一致连续性定理的若干证法

一致连续性定理在数学分析中是极为重要的定理之一,为加深对定理的理解和对它的灵活应用,汇总了与其相关的七个定理分别从多种推理给出一致连续性定理的证明。     

一致连续性定理的若干证法

一致连续性定理在数学分析中是极为重要的定理之一,为加深对定理的理解和对它的灵活应用,汇总了与其相关的七个定理分别从多种推理给出一致连续性定理的证明.     

欧拉公式的一种新证法

欧拉公式是一个十分重要的公式,它在拓扑学中有十分广泛的形式,其证明也离不开拓扑学的思想.在中学课本中只是针对简单多面体的情况,若用V、E、F分别表示简单多面体的顶点数、棱数、面数,欧拉公式断言V F-E必恒等于2.在这种情况下,若将多面体的表面看成是橡皮做的,可以将它充气成一个球面,用拓扑的语言说,它们的表面与球面同坯.     

正弦定理证法集粹

<正>江苏高中教材在推导正弦定理时,既使用了传统的证明方法,也使用了向量方法,体现了向量的工具性.另外,在推导的过程中渗透了分类讨论的思想,巩固了向量夹角,向量的加法运算等知识.通过向量的数量积把三角形边长与三角函数联系起来,起到了教材应有的指向作用.     

托勒密定理的极坐标证法

定理 圆内接四边形两组对边乘积之和等于对角线的乘积。 证明 如图,以D为极点,射线DO为极轴建立极坐标系,不妨设⊙O直径为     

正弦定理的简单证法

在△ＡＢＣ中 ,正弦定理即 ａｓｉｎＡ =ｂｓｉｎＢ =ｃｓｉｎＣ=2Ｒ ,2Ｒ为外接圆直径 ,仅需证 ａｓｉｎＡ =2Ｒ .作ＯＤ⊥ＢＣ ,垂足为Ｄ ,连结ＯＣ ,则当Ａ <90°时 ,∠ＤＯＣ =Ａ ,ａ2Ｒ =ｓｉｎ∠ＤＯＣ =ｓｉｎＡ ,当Ａ =90°时 ,ａ2Ｒ =1 =ｓｉｎ90°=ｓｉｎＡ ,当Ａ >90°时 ,∠ＤＯＣ =1 80° -Ａ ,ａ2Ｒ =ｓｉｎ∠ＤＯＣ =ｓｉｎ(1 80°-Ａ) =ｓｉｎＡ .总之 ,有 ａｓｉｎＡ=2Ｒ .此证法的优点还在于 ,可推广用于证明圆内接ｎ边形正弦定理 :设圆内接ｎ边形以边ａｉ 为弦且在其外侧的弧为 2αｉ 弧度 ,则ａｉｓｉｎαｉ=2Ｒ(外接圆…     

Pappus定理的解析证法

Pappus定理一般是用射影几何中的有关概念和结论加以证明的.本文用解析的方法给予证明,并附上计算机运算程序,以验证证明过程中得到的相关运算结果.     

Pappus定理的代数证法

在引进“齐次向量”概念的基础上,利用著名的Lagrange恒等式,证明了平面射影几何中重要的Pappus定理.     

莫利定理的构造证法

定理(Morley)将任意三角形的各角三等分,则与每边相邻的两条三等分线的交点构成一个等边三角形。此定理证法颇多,我们给出一个构造性的证法。     

莫利定理的三角证法

初等几何中最令人惊讶的定理之一是莫利(F.Morley)定理,莫利定理以其优美的结论和证明的难度而闻名于世.从现在已知的莫利定理的证明来看,证明的主要思想是一致的,那就是同一法.本文给出一种直接证法.     

蝴蝶定理的新证法

<正>《绅士日记》是一本曾在西欧国家长期风行的著名通俗杂志,它经常刊登一些问题征解,以吸引人们的研究兴趣,1815年刊登的问题是^([1]):问题过圆中AB弦的中点M作任意两弦CD和EF,连结ED和CF分别交AB于P、Q,求证:PM=MQ.因为该问题的图形(如图1)像一只翩翩起舞的蝴蝶,故称之为蝴蝶定理.作为一道数学历史名题,蝴蝶定     

蝴蝶定理的多种证法

蝴蝶定理过圆O中弦PQ的中点M引任意两弦AB、CD,连结AD、BC交PQ于E、F。     

莫莱定理的三角证法

定理△ABC的每两个内角相邻的三等分线分别相交于P,口,刀(如图).则应PQR是正三角形.证明设乙左=3a,匕B=3刀,/C二计,则a十夕丫=印“.再设只;血为a,乙,c,_4 5 in(‘O“一召)51。5 in4 5 in(石0“一丫)5 1 rl丫51:,(60“+夕)·5 in丫5 in(石O。一了)(石0。+了)·5 in夕5 in(60。一夕)口卫5 in(60“+口) 5 in(60。+丫).由干5 in夕=5 in(x+a), 5 in(60“+口)“51,、(60。研一a一卜丫)于是, 5 in(x+a)sin(60。+了) =5 1 nxsin(石0。+a+丫)。积化和差:cos(x十a~句“一沙 =e 05(60“弓一a+了一x).由牙几x十。一60。一丫二厂。“一刀一‘O一丫故…     

Brahmagupta定理的解析证法

本文对印度数学家Brahmagupta(婆罗摩及多)于公元七世纪提出的一个著名定理给出一种解析证法。 定理:圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB的中点M和对角线交点E的直线垂直于CD。 证明:建立直角坐标系,如图 设B(a,0),D(b,0),A(c,d),c(c,e),     

韦达定理的几何证法

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x_1和x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a,这就是著名的韦达定理.现行义务教育初中数学教材中的证法是利用一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.笔者在文[1]中不借助于一元二次方程的求根公式给出了韦达定理的三种代数证法,本文再给出韦达定理     

拉格朗日定理的新证法

拉格朗日(Lagrange)中值定理是微分学中一个十分重要的定理,它应用广泛。证明这个定理一直沿用构造辅助函数的办法,多年不变。为活跃思想,启迪思维,本文给出了这个定理的两种新证法。且后一证法是构造性的。给出了寻求ξ的实际计算途径。     

Pappus定理的代数证法

在引进“齐次向量”概念的基础上，利用著名的Lagrange恒等式，证明了平面射影几何中重要的Pappus定理．     

蝴蝶定理的新证法

《绅士日记》是一本曾在西欧国家长期风行的著名通俗杂志,它经常刊登一些问题征解,以吸引人们的研究兴趣,1815年刊登的问题是［1］。     

费马小定理和欧拉定理的应用

(本讲适合高中) 费马小定理和欧拉定理是数论中非常重要的两个定理,对解决整除问题和同余问题有着强大的功能,因此,也是数学奥林匹克命题的一个丰富宝藏.与费马小定理和欧拉定理有关的题目是国内外数学竞赛命题中出现频率十分高的一类问题.本文先介绍与此有关的一些知识,所涉及的定理及结论可以在任何一本数论书中找到证明,不再赘述,然后通过几个例题介绍这两个定理及有关知识的应用.     

欧拉定理:过桥得来的几何定理

在18世纪的东普鲁士,有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡,坐落在普雷格乐河畔。河当中有两个岛,人们在河两岸及河中小岛间建立了七座桥,将它们连结成一个美丽的公园(图1)。河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结,河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题:一个人怎样才能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点?当地的人们都试图解开这个难题,在桥上来来回回不知走了多少回,然而却始终不得其解。