作一条直线平分多边形面积

《中小学数学》(初中版)2014年第4期《过任意点都能作一条直线平分三角形面积吗》,文中给出了“过三角形一边上任意点作直线平分三角形面积”的尺规作图方法.文章还提出两个未解决的问题:①过平面内任意点是否一定有一条直线平分三角形的面积?②平分三角形面积的直线是否都可以用尺规作出来.本人在平时的教学过程中对这方面问题也积累了一些经验.对于过平面内任意点是否一定有一条直线平分三角形的面积?答案是肯定的.其实,不仅对三角形而且对于任意一个平面图形都存在无数条直     

"费马点"数学模型在中考中的应用

法国数学家费马曾提出一个历史名题:在三角形所在平面上求一点,使该点到三角形三个顶点的距离之和最小,人们称这个点为"费马点",它有如下结论: 结论1 三角形的三个角都小于120°时,费马点是三角形内与三个顶点的连线两两夹角为120°的点.     

一道排列组合题的讨论

题:平面A上有不在一直线上的三点,平面B上有4个点(没有任何三点在一条直线上),此外不再有任何四点共面,问这些点能构成多少个多面体? 有一种解法认为可构成63个。这道题目的解答需要讨论,因为除B平面上有四点共面之外不再有四点共面,因而除B平面上四点确定的面可以做多而体的面外,其余任何四点构成的空间四边形均不能构成多面体的面,以三角形面作为多面体的面。具体解法讨论如下: (以下讨论均不排除凹多面体)     

利用面积坐标解一类几何竞赛题

1面积坐标的定义及有关定理 1.1 定义 如图,平面上任取一 个三角形ABC, 对于该 平面上任一点P,总可确 定三个三角形面积的比 值:::::;PBCPCAPABSSSxyzDDD=反之,对于三角形ABC,不全为零的三个实数x、y、z的比值::xyz可唯一确定平面上一个点(其中0xyz++?.这样,我们便可建立平面面积坐标系:取△ABC为坐标三角形,记点的面积坐标为P(::xyz),当0k时,有::xyz=:kx :kykz,此时(::)Pxyz、(::)Qkxkykz其实是同一点.三角形面积当顶点顺序逆时针为正,顺时针为负. 1.2 规范面积坐标 我们称(,,)PXYZ为平面上点的规范面积坐标,其中xXxyz=++,yY…     

平面凸图形内n点问题

在[1]中,我们证明了:在单位面积的三角形里放上8个点,这8个点所组成的三角形中,至少有一个三角形的面积不超过1/8。本文中,我们将证明:这一结论对一般的平面凸图形也成立,事实上,我们建立了如下结果; 定理一单位面积的平面凸图形内任意给定     

关于三角形动点类的几个不等式

利用三角形重心坐标 ,证明涉及三角形平面上一动点的一组几何不等式 .     

一道值得回味的竞赛题

1986年江苏省初中数学竞赛有下面一道试题:“在平面上任意给定5个点,其中任何三点不在一条直线上,并且它们不是凸五边形的顶点。证明下列两个结论中必有一个成立: (1)存在以某四点为顶点的凸四边形,使得另一点在该四边形内;(2)存在以某三点为顶点的三角形,使得其余两点在该三角形内。”这道题仅仅涉及三角形、凸四边形与五边形等最基本的概念,证明所需要的几何知识也     

涉及三角形一动点的3个不等式猜想的证明

证明涉及三角形平面上任意一点至三角形三顶点距离与三角形三边之间的3个不等式,确认这3个不等式的强弱关系,最后提出两个相关联的猜想.     

关于三角形动点类的几个不等式

利用三角形重心坐标，证明涉及三角形平面上一动点的一组几何不等式。     

“费马点”数学模型在中考中的应用

<正>法国数学家费马曾提出一个历史名题:在三角形所在平面上求一点,使该点到三角形三个顶点的距离之和最小,人们称这个点为"费马点",它有如下结论:结论1三角形的三个角都小于120°时,费马点是三角形内与三个顶点的连线两两夹角为120°的点.结论2三角形有一个角大于或等于120°时,费马点是钝角的顶点.中考主要考查结论1的应用,一般不涉及结论2.     

