意料之外 情理之中——谈学习基本不等式的几个误区

在一次基本不等式的复习课上,笔者准备了几道常规题．本想以此让学生回顾一下公式内容及其简单应用,没想到本应在情理之中的回答却出现意料之外的结果．按理说,基本不等式形式简约、逻辑简易、操作简单,本不应出现这么多错误,但事实却并非如此．这促使笔者对这一现象的成因进行分析研究,     

例谈对基本不等式(a+b)/2≥(ab)~(1/2)中“元”的三重理解

<正>基本不等式在高考中是热点内容,在已有研究中,对基本不等式的剖析多是从变形的角度进行,实际上学生掌握起来还是颇为困难.本文尝试从元的角度去分析,以求能重新认识基本不等式的运用.一、正确理解基本不等式中a、b所适用的     

几个优美不等式的统一证明和推广

<正>有些不等式整齐和谐,给人以数学美的享受,但其证明却往往有一定难度.笔者统一采用"函数法"来证明优美不等式,供读者参考.例1设a、b、c≥0,a+b+c=1,证明     

用好基本不等式的关键三步

运用基本不等式(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(a>b,b>0)求函数的最值(值域)是一种常用的、重要的方法,而处理好一正、二定、三相等这关键的三步又是用好基本不等式的保证.第一步(一正):基本不等式成立的前提条件是各项恒为正,因此首先要判断运用基本不等式的两项是否为     

基本不等式

基本不等式是高考中的必考知识点之一,在选择题、填空题和解答题中均会考查,通常会以"一大一小"的形式出现,分值约为20分.同时基本不等式也是解决有关最值问题的重要手段之一,因此,熟练掌握基本不等式的相关考查动向以及熟悉相关题型和解题方法,是拿下此部分分数的必要手段.本文就将对此部分知识结合有关例题,进行一次有效的剖析.     

用心思考和感悟一节平凡的课堂

正大家都上过高三复习课《基本不等式》,也许是因为觉得这个内容简单,几乎凭经验随随便便就上完课了.笔者以为正是因为经验,让大部分老师没有了思考和斟酌,随意的课堂,生产了一批批对知识本质和重难点认识不清的学生,等到综合应用时又错误百出,知识体系混乱,如同没有复习.事实证明老师     

基本不等式

基本不等式是高考中的必考知识点之一,在选择题、填空题和解答题中均会考查,通常会以一大一小的形式出现,分值约为20分左右.同时基本不等式也是解决有关最值问题的重要手段之一,因此熟练掌握基本不等式的相关考查动向以及熟悉相关题型和解题方法,是拿下此部分分数的必要手段.本文就将对此部分知识结合有关例题,进行一次有效的剖析.     

与基本不等式及其变式相关的高考问题分类解析

基本不等式ab≤a+b/2(a,b>0)及其变式是高中阶段非常重要的内容,在处理不等关系、最值求解等方面应用广泛.因而,在高考命题中对基本不等式的考查深受命题者的青睐.本文结合2011年和2012年全国各地的高考题选择、填空题,对有关基本不等式问题分类解析,供大家参考.     

运用基本不等式的变形技巧

基本不等式是高中数学的重要内容,是高考重点考查的内容之一.从宏观上讲,运用基本不等式,应注意一正、二定、三相等.但如何保证这三点,以下变形是常见技巧.     

立足基础 力求简捷──对一组不等式的证法再探有感

<正>王淼生老师在有关文章中利用基本不等式的变式证明了一组不等式.读后深受启发,但感到尚有需要商榷之处:首先,基本不等式的变式较多,必会增加记忆负担,且易致应用时选择的困惑;其次,利用这些变式解决较复杂问题时恒等变形的取等号条件的配凑并非简单.鉴于此,笔者从立足基础,追求简单自然的视角出发,并根据整体优先意识探究发现,对王老师文中几个不等式证明问题,直接从均值不等式或柯西不等式入手,用基本不等式     

例析构造离散型随机变量解决不等式问题

离散型随机变量ξ、分布列、期望Eξ及方差Dξ本属概率统计知识,然而根据Dξ=Eξ~2-(Eξ)~2≥0却可广泛应用于求解不等式问题之中.不等式中经常与"1"密切联系,而离散型随机变量的概率之和也为1,这为我们解相关问题创造了构建分布列的条件,从而能得出绝妙的求解方法.其解题模式为构造随机变量ξ分布列     

