应用复数证明几何问题

我们知道,对平面图形的讨论,既可以利用平面几何的方法,也可以应用平面解析几何的方法.另外,当引入复数,建立了复平面后,还可以借助于复数知识来讨论.下面试举例说明如何应用复数知识证明几何问题.……     

注重数形结合 挖掘复数内涵

<正>苏教版高中数学教材关于复数的内容不多,仅包含复数的定义、运算及其几何意义,师生普遍感觉教学难度不大.事实上,梳理该内容,不难发现复数充分体现了数形结合的思想方法.深入挖掘复数的几何内涵,不但可以使学生系统深入地领会和把握复数有关知识点,还可以更加深入巩固相关几何知识,进一步理清知识间的横向联系,进而提升数学思维水平.一、复数及其运算的几何意义1.复数与平面上点的一一对应我们在初中阶段就知道,有序实数对和     

动点轨迹的复数方程的几种求法

在高二数学“复数”这一章的学习中,如何在复平面内求动点Z的轨迹方程是复数知识的一个重点,也是一个难点.在复平面内,动点对应的是一对变化的实数,动点轨迹是实数方程f(x,y)=0;而在复平面内,动点对应的是一个变化的复数,动点轨迹的复数方程是f(z)=0.这两个方程在本质上是完全一致的,都是以数表示点,以方程表示曲线,但在形式上并不相同,所以在复平面内求点Z的轨迹可以利用、借鉴实平面内求轨迹的方法,还可以利用复数所具有的特殊性质另辟蹊径.下边略举几例说明求轨迹复数方程的一些方法.     

用复数表示平面电磁波的应用分析

分析平面电磁波复数表示的形式,讨论复数形式表示的平面电磁波用于表示偏振、吸收和计算等方面的应用。     

由一例看复数问题的求解方法

<正> 由于复数可以看作是平面上的点,复数可以表示成代数形式和三角形式,所以复数与实数、三角以及几何具有紧密的联系.因此,解决复数问题的基本方法就是将其转化为实数问题、三角问题及几何问题.     

关于复数的教学

中学生学习复数时,较难理解复数及其方根的概念,不易掌握复数的解题方法,包括怎样用复数知识解平面三角和几何问题。本文仅就这几方面谈点体会。     

谈复数几何意义的复习

众所周知,由于复数Z与复平面上的点Z及向量(?)建立了一一对应的关系,从而使许多复数问题具有明显的几何背景。借助数形结合,使许多复数问题可以得到迅速解决,同样,有些几何问题利用复数知识也可以获得巧妙解法。为此,在复习复数几何意义这部分内容时,应强调以下几点:     

三角形存在条件与柯西不等式

从复数相等的定义 ,我们知道任何一个复数ｚ =ｘ ｙｉ(ｘ ,ｙ∈Ｒ) ,都可以由一个有顺序的实数对 (ｘ ,ｙ)惟一确定 .在平面直角坐标系中 ,把点 (ｘ ,ｙ)与复数ｚ=ｘ ｙｉ对应起来 ,这样就使平面上所有的点与全体复数之间建立了一一对应关系 .这个表示复数的平面就叫做复平面     

复数的一些应用

在中学里,引入虚数单位i以后,实系数的一元代数方程(任意次)就都可解了。复数的这一“功绩”似乎应该使人对它存在的必要性不再发生怀疑。但是事实不然,学生学过复数以后,还是不大相信它,觉得复数虚无飘渺,难以捉摸。发生这种情况,最主要的原因是没有了解复数究竟有什么具体意义,在什么地方可以派得上用场。这里让我们很粗略地介绍一下复数的一些应用。一、平面上的点、向量、复数我们知道,复数a bi的几何表示是平面上一点(a,b)。平面上每一点可以用一对实数来表示,也可以用一个复数来表示。平面还是同一个,只是用了不同的方法绘出它的表示而已。正象一个人尽管有好几个名字,但被表示的都是同一个人。用复数来表示平面上的点,优点是只要用“一”个数表示一个点,这样就便于进行运算。     

复数与轨迹

求复数轨迹问题由于比较抽象,且涉及到代数、三角、平面几何、解析几何等各方面知识,具有较大的综合性与灵活性,初学者往往望而生畏。本文旨在归纳求复数轨迹的常用方法。 一、几种复数形式的基本轨迹 我们知道,一个复数对应于复平面上的一个点,如果复数的实部与虚部是一对实数变量,则所对应的点就成为复平面上的动点。如果复数变量按某种条件变化,则复平面上的动点就构成具有某种特性的点集或轨迹,因此通过复平面可把复数与平面解析几何的某些曲线联系起来,而且用复数形式表示曲线方程显得更简单、清晰。     

