复数模的三角形不等式及其应用

我们知道,对任意两个复数Z_1、Z_2有:|Z_1|-|Z_2|≤|Z_1+Z_2|≤|Z_1|+|Z_2| (1)左边的等号当且仅当Z_1与Z_2反向时取得,右边的等号当且仅当Z_1与Z_2同向时取得.这个不等式的证法较多,下面我们用复数的三角形式证明如下:     

有关复数模的一道不等式

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应用复数模不等式巧解等式问题

用复数模不等式|z_1 z_2|≤|z_1 |z_2|解决一些条件等式的证明问题,往往有意想不到的效果.     

复数的一些应用

在中学里,引入虚数单位i以后,实系数的一元代数方程(任意次)就都可解了。复数的这一“功绩”似乎应该使人对它存在的必要性不再发生怀疑。但是事实不然,学生学过复数以后,还是不大相信它,觉得复数虚无飘渺,难以捉摸。发生这种情况,最主要的原因是没有了解复数究竟有什么具体意义,在什么地方可以派得上用场。这里让我们很粗略地介绍一下复数的一些应用。一、平面上的点、向量、复数我们知道,复数a bi的几何表示是平面上一点(a,b)。平面上每一点可以用一对实数来表示,也可以用一个复数来表示。平面还是同一个,只是用了不同的方法绘出它的表示而已。正象一个人尽管有好几个名字,但被表示的都是同一个人。用复数来表示平面上的点,优点是只要用“一”个数表示一个点,这样就便于进行运算。     

复数不等式

通常认为复数不能比较大小．下面我们将在承认实数不等式性质的前提下,对复数集定义了一种序关系“≥”．即比较大小的方法．由于这种方法看不出有什么实用意义,因此大家都不会去使用．此文希望说明,复数不是不能比较大小,只是没有发现有价值的比较大小方法．     

复数中模的应用

本文通过具体实例说明复数中模性质的应用.     

利用复数模的不等式求有关最值问题

利用复数的模的不等式｜｜Ｚ１｜－｜Ｚ２｜｜≤｜Ｚ１＋Ｚ２｜≤｜Ｚ１｜＋｜Ｚ２｜可解决与模有关的最值问题,特别是在求一些无理函数的最值时常能起到化难为易的作用。但是,在利用此不等式解题时,等号成立的具体条件却是易被学生忽略和难以掌握的问题。下面就此举例说明之。 例 １已知 （ １）求的最大值与最小值,及取得最大值与最小值时的Ｚ的值;（２）求 的最小值及取得最小值时的Ｚ的值。 分析：对于复数模不等式,首先应知道,等号当且仅当表示Ｚ１与Ｚ２的两个向量共线时成立。当Ｚ１与Ｚ２方向相反时;当Ｚ１与Ｚ２方向相同时…     

复数模的性质及应用

复数模的性质较多,联系广泛,灵活性强应用也大,在教学中注意使用模的运算方法和技巧,会使解题变得简便,对培养学生能力很有好处.现将模的主要性质列举如下,再举例说明模的应用.     

复数模的性质及其应用

利用复数模的性质求解数学问题是复数应用中的典型问题,涉及复数的代数、几何运算、方程、不等式的解法和函数最值的求法等知识,充分体现了化归构造等数学思想方法,解决这类问题不仅要紧紧把握复数的定义,而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。     

复数指数形式的一些应用

溉利用复数的指数形式处理有关复数式的计算和变显得较为简便。兹举例于后。例1,。为自然数、解方程: (男 ‘). (劣一沂)”=o一/劣 八.‘/劣 八.解,气万不/=一‘,、玉二刁/=e,一令氏二兀 Zk兀 ”(k=。,l,2,…,”一1)则些万-I=e‘e‘劣二二丝鲍三笠e‘e‘一l二漂红大州彝户华擎 LCOS口‘一l夕十刀Sln口山氏一2 厅﹄ C 一一Zsin6。曰吕 2(z一eoso。)一ctg共黔书(k~o,1,2,…,”一1)。求和名eos ka及艺s‘”“a·劣2.即例解:’.’艺eos ka ,艺s‘n“a二艺(eos“a :s‘nka)一习‘e·‘)·二.全竺业些二二旦召‘.一1电一1庵一l留二一(rosa ,51…     

巧用复数模

若有复数z=x十yi,则式子(√x2 y2)称为复数z的模,简称复数模,记为}z|=(√x2 y2).     