“利用基本不等式求最值”教学实录与反思

基本不等式√ab≤a+b/2(a≥0,b≥0)是现行普通高中课程标准实验教科书(苏教版)数学必修5第三章“不等式”第4节的内容,在江苏省考试说明中一直是C级考查要求,即属于掌握层次.利用基本不等式求最值是基本不等式的一个重要应用,是历年高考必考的重点内容,其中有些问题看似简单实则易错、难解.为此笔者在高三一轮复习时特地安排了一节“利用基本不等式求最值”的探究课,现给出本节课的教学实录与反思,供大家参考.     

均值不等式常见的解题误区分析

均值不等式是高中数学中的一个重要不等式,它在证明不等式和求最值时十分有用,但是在使用过程中,由于种种原因,导致了解题过程中可能出现一些错误,下面举例说明容易出现的解题误区,希望大家能正确运用均值不等式解题.     

均值定理中的“凑”与“配”

不等式中的均值定理(基本不等式)是高考的重点和热点,同时也是解决很多问题的重要工具,应用均值定理(基本不等式)的前提是满足"一正"、"二定"、"三相等",当题目的条件不满足这一要求时,就需要适当的"凑"与"配".下面结合具体例子予以说明.     

浅议调控基本不等式应用中恒等变形的方向

<正>基本不等式是高中数学中为数不多的处理多变量问题的有力工具.但是在教学实践中,我们发现基本不等式尽管形式简洁优美,但是,其应用需要学生对原始条件和多变量目标函数的外在结构进行适时恒等变形,对学生的思维品质(如灵活性,敏捷性和批判性等等)提出了较高要求.因此,基本不等式应     

利用基本不等式等号成立条件求解竞赛题

正基本不等式:1/2(ab)≤(a+b)/2(其中a≥0,b≥0)当且仅当a=b时等号成立,当1/2(ab)=(a+b)/2,此时即1/2(1/2a-1/2b)2=0,可看出a=b.a=b一方面可看作不等式成立的特殊情况,另一方面也可看作恒等式成立的条件.基本不等式等号成立的条件有两个:①两数非负,②两数相等,这就说明基本不等式等号成立对条件有着较强的要求.反过来如果基本     

例谈函数不等式的分类解析

正我们知道:含有函数的不等式叫做函数不等式,其基本类型有3种:抽象函数不等式、具体函数不等式、分段函数不等式.由于这些不等式能综合考查学生多方面的数学能力,所以深受命题者的青睐,而学生很是惧怕,正确率不是很高,老师也很是头疼.经笔者研究发现:函数不等式常与全称(或存在)命题相结合.下面从这一角度就这3种类型函数不等式做一个简单的归纳,希对读者有所启示.     

对不等式x/(1+x)＜In(1+x)＜x的新认知

导数"下放"后,高中数学里有下面的不等式:x/(1+x)≤ln(1+x)≤x(x>-1).本文将谈谈我们对它的新认识.一、加强首先将上面的对数基本不等式加强为:定理当x∈(0,+∞)时,     

基本不等式的“潜伏”

正基本不等式是高中数学的重要内容及求解数学问题的重要工具,是高考和竞赛考查的重点.它与函数、方程、数列、几何等相关知识联系紧密.从考试实际情况来看,很多数学问题所呈现的背景并非是基本不等式本身,基本不等式问题都"潜伏"起来了,分散在相关的知识考查中,呈现整合的特征,下面通过举例来揭开这层面纱.一、潜伏于数列中例1设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.     

以“基本不等式”为例浅谈学生数学思维缜密性的培养

在教学高中数学＂基本不等式＂中,笔者发现,学生对其概念掌握的较快,然而,一旦出现题型变化,特别是涉及具体问题时,往往会出现＂丢三落四＂＂顾此失彼＂的情形.其实,这是学生数学思维不够缜密的结果.思维缜密性是数学思维的重要品质之一,下面笔者将以基本不等式常见的错误类型为例,对如何培养学生数学思维缜密性谈一下个人看法。