有n(n≥2)个三角形,需要多少根火柴棒?本文就图形中有n(n≥2)个三角形进行发散思维,以求深刻理解这类问题的本质.一、总结数字规律,得出结论在上列表格中,由三角形的个数与火柴棒根数的规律比较发现:三角形的个数从1增加到n(n≥2)时,火柴棒的根数是从3开始的奇数间隔增加的,即三角形每增加一个,火柴棒的根数就增加2.这样,就不难发现,当有n(n≥2)个三角形时,火柴棒的根数是2n+1(n≥2).     

对称趣题四则

1。正武奇数)边形有几条对称轴?2。正武偶数)边形有几条对称轴?3。正六面体有几个对称面?4。正四面体有几个对称面? (答案本期找)对称趣题答案 1.。条。。为奇数时,通过正,边形的每一个顶点和这个顶点的对边的中点的直线都是正,边形的对称轴. 2。:条。n为偶数时,通过正n边形的每一组对边的中点或每一组对顶(点)的直线都是正n边形的对称轴。 3 .9个.在正六面体中,每一组对棱决定一个对称面(共6个),每一组对面之间的中间面也是一个对称面(共3个). 4。6个。在正四面体中,每一条棱朴这条棱的对棱的中点决定一个对称面.对称趣题四则@子牛~~…     

“8条”和“4条”

[案例描述]在一节轴对称图形的认识课上 ,学生们兴致盎然地学完了新课知识后 ,我就让学生完成(人教版第十一册)第101页“做一做”的题目。当完成到第2题的第一个图形时(见下图) ,出现了这样一个场面 :绝大多数同学都认为它的对称轴是8条 ,当时我也认为是8条 ,因此就想转入下一个图形。这时 ,有一个学生却站起来说 :“老师 ,不对 ,应该是4条。”“不 ,是8条” ,“4条!”……一石激起千层浪 ,霎时 ,教室里响起了一片争论声 ,一双双眼睛都看着我 ,期盼着我一槌定音。究竟是4条还是8条呢?瞬间我也愣住了 ,说来惭愧得很 ,教了几年的书 ,一直都是…     

“完全重合”与“完全相等”不一样

在教学“圆是轴对称图形”时,我出了这样一道题:“长方形是不是轴对称图形?如果是轴对称图形,有几条对称轴?为什么?”一位同学回答:“长方形是轴对称图形,长方形有四条对称轴,因为沿长方形对边中点的连线和对角线对折,对折后的图形完全相等,所以长方形有四条对称轴。”这位同学为什么说长方形有四条对称轴呢?这主要是将“完全重合”、“完全相等”误认为是一回事了。“完全相等”指的是面积、周长,还是其它方面相等,表达不清。退一步讲,就算“完全相等”指的是对折后的两个图形形状,大小等全部相同,但如不重合也不能把对折线称为该图形的对称轴。如上面所提到的长方形沿着对角线对折,对角形两边的     

n边闭折线的计数问题

一个看似简单的问题 :平面上三三不共线的n(n≥ 3 )个点 ,可确定多少条n边闭折线 ?记条数为T(n) ,认为 :至少有一条边不同的两条 ,算做是不同的 ,那么要求的是T(n)的一个解析式或计算程序 ,提出这样一个问题 ,是基于这样一个假定 :因为对于三三不共线的n点中的每一点 ,从连接(或从n阶完全图的C2 n 边中抹去C2 n-n条边 )这个意义上看 ,是完全一样的 ,因而 ,对这n点中无论怎样分布 ,T(n)总是一样的 .我们通过构图、观察和归纳 ,获得了如下资料 :T( 3 ) =1 ,T( 4 ) =3 ,T( 5 ) =1 2 ,T( 6)≥ 5 4,T( 7)≥ 2 76 T(n)大小与n点分布无关这个…     

鼓励研究 倡导创新——一道中考题的思考与感受

2002年江苏省泰州市中考数学试题中这样一题: 以给定的图形“OO、△△、=”(两个圆、两个三角形、两条平行线段)为构件,构思独特且有意义的图形。举例,如下图左框中是符合要求的一个图形,你还能构思出其他的图形吗?请在右框中画出与之不同的一个图形,并写出一两句贴切、诙谐的解说词。     

