快速分类并简化二次面(线)方程

一般二次曲线和二次曲面方程的简化和分类是解析几何的教学难点之一,不少教材介绍了利用不变量和半不变量化简的方法,但由于不变量和半不变量的定义冗长,难于记忆,因而难于运用。本文用主子式描述不变量和半不变量,并介绍记忆简表,可帮助读者快速分类并简化二次曲面(线)方程。     

二次曲面的分类

本文用高等代数中的二次型理论，解释解析几何中二次曲面的十七种类型．     

化简二次曲面方程的探究

通过结合解析几何与代数理论的知识,利用配方法、合同变换法、正交变换法给出了二次曲面方程化简的几种途径,配方法解决了利用坐标系的平移、旋转、不变量对二次曲面分类、化简时运算复杂或无法确定图形具体位置的问题;合同变换法是在不着重研究曲面几何性质时常用的一种方法,它的标准型不唯一;正交变换法正好相反．本文着重讨论它们在实际例题中的应用。     

二次曲面方程化简的理论根据

本文并非详细阐述二次曲面方程化简的方法步骤,而是着重指出这种方法的根据.     

二次曲面的化简与分类方法

对于给定的二次曲面方程,通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴方向,就成为二次曲面方程的化简方法.应用上述方法,本文通过对二次曲面方程进行化简,化简成五类方程和17种标准形式.     

一种化简二次曲面方程的新方法

利用平面上的坐标轴旋转变换消去两坐标变量的混乘项,再用空间中的移轴变换化简二次曲面方程,得到了化简二次曲面方程的一种新方法,依此方法易见曲面在给定坐标系中的位置。     

二次曲面方程的标准化及其图形实质

任意二次曲面方程在一次旋转变换和一次平移变换下总能化为标准形，依此方法易见图形实质。     

二次曲面的定义和它的方程

在多数空间解析几何教材中,对于椭圆面,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆抛物面和双曲抛物面,都是直接用方程来定义的,这种定义方法有时使人感到突然。事实上,这些曲面完全可以用动曲线在某种条件下移动来定义。也就是说,先给出二次曲面的几何轨迹、然后导出它的方程。下面我们就用这种方法来给出以上五种曲面的定义并导出它们的方程。     

应当统一并简化英语动词的分类——英语动词分类探微

动词是英语句子的生命,是英语语法教学的核心和关键所在。英语句子的基本格式或者句型及其语序和句子成分的确定无一不和动词有关;而且,动词与其它词类的关系密切,涉及的语法问题较多,如时态、语态和语气等无一不是由动词引起的题目。但是,中外语法著作及其教材关于英语动词分类的建树却是:或不尽一致,或相去很远,且众说纷纭,各持已     

用特征根求二次曲面圆截面方程

求二次曲面的圆截面方程,一般较麻烦,但若二次曲面的方程形如f(x,y,z)=ax^2 by^2 cz^2 2fyz 2gzx 2hxy=1(1)用特征根法可以很方便的求得,这是因为用旋转变换可将(1)化为：     

一类二次曲面的圆截口方程的求法

本文给出了只含两个变数的平方项的二次曲面与平面的圆截口交线方程的一种求法 ,并将结果应用于一些实例     

巧设方程 简化讨论

众所周知,求圆锥曲线标准方程的常规方法是:首先确定标准方程的类型,并将其用有关参数表示出来(设方程),然后再结合问题的条件建立含参数的等式,求得参数的值代入所设方程,即:一定性,二定量。如果题目中缺少定性条件,则要根据其所有可能,进行分类讨论,运算量大,较为繁琐。这时,若能抓住问题的具体特征,整体思考,巧设方程,常常可以简化讨论,减少运算量,使我们收到事半功倍的效果。     

一般二次曲面切平面方程的初等求法

求切平面方程的一般方法是先求切平面的法向量 (借助偏导 ) ,再用点法式写出切平面的方程。现仅用简单的初等运算即可求得切平面的方程。但仍需用高等知识给予证明     

一类二次曲面的圆截口方程的求法

本文给出了只含两个变数的平方项的二次曲面与平面的圆截口交线方程的一种求法，并将结果应用于一些实例。     

用特征根求二次曲面圆截面方程

求二次曲面的圆截面方程一般较麻烦,但对于形如     

二次曲面的切锥面方程的简单求法

利用空间直线与二次曲面相切的充要条件及将二次曲面的切锥面上任一直线的方向矢量代入二次曲面方程的二次项部分,找出与二次曲面方程之间的关系,发现了二次曲面切锥面的简单求法.     

(三)方程

方程的应用十分广泛,在复习过程中应注意以下几点。一、培养学生正确、合理、迅速的运算能力。这里正确是第一位的,合理与迅速又是有联系的,方法合理才能迅速。例如解析几何中求直线被圆锥曲线截得的线段的长时,若先求出直线和曲线的交点坐标,然后再用两点间的距离公式求线段长,运算就繁;若能应用韦达定理,运算就合理。如果能熟练地用一元二次方程的系数表示它的根的种种对称式,将能简化代数、三角和解几中的很多运算。二、培养学生归纳总结的能力。例如解方程常要用换元法,究竟在哪些情况下适宜用换元法,可以引导学生归纳出如下几种形式:     

利用对称变换求二次曲面的切平面方程

利用中心对称变换,给出了二次曲面上正常点处的切平面方程的求法。此方法异于常见的二次曲面的切平面方程的推导方法,对于探索二次曲面切平面方程的多种求法有一定的启发作用。