一个不等式的下界估计

《数学通报》2 0 0 0年 5月号问题 1 2 52为 :设 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,求证 :a2 b b2 c c2 a<18. ( 1 )这里 ,我们给出不等式 ( 1 )的下界估计 .定理　若 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,则a2 b b2 c c2 a>2 32 1 6 . ( 2 )证明　不妨设 a≤ b,a≤ c,则 1 - 2 a≥ 1- 2 b>0 ,1 - 2 a≥ 1 - 2 c>0 .于是 ,( 1 - 2 a) 2 ( 1 - 2 b) ( 1 - 2 b) 2 ( 1 - 2 c) ( 1 - 2 c) 2 ( 1 - 2 a)≤ ( 1 - 2 a) [( 1 - 2 a) ( 1 -2 b) ( 1 - 2 b) ( 1 - 2 c) ( 1 - 2 c) 2 ]≤ ( 1 - 2 a) [( 1 - 2 b) ( 1 - 2 a 1 - 2 c) …     

一个下界不等式的简证

文[1]提出了一个猜想不等式: 设x,y,z∈(0,+∞),则有     

一个不等式的下界及推广

文[1]给出并证明了如下不等式:设x,y为满足x y=1的非负数,λ≥1,则     

一个不等式的下界估计

《数学通报》2 0 0 2年 8月号问题 1 388为 :已知 x>0 ,y>0 ,且 x+ y=1 ,求证 :( x + y ) ( 11 + x+ 11 + y)≤ 4 33.( 1 )本文旨在给出不等式 ( 1 )左式的下界估计 .定理　若 x>0 ,y>0 ,且 x + y=1 ,则( x + y ) ( 11 + x+ 11 + y) >1 +22 . ( 2 )证明　令 u=xy,则 0 ( 1 + 22 ) 2 ( 1 + 2 u) ( 32 + u2 + 22 + u2 ) >32 + 2 ( 1 + 2 u) ( 3+ 2 2 + u2 ) >( 32 +2 ) ( 2 + u2 ) 6 u+ 2 ( 1 + 2 u) 2 + u2 >( 32+ 2 ) u2 + 2 2 .( * )∵ ( 32 + 2 ) u≤ ( 32 + 2 )×…     

一个不等式的上下界再探

文[1]证明了如下不等式: 若非负实数x,y满足x y=1,λ≥1,则√x/λ y √x/λ x≤2/√2λ 1(1).     

一个不等式的下界估计

作为一类重要的教学工具,不等式理论不断地得到丰富和发展.应用均值不等式及Holder不等式给出了一个不等式的下界估计.     

一个不等式的下界估计

上海胡炯涛先生在他的新《中学数学教育纵横谈》第102页上介绍了如下不等式：     

一个三角形中的不等式

在《数学教学》2 0 0 1年第 6期数学问题栏的第 548题为 :问题 1　设△ ABC的三边长为 a,b,c,求证 :b+ c- aa + c+ a- bb +a+ b- cc >2 2 . ( 1 )《中学数学月刊》在 2 0 0 2年第 1 1期第2 9页上用换元法给出了此题又一简捷证法 ,笔者想到的是 ( 1 )的一个类似不等式 .问题 2　在△ABC中 ,三边长为 a,b,c,求证 :c+ a- ca + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3.( 2 )证明　采用化分式为整式、化无理为有理进行逐步转化 .c+ a- ba + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3 bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab( b+ c- a)≤ 3abc [bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab(…     

一个不等式的下界估计及其推广

本文给出不等式(2)的下界估计和一种指数推广．     

三个常用不等式的下界估计

匡继昌教授编著的《常用不等式》一书中,收录了下面的三个不等式. Klamkin不等式:艺bZ eZ一aZ be。、丁、/a、,毛,毛山、了厂Andersson不等式:习。3(:一。)。,110. Morgheseu不等式:艺b3 e3一a3 b c一a、艺b。.其中,△ABC的三边长分别为a、瓦。,半周长为p,外接圆半径为R     

一类根式和下界不等式的又一种证法

文[1]证明了根式和下界不等式.文[2]也就此类不等式的证法作了研究,并给出了一种证法.本文就此类不等式的证明再给一种证法,首先给出下面不等式:     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

略谈一个不等式的应用

设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1　已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明　由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2　已知实数 a>1 ,b…     

一个不等式的简证

<数学通报>2005年1月号问题1533是:     

一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

不等式的长方形数表证法

本文应用均值不等式的推广对文[1]中的例题或练习题用列表法给出十分简捷地证明.为了阅读方便,将均值不等式的推广摘录如下:     

一个三角形线性不等式

设 P是△ ABC内部任意一点 ,P至边BC,CA,AB的距离分别为 r1 ,r2 ,r3 ,令 PA= R1 ,PB=R2 ,PC=R3 ,涉及三角形内部任意一点的不等式是一类十分有趣的几何不等式 ,最著名的是 Erdos- Mordell不等式R1 +R2 +R3 ≥ 2 (r1 +r2 +r3 ) . (1)本文将证明关于 (R1 ,R2 ,R3 )及 (r1 ,r2 ,r3 )与△ ABC半周长 s的一个线性不等式 .首先给出一个优美简洁的引理 .引理　设 P是△ ABC内部任意一点 ,则(R1 +R2 +R3 ) 2≥s2 +(r1 +r2 +r3 ) 2 . (2 )当且仅当△ ABC为正三角形且 P为中心时(2 )式取等号 .证明　令 BC=a,CA=b,AB=c,ha 为BC边…     

一个新发现的不等式链

本文旨在建立一个新的不等式链. 定理若x,y为满足x y=1的正数,则