仔细观察 探索规律

问题一两条直线相交有一个交点,三条直线相交最多有几个交点?四条直线相交呢?你能发现什么规律?分析:1、画出图形直接观察,找出交点个数。2、列表比较、探索规律直线条数2条3条4条……n条交点个数1个3个6个变化规律2(2-1)/23(3-1)/24(4-1)/2……n(n2-1)从上述直接观察并比较归纳得出:两条直线相交只有一个交点,三条直线相交最多有三个交点,四条直线相交最多有六个交点,……,一般地,n(n>1)条直线相交最多有n(n2-1)个交点。问题二在一条已知线段上取一点(端点除外),这点把这条线段最多分成三条线段,在这条线段上取两点呢?取三点呢?你能发现什…     

电路——一个电子的通路

人教版高中数学第二册(下A)(以下简称“课本”)第80页有这样一个问题———“如图1,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中,火车有3班,汽车有2班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?”图1给出的答案是:“共有3 2=5种不同的走法·”并由此引出了分类计数原理·这是很正确的·因为“从甲地到乙地的走法”是指“一个人从甲地到乙地的走法”·“一些人乘火车1,另一些人乘汽车1”不能算作第6种走法·课本第83页习题10·1的第4题是———“如图2,一条电路从A处到B处接通时,可以有多少条不同的线路?”文[1]认…     

一道课本习题的推广

在中师二年级秋季半期考试题中有这样一道题:“用数学归纳法证明:4~(2n·1) 3~(n·2)(n≥2,,n∈N)能被13整除”。笔者后来发现它与《代数与初等函数》第2册第48页第22题第(1)题“用数学归纳法证明:4~(2n 1) 3~(n 2)。能被13整除”非常相似.这对这两道题深入研究发现:     

国外小学数学图形趣题选登

1.图1的(A)和(B)中各有几个三角形?各有几个四边形?2.图2中有几个正方形?有没有大小相同的正方形?3.在一个五边形内画线段,把五边形分成五个三角形。你画了几条线段?4.把一张正方形纸剪成大小不同的两块,然后拼成一个三角形。5.在一个等边三角形的一边涂上颜色,将这个等边三角形剪成三块,然后拼成一个一边有颜色的长方形。6.图3中哪一个图形是“多余的”(和其他的图形不同)?为什么?7.想一想,图4中上面一排的图形有什么共同特征?从第二排图形中挑出与它们有共同特征的图形。8.图5中哪一个图形是“多余的”(和其他的图形不同)?为什么?9.在图6…     

平面的分割

在 一 些竞 赛 辅 导 书中 , 经常 会 看 到 这样 的 题目 :在 一 个 长 方 形 上 画 10条 直 线 ,最 多 可 以 把 这个 长方 形 分 成几 个 部 分 ?解 此 题通 常 可 用 填表 法及 归纳 法 求得 。具 体 解 题步 骤 为 :在 长 方 形 中从 画一 条 线 开 始 ,一 边 画 ,一 边 数 有 几 个 部 分 ,同 时 填表 找规律 来解 题。画 的 直 线 数 0 1 2 3 4 … … 10长 方 形 被 分1 2 4 7 11… … 56成 的 部 分 数1+1 1+1+2 1+1+2+3 1+1+2+3+4… … 1+1+2+…+10 以此推 导,如果 画 n 条 直线,则 有 1+1+2+3+… …+n …     

如此安排看图列式教学对吗?

某教师在黑板上出示了大量的题目,要求学生看图填算式:□○□=□。其中第3题的画面是:4条鱼,头尾相接,两条画成一对。学生将第3题填成算式“2+2=4(条)”,板书在黑板上。对此,老师问:“这是谁填的?”学生陆文应声站了起来。师:陆文你再想想,这样填对不对?     

启发学生多思多问的一点做法

在数学教学中,我一直注意引导学生多思名问。通过多思多问,使学生把数学知识学透学活,避免死记硬背,不求甚解。 1、在概念教学中,围绕定义中的最要字、词、句进行设问,引导思考,加深理解。 如,在教“三角形的认识”时,我组织学生讨论,引导学生提出如下问题: (1)“由三条边围成的图形叫做三角形”与“三角形有三条边和三个角”,意思相符合吗? (2)“围成”是什么意思,换成“封闭”二字行吗? (3)由三条边围成的图形是不是一定有三个角? (4)有三个角的图形是不是一定有三条边? (5)象下面这些图形,是不是三角形?     