利用向量方法解题例说

用向量知识研究了其在平面几何、平面解析几何、三角、复数、不等式等方面的应用。     

复数在交流电路上的应用

学习复数时有些抽象,不如实数容易理解,如果结合它在实际上的应用,不仅可以了解它的实际意义,巩固地掌握复数的知识;而且可以掌握实际的知识。在交流电路中,广泛地应用复数来表示正弦时间函数的正弦电路的计算方法,称做符号法或复数法,这方法使交流一切关系与定律,形式上可归为直流的关系与定律,使计算大大地简化。一、复数及其运算 1.复数的意义: 形如A′+jA″叫做复数,其中A′,A″为实数,j是虚数单位,A′又叫做复数的实数部分,jA″叫做虚数部分。复数可用向量来表示,它在实轴的射影等于复数的实数部分A′,而在虚轴上的射影等于虚数部分A″。     

有关复平面内三角形的一组公式及其应用

通过复数知识推导三角形一级公式,并利用它求解坐标平面内的某些问题.     

复数考点聚焦与题型分类研究

一、考点聚焦与预测复数是代数的重点内容之一,是中学数学重要的基础知识,且涉及的知识面广,对能力要求较高.因而在历年高考数学试题中占有相当大的比重,是高考的热点之一.复数考查的主要知识点有:复数的有关概念,复数的向量表示,复数的加法与减法,复数的乘法与除法,复数的三角形式及其乘法、乘方、除法、开方,复数的模与辐角主值的概念及共轭复数的运算性质.纵观近几年的高考试题,在“复数”的考查中体现了数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想,以及待定系数法、换元法、消元法等基本方法.复数的有关概念,代数式与三角式的互化,复数三角形式的乘、除、乘方、开方运算仍是考查的重点所在.同时,复数方程和有关复数几何意义的问题也值得注意.二、重点题型的分类研究1.考查基础知识题型:考查的重点是复数的有关概念,复数相等的充要条件及运用,复平面的有关概念,复数的三角形式,模与共轭复数的概念以及复数辐角主值等.     

解与复数相关的不等式赛题

(本讲适合高中)众所周知,复数是没有大小关系的,但与复数的几种表示形式有关的一些局部元素是可以有大小关系的(如复数的模、实部、虚部、幅角等),它沟通了代数、三角、几何等知识间的联系,也为解题者应用复数知识解决相关问题指明了方向.在近几年国内外数学竞赛中,与复数有关的不等式赛题特点鲜明,难度较大.本文主要立足代数与几何方法探索其解题策略,以期抛砖引玉.常用到的复数性质(不等式):     

数形结合思想在复数中的应用

复数与形的关系是紧密联系的，这是因为复数集与复平面上的点集或向量→OZ的集合构成一一对应的关系．利用复数及其运算的几何意义，应用数形结合的思想，可以使许多复数问题变得简单、直观．     

复数相等的充要条件的一个应用

两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等,特别地,一个复数等于零的充要条件是它的实部和虚部都等于零.应用这个条件,我们就可以在复平面上求得复变量 z 所对应的点的轨迹.通常可采取三个步骤:     

利用平面向量解题例析

平面向量是数形结合的重要工具,也是高中新教材新增加的内容,利用向量知识在研究平面几何问题、复数问题、曲线轨迹方程、不等式问题及确定空间位置关系等方面都有着广泛的应用.     

复数对平凡应用举例

本文引进复数的数量积及其正交性的概念,并把它们作为工具讨论平面几何中的有关线段等量问题.众知,{二维平面上的点>、{平面直角坐标系中的实数对}、{平面上从一定点出发的向量}、{复数}等四个集合是一一对应的,而且后面三个集合中所引进的代数     

关于复数的一道竞赛

成都市1963年中学数学竞赛高三第二试中的第1题为“设三个复数z_1、z_2、z_3满足关系式:|z_1|=|z_2|=|z_3|与z_1+z_2+z_3=0,试证这三个复数在复平面上所表示的点是正三角形的顶点。”我们认为这是一道比较好的题。特别是结合现在的全国统编教材,对复数知识将是一次综合应用。在学生练习的基础上,我们总结了以下三种解法: 方法一: 设这三个复数在复平面上所表示的点