复数模的一个性质的应用

利用性质:!川.1骨忽.忍,l解某些复数问题显得较为简洁.举例如下. 例l,设冲!。1,求!砂一名 11的最大值. 解:!之,一之 一,二l护一奋 之·忍‘卜冲{·l卜1 引“120一川,式中已设Re(z)二。,’‘’!zI,1,二当忿二口二一1时·l砂一二 川有最大值3. 例;.:为虚数,求证::十专。数的充要条件为l二l二z 证:若l川“1,贝劝:·:=1勿 之二: 忿;尺,若: 专*R,则习 音一, 专幼卜:-艺Z考一忍 君忍,“’之是虚数,:,之一忿今。,.’,之落=1幼l引二1. 例3.,为虚数,要条件为!川=1. 证:若冲!=1,求证:,一补纯虚数的充则小矛,1幼口=之~.之。忿之 z·乞竺至1十忍,一肠,…     

用复数证明不等式

对某些含有二次根式或可化为含有二次根式的不等式的证明,可作恰当的复变量代换,构造出某几个复数的模,运用复数模的性质而证。一、利用||z_1|-|z_2||≤|z_1±z_2|≤|z_1|+|z_2|     

巧用复数证不等式

大家知道,不等式是变化多端的,证明方法也往往具有很高的灵活性。但笔者发现,有些比较复杂的不等式若利用复数来解决,则会显得非常简捷。下面我们就通过构造复数并利用     

复数在三角中的一些应用

(一) 我们知道,方程z~n-1=0(n是自然数)有n个复根α_0,α_1,……,α_(n-1),其中α_k=cos2k/nπ+isin2k/nπ(k=0,1,2…,n-1),根据一元n次方程的韦达定理,有α_0+α_1+α_2+…+α_(n-1)     

控制不等式的一些应用

控制不等式在理论上和应用中发展非常快,起了事半功倍的作用。 (ⅰ)用控制不等式的理论和方法能非常简单地证明某些不等式并且将它推广。 (ⅱ)用控制不等式的理论与方法很容易发现一些新的公式,定理。     

柯西不等式的一些应用

六年制重点中学高中代数第二册第95页第6题是这样一道不等式证明题: 已知ad≠bc,求证(a~2 b~2) (?)·(c~2 d~2)>(ac bd)~2。这题的推广,就是柯西不等式,也称柯西——布尼亚可夫斯基不等式:     

浅谈复数模在解题中的应用

利用复变谬的概念和有关性质如!“·”l’l“,’ 一}2.1 12.1二__,为卜}菊!.筒,l‘,’一,·‘,!跳l等来解题,对开拓学生思想,定作用. 例l求复数!之; z,l(12:l 扩大解题视野有一。一!V了(斌万十扩万f)叹4一3:)(J万一 J百O5(了万一了了i)·8泣·(1一‘) ZJ万‘的模,解,护百(J了 J万O叹4一30(护万 J万05(J了一J了‘)·8‘·(1一‘IJ百!·l护了十J了‘l,·l;一川·!J飞 护万‘! 16卜!了了二7万八·181卜If一‘l一二叮』堕里亘二, 。.护8 .8.矿2 :二1 2了万坛 而!川二J丁干百,3。 例2.求函数f(二)二J飞刃二飞不而一 护通玉耳1的最小值. …     

涉及模的一个复数命题及其应用

在解证某些复数问题时,若能迅速地确定所求复数的模,则可将其辐角视为参数,用复数的三角形式表示之,进而根据已知条件求得结果。 本文先给出涉及模的一个复数命题,然