要重视板演反馈二题

不必暗示 有位老师教学求组合图形的周长时,出了这样一道题让学生板演:求图形的周长(单位:厘米)。一位学生开始列出的算式是:4×4—4×3.14÷2,老师发现后,走到学生身边,用手指沿图形的周长指划了一圈,暗示学生将“-”号改成了“+”号,将乘数“4”改成“3”,这题就这样“圆满”地解决了。 笔者以为,教师的这种有意暗示是教学的一大失误。学生开始出     

一道竞赛题的拓广

一九八七年全国初中数学联赛中有这样一道题:“设自然数n具有下面的性质:从1,2,…,n中任取50个不同的数,这50个数中必有两数之差等于7,这样的n最大的一个是__。”该题的答案是98。本文将该题加以拓广,推出一般的计算公式,为此提出如下命题: 设自然数n具有如下性质:从     

《教师教学用书》中的一处错误

九年义务教育六年制小学教科书数学第六册90页12题:“一个汽车总站2小时发出6辆长途汽车。照这样计算,从上午6时到下午4时要发出多少辆长途汽车?”此题在《教师教学用书》中是这样解答的:12题的解法比较复杂,根据题意知道每两次发车时刻之间相隔的时候为20分,12-6=6(时)6     

2004女子数学奥林匹克

1 .如果存在 1,2 ,… ,n的一个排列a1,a2 ,… ,an,使得k ak(k =1,2 ,… ,n)都是完全平方数 ,则称n为“好数” .问 :在集合 { 11,13,15 ,17,19}中 ,哪些是“好数” ,哪些不是“好数” ?说明理由 .(苏　淳　供题 )2 .设a、b、c为正实数 .求a 3ca 2b c 4ba b 2c- 8ca b 3c的最小值 . (李胜宏　供题 )3.已知钝角△ABC的外接圆半径为 1.证明 :存在一个斜边长为 2 1的等腰直角三角形覆盖△ABC . (冷岗松　供题 )4 .一副三色纸牌 ,共有 32张 ,其中红黄蓝每种颜色的牌各 10张 ,编号分别是 1,2 ,… ,10 ;另有大小王牌各一张 ,编号均为 0 …     

贺卡问题的一个解答

同室四人,各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送的贺卡,问四张贺卡的不同分配方式有几种?这称之谓“贺卡问题”.这是1993年的一道高考题.若将题中的“四人”推广到“n人”,则有几种不同的分配方式?许多数学同仁对此作出了研究和解答.我在这里也提供这个问题的一个解答.为了研究方便,不妨设贺卡张数为2、3、4、……n时,分配方式分别有f(2)、f(3)、f(4)、……f(n)种.容易推知:f(2)=1,f(3)=2,f(4)=9……首先,我们来证明递推公式:f(n)=(n-1)[f(n-1) f(n-2)].当n=4时,显然有f(4)=3[f(3) f(2)].人数为n时,不失一般性,n人用A_1、A_2、A_3……A_n表示,对应的各自的贺卡用a_1,a_2,     

“开放型题”的几个特点

“开放型题”有何待点,本文指出三条: 1.“自谋结论”。例如:■是不是某个自然数的平方?证明你的结论。“是不是?”要答题人自己去寻求、猜测。 2.旧瓶新酒。例如:“问a取哪些正整数时,方程ax~2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数根?”就是在“二次方程”这个“旧瓶”中,添进了新的“酒”(问题):“至少有一个”,“整数根”,而且还有一个正整数作为参数。二次方程虽     

以图形为背景的观察猜想型数列问题

在近几年的各类试题中,以图形为背景的观察、猜想型题目比较多,它背景直观、贴近生活.这类试题关键是通过观察、猜想把图形中的问题转化为数列问题,再根据数列知识求解.下面介绍几种求解方法.一、由不完全数学归纳法观察猜想例1根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个中有个点.[分析]第1图形中有1个点、第2个图形中有2×2-1个点、第3个图形中有3×3-2个点、第4个图形中有4×4-3个点、第5个图形中有5×5-4个点…由不完全数学归纳法得,第n个图形中共有n2-(n-1)=n2-n+1个点.例2如图,第n个图形是由正n+2边形“拓展”而来的,(n=1、…