从空间分割问题看数学中的类比、归纳和猜想

一、问题的提出和解决在空间,两两相交且三三不共线、无四面共点的五个平面将空间分成几部分?推测并证明。个这样的平面将空间分成几部分? 一般地,会从n=1,2,3去猜测答案.但当n≥4时答案似乎不太明了。为了寻找规律退而考虑平面内的类似问题:n条两两相交且无三线共点的直线分乎面所成份数。再简单一点的,如n个不同点分直线所成的段数. 1.一个类比:尝试从三条直线分割平面的情况与四个平面分割空间问题作类比. 观察(图1),平面上这三条直线构成了一三角形的三边,把平面分成三部分:一是三角形内部为一个;二是与三角形共一边的有三个;再是与三角形共顶点的也三个。所以,P(3)=1 3 3=7.     

一个三角形面积的初等证明及其推广

用中学平面向量知识和点到直线的距离公式两种初等方法证明了三角形的一个含行列式表示的面积公式,并在平面和空间上推广了三角形面积的5种表示法;进一步推广了平行四边形面积的5个含行列式的表示法,也在证明三点共线方面给出了平面和空间两类行列式证明方法.     

平面基本图形浅说——初一数学竞赛系列讲座(7)

在平面内任意画出5条直线,最多可以把平面分成多少部分?这5条直线最多有几个交点?这是平面基本图形的一个典型问题:点、线、三角形是最基本的平面图形,值得认真研究.基本知识1.过两点有且只有一条直线;2.平行线的判定与性质;3.三角形的内角和等于180°.三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.在同一个三角形中,等边所对的角相等,等角所对的边相等,大角所对的边较大.例1在平面内任意画出5条直线,最多可以把平面分成多少部分?分析两条直线相交时(设交点为O),把平面分成4…     

一类线性几何不等式

应用Fermat问题的结论,证明平面上一动点到三角形三顶点距离之和的一个线性不等式,并给出几个推论.     

涉及三角形动点的一个含参比值型不等式

通过三个已知三角形恒等式和三角形重心坐标置换,用三角形嵌入不等式和配方法证明涉及三角形平面上任意一点至三顶点与三边距离的一个含参比值型不等式,据此通过置换方法与简单的三角形恒等式,推导若干新结论.     

涉及三角形动点的一个含参比值型不等式

通过三个已知三角形恒等式和三角形重心坐标置换,用三角形嵌入不等式和配方法证明涉及三角形平面上任意一点至三顶点与三边距离的一个含参比值型不等式,据此通过置换方法与简单的三角形恒等式,推导若干新结论.     

一类线性几何不等式

应用Fermat问题的结论，证明平面上一动点到三角形三顶点距离之和的一个线性不等式，并给出几个推论．     

用解析法巧解一道IMO试题

题 在一个平面上,C是一个圆周,直线l是圆周的一条切线,M是l上一点。试求出具有如下性质的所有点P的集合:在直线l上存在两个点Q和R,使得M是线段QR的中点,且C是三角形PQR只的内切圆。     

点到平面距离的几种求法

求点到平面的距离是高考热点问题,直线与平面间的距离,两平行平面间的距离,都可以转化为点到平面的距离来解决.下面介绍几种点到平面的距离的求法.一、直接法1.利用空间图形的性质寻求垂足的位置,直接向平面引垂线,构造三角形求解.例1已知ΔABC,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,ΔABC所在平面α外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14,求点P到α的距离.     

格点三角形面积的求法

一张方格纸,上面画着纵横两组平行线,相邻平行线之间的距离都相等,这样两组平行线的交点,就是所谓格点.顶点都在格点的三角形叫做格点三角形.以正方形网格为载体,求平面直角坐标系中格点三角形的面积是平面直角坐