呼吸内科 辽宁大连11600

命题1在四边形ABCD中,P是对角线AC,BD的交点.过P作一条直线分别交AB,CD于E,F,BF交AC于T,DE交AC于R,BR交AD于M,DT交BC于N,则M,P,N三点共线.证明如图1,因直线FPE截△CDR,由梅涅劳斯定理得CFFD·DERE·RPPC=1,(1)由直线FTB截△CDP得DFFC·CTPT·PBBD=1,(2)由直线BEA截△DPR得图1DBBP·PARA·REED=1.(3)(1)式×(2)式×(3)式得RPTP·CART·PPCA=1,(4)由直线MRB截△ADP得AMMD·DBPB·PRRA=1,(5)由直线BNC截△DTP得DNNT·CTCP·BPBD=1.(6)(5)式×(6)式÷(4)式得AMMD·DNNT·PTPA=1.…     

一道国家集训队选拔考试试题的简证

20 0 2年 IMO中国国家集训队选拔考试的第一题是 :设凸四边形 ABCD的两组对边所在的直线分别交于 E,F两点 ,两对角线的交点为P,过 P作 PO⊥ EF于 O,求证 :∠ BOC=∠AOD.原参考答案 (见文 [1])运用了多条辅助线 ,证明较为繁琐 ,本文给出以下简证 :图 1证明　为书写方便 ,记∠ BOC,∠COP,∠POA,∠ AOD依次为∠ 1,∠ 2 ,∠ 3,∠ 4 .考虑△ EAD和截线 BCF,由梅涅劳斯定理得 EBBA· AFFD·DCCE=1. 1再考虑△EAC和截线 BPD,由梅涅劳斯定理得ABBE· EDDC· CPAPAFFD· EDCE· CPPA=1.故 1=AFFD·EDCE· CPPA…     

四边形中一束优美的命题

命题1 在四边形ABCD中，P是对角线AC，BD的交点．过P作一条直线分别交AB，CD于E、F，BF交AC于T，DE交AC于R，BR交AD于M，DT交BC于N，则M，P，N三点共线．     

特殊四边形的性质与判定

例1(2010贵州贵阳)已知,如图1所示,E,F是四边形ABCD对角线AC上的两点,且AF=CE,DF=BE,DF∥BE.(1)求证:△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.     

凸四边形蝴蝶定理的综合证法

定理　凸四边形ABCD的两条对角线交于BD的中点O ,过O的两直线分别交BC于E、AD于F ,交AB于G ,CD于H ;GE、FH分别交BD于M、N ,则MO =ON .证明 :如图 ,过E、F、G、H作AC的平行线 ,分别交BD于E′、F′、G′、H′,再引BD的垂线 ,垂足依次为E1、F1、G1、H1.由于 OM(EE1+GG1)ON(FF1+HH1) =S△EOGS△FOH=OG·OEOF·OH =GG1·EE1HH1·FF1,①记FF′=f,EE′=e,OB =OD =b,DF′ =x ,BE′=y ,OA =a ,OC =c .则由平行关系 (作图 ) ,得fa =xb ,ec =yb ,fe =b-xb -y.从中得到1f -1e =1a-1c ,即 1FF′-1EE′=1CA-…     

从一道中考题谈起

20 0 3年北京市中考题第 2 2题 :如图 1 ,在 ABCD中 ,点E、F在对角线AC上 ,且AE =CF .请你以F为一个端点 ,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 ,猜想并证明它和图中已有的图 1某一条线段相等 (只须证明一组线段相等即可 )连结 :　　　　 ;猜想 :　　　　 =　　　　 ;证明 :分析 　 若连结BF ,则可证明BF =DE ;也可连结DF ,证明DF =BE .证明 　 连结BF ,∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AD =BC ,AD ∥BC ,∴∠DAE =∠BCF ,又AE =CF .∴△ADE ≌△CBF(SAS) ,∴BF =DE .点评 :本题所给出的图形是一个平行四边形中…     

1999年全国高中数学联赛加试试题及参考解答

如图,四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G.求证:∠GAC=∠EAC.证 连结BD交AC于H.对△BCD用塞瓦定     

一个数学奥林匹克问题的三角证法

题目如图1,存凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,过点O任作两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,直线GF、EH分别交BD于点I、J.     

一道高中数学联赛加试题的新证

题目:如图1,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证:∠GAC=∠EAC.     

梅涅劳斯定理及其应用

1　基础知识梅涅劳斯定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若A′、B′、C′三点共线 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :如图 1 ,过A作AD∥C′A′交BC延长线于D ,则　 CB′B′A=CA′A′D,AC′C′B =DA′A′B ,故　 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =BA′A′C·CA′A′D·DA′A′B=1 .梅涅劳斯定理的逆定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC ,CA ,AB或其延长线上的点 ,若BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =1 ,②则A′、B′、C′三点共线 .证明 :设直线A…