第三届北方数学奥林匹克邀请赛

第一天 一、(25分)在锐角ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高.以AB为直径作圆交CE于点M,在BD上取点N,使AN＝AM.证明:AN⊥CN .     

第六届北方数学奥林匹克邀请赛

第一天一、(25分)已知数列{an}满足 a1=2,an=22nan-1+2n2n(n=2,3…).求通项an(n=1,2,…). (吴树勋供题) 二、(25分)已知PA、PB是☉O的切线,切点是分别是A、B、PCD是☉O的一条割线,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F.     

数学奥林匹克问题

本期问题初181已知圆内接六边形ABCDEF的各边均不相等,且BACB·DCED·FEAF=1.求证:AD、BE、CF三线共点.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初182找出所有满足下列条件的整数组:(1)a、b、c是正整数;(2)a+b+c=[a,b,c].(范兴亚谷丹北京市第四中学,100034)高181设a、b、c、d为正实数,且满足a2+b2+c2+d2=4.则a+b+c+d≥23(ab+bc+cd+da+ac+bd)≥abc+bcd+cda+dab≥4abcd.(厉倩湖南省长沙市第十五中学,410007)高182如图1,在△ABC中,AB>AC,图1AF、AF′分别是∠BAC及其外角的平分线.以FF′为直径作半圆,点P在半圆上且在△ABC内部.求…     

第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题讲解

2007年第三届北方数学奥林匹克邀请赛于7月31日～8月4日在古城西安举行,来自河北、陕西、吉林、辽宁、黑龙江、山西六省34所重点中学的200名高一数学骄子参加了角逐,湖北省襄樊五中也应邀派队参加了比赛．本届邀请赛由西北工业大学附中承办,活动得到了陕西省数学竞赛委员会、陕西省科协和西安铁一中的全力支持和协助．竞赛分两天举行,每天三个小时解答4道题．下面对本次竞赛的试题进行讲解,供参考．[第一段]     

数学奥林匹克问题

本期问题高351如图1,不等边△ABC的内切圆分别与三边BC、CA、AB切于点D、E、F,A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB的中点,D′、E′、F′分别为点D、E、F在△DEF的边EF、FD、DE上的射影.证明:A′D′、B′E′、C′F′三线共点.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初329如图1,在△ABC中,／ACB=90°,记其外接圆⊙O、内切圆⊙l,的面积分别为S外、S内,⊙O1、⊙O2、     

一道数学奥林匹克题的另解

题目 设m是正整数,n=2^m-1,数轴上n个点所成的集合为Pn={1,2,…,n}．     

第五届中国东南地区数学奥林匹克

第一天 1．已知集合S：{1,2,…,3n},n是正整数,T是S的子集,满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同）,都有x＋y＋z∈r．求所有这种集合T的元素个数的最大值．     

2005中国数学奥林匹克

第一天(2005-01-22)一、设θi∈-π2,π2,i=1,2,3,4.证明:存在θ∈R,使得如下两个不等式cos2θ1·cos2θ2-(sinθ1·sinθ2-x)2≥0,①cos2θ3·cos2θ4-(sinθ3·sinθ4-x)2≥0②同时成立的充分必要条件是∑4i=1sin2θi≤21 ∏4i=1sinθi ∏4i=1cosθi.③(李胜宏　供题)二、一圆与ABC的三边BC、CA、AB的交点依次为D1、D2、E1、E2、F1、F2.线段D1E1与D2F2交于点L,线段E1F1与E2D2交于点M,线段F1D1与F2E2交于点N.证明:AL、BM、CN三线共点.(叶中豪　供题)图1三、如图1所示,圆形的水池被分割为2n(n≥5)个“格子”.我们把有公共…     

第38届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

1．设a1,a2,…,a10是不小于3的互异正整数,满足     

第34届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

10．1．同9．1． 10．2．一个n×n的方格表的n列从左至右分别称为1列,2列,…,凡列．将1～n这n个正整数填人方格表中,使得表中的每一行和每一列都含有n个不同的数．     

2012中国西部数学奥林匹克

第一天1.求最小的正整数m,使得对于任意大于3的质数p,都有105|(9~p~2-29~p+m).(杨虎供题)2.证明:在正2n-1(n≥3)边形的顶点中,任意取出n个点,其中必有三个点,以它们为顶点的三角形为等腰三角形.     

数学奥林匹克问题

高366如图1,肘是四边形ABCD外接圆上一动点,AB与DC交于点E,DA与CB交于点F,FM与直线AB、CD分别交于点R、S,EM与直线AD、BC分别交于点P、Q,RQ与SP的交点为置证明：直线MX过一定点．     

数学奥林匹克问题

本期问题初315已知方程a~3x~4+2a~2bx~3+(ab~2+2a~2c+ab)x~2+(2abc+b~2)x+ac~2+bc+c=0(a>0)有实根.     

第35届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

10．1．求出所有的正整数n,使得存在非零实数a,b、c．d,满足多项式（ax＋b）^100-（cx＋d）^1000在展开及合并同类项后恰剩有n项非零．     

一道2007北方数学奥林匹克试题的推广

2007第三届北方数学奥林匹克第8题为设ΔABC的内切圆半径为1,三边长BC =a,CA=6,AB=c.若a、6、c都是整数,求证:ΔABC为直角三角形.文[1]中刘康宁先生指出,该题曾刊登于《数学教学》2000年第1期"数学问题"栏.其实     

一道美国数学奥林匹克试题的注记

题目 设锐角△ABC的内切圆、外接圆分别为ω、Ω,外接圆半径为R．圆ωA与Ω内切于点A且与圆ω外切;圆ΩA与Ω内切于点A且与圆ω内切．设PA、QA分别是圆ωA、ΩA圆心．同理,定义点PB、QB、PC、QC．证明：8PAQA·PBQB·PCQC≤R^3,①当且仅当△ABC是正三角形时,上式等号成立．