构造解析几何模型解代数问题的几种思考途径

构造解析几何模型解代数问题的几种思考途径陕西省汉中中学黄兆全在解析几何中，通过坐标系把许多几何问题转化为代数问题，解起来很方便．同样，许多代数问题，若能根据问题的结构特征，转化、构造为解析几何问题，借助于解析几何的有关公式、性质、图形的特征、位置关系...     

几类函数最值问题的几何解法

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科,把几何问题代数化,可以降低逻辑推理的难度;反过来,对于一些较繁的代数问题,也可以通过解析几何公式转化为几何问题,通过逻辑推理的方法代替代数运算,本文略举几则.一、构造两点间距离解题【例1】求函数y=x2-2x 5 x2-4x 5的最小值.分析:函数式为两个根式,这两个根式可分别转化为两点间的距离.解:函数解析式可改写为y=(x-1)2 (0-2)2 (x-2)2 [0-(-1)]2当x变化时,它表示动点P(x,0)到两定点A(1,2)与B(2,-1)的距离之和.如图1,点P在x轴上移动,有|PA| |PB|≥|AB|,当且仅当P、A、B三点共线时取等…     

构建解几模型 解决代数问题

华罗庚曾说:“数离开形少直观,形离开数难入微。”也就是说利用数形结合的思想,可沟通代数和几何的关系,实现难题巧解。而直角坐标系正是数和形之间的重要桥梁。通过它可以把许多几何问题用数量关系来解决,同样,许多代数问题若能根据问题的结构和特征,转化、构造为解析几何模型,借助于解几中的有关公式、性质、图形特征和位置关系等来探求解法,往往会更加直观和简捷。本文将就构造解析几何模型解决代数问题的几种常见思路进行阐述和整理。1利用定比分点公式解题例1:解不等式12+-3xx≥1解:令y=12+-3xx-1≥0,则有x=14+43y(-311+43y,且y≥0。联…     

构造解几模型 解决代数问题

下面就通过几个例子谈谈几种常见的解几模型在解决代数问题中的应用.1.构造两点间的距离公式对于形如(x-a)2+(y-b)2型的代数问题,常可构造两点间的距离公式来解决.【例1】　求函数y=x2-8x+17+x2+4x+29的最小值.图1分析　本题用代数方法求解,较难入手,观察函数表达式中,二次根式的被开方式为二次式,联想到距离公式,不妨借助函数式的几何意义,运用数形结合的方法求解.解:将函数解析式改写成y=(x-4)2+(0-1)2+(x+2)2+(0-5)2,根据两点间的距离公式知,y表示x轴上的动点P(x,0)到两定点A(4,1)和B(-2,-5)的距离之和(如图1).于是问题转化为求动折线A…     

巧用解几模型解题七法

众所周知,整个解析几何的思维方法,可以通俗地概括为两句话:几何问题代数化,图形性质坐标化。在数学题中,有很多不易被我们发现的隐含的解几模型,一旦隐含条件被发掘出来,充分运用解析几何模型来解题,大有以简驭繁、化难为易,新颖轻巧,别有奇妙之效,现就巧用解几模型的七种方法举例说明如下: 一、巧用两点间距离、点到直线的距离例1 求证(x~2 y~2)~(1/2) (x~2 (1-y)~2~(1/2) (1-x)~2 y~2~(1/2) (1-x)~2 (1-y)~2~(1/2)≥2 2~(1/2). 把代数式(x_1-x_2)~2 (y_1-y_2)~2~(1/2)视为两点P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2)间的距离,从而把这类问题转化为平凡中的线段问题.     

用笛卡儿思想解高考"解几题"

笛卡儿有一解决问题的总的策略:1、一切问题都可化归为数学问题;2、数学问题都可转化代数问题;3、代数问题又可转化为方程问题.因而有完整的方程理论与解方程的方法,一切问题都不雅解决.诚然,笛卡儿未能完全实现这一理想,但他应用这一思想发明了解析几何,因而说明解析几何是方法论的产物是正确的.这一思想的实质是"在建立坐标系的条件下,将点转化为它的坐标,将几何对象坐标化(或     

坐标法解证代数、三角题

用坐标法解证代数题,就是在坐标平面内,根据数、式、方程的几何意义,通过构造几何图形,利用图形的几何性质和解析几何知识,使问题得以解决。是数形结合的具体体现。(一)用两点间距离公式。     

利用解析几何知识解代数问题例谈

解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科.反过来,用解析几何的知识和方法(解析法)来研究、解决代数问题,也应是解析几何教学的一项重要任务,它对于培养学生的思维灵活性,建立用解析几何的观点分析、解决代数问题的意识,具有重要意义.近年来,全国高考、竞赛及各地模拟考试题中,有不少代数问题,均可巧妙地运用解析几何知识转化为几何问题,加以迅速解决.本文拟举数例予以说明.     

三角解几 融为一体

解析几何的本质是用代数方法研究几何问题,而三角可以实现几何特征与代数运算的有效转化,因此解析几何中的三角问题俯拾即是:一、以三角为工具,用三角的一整套变换公式,求解圆锥曲线的特征变量【例1】设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,F1、F2是椭圆的焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求椭圆的离心率e.解:由正弦定理得|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin(π-α-β),∴|PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|sin(α+β),即2asinα+sinβ=2csin(α+β),而e=ca,∴e=sin(α+β)sinα+sinβ=2sinα+β2cosα+β22sinα+β2cosα-β2=cosα+β2cos…     

坐标法解竞赛题举隅

<正>坐标法又称解析法.其思路是:通过建立适当的坐标系,将点用坐标表示,把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题),从而利用代数知识(或几何知识)加以分析研究和计算.坐标法巧妙地把代数、几何融为一体,是联系几何和代数的桥梁,体现了数形结合思想.下面举例说明坐标法在求解初     

构造解几模型 求函数最值(高二、高三)

解析几何是用代数研究几何,反过来,若能根据代数问题的结构特征,联想几何背景,建立解几模型,然后再利用解析几何的有关公式、性质、图形特征、位置关系探求解法.这对于开拓思路,提高和培养分析问题、解决问题的能力大有裨益.本文介绍几种常几的利用解几模型求函数最值的方法.     

运用解几知识解三角问题

数形结合是中学数学思维的基本形式,解析几何是数形结合的典范,我们结合教学实践,举例说明解几知识在解证三角问题中的应用。一、运用定比分点性质解题在解析几何中,当点P为有向线段P_1P_2的内分点(或外分点)时,点P分P_1P_2所成的比λ=(P_1P)/(PP_2)为正值(或负值),利用定比分点的这个性质可以解某些三角题。     

构造解析几何模型解代数式或三角题(高二、高三)

有些代数或三角问题,有几何背景,我们可以构造解析几何模型,化数为形,利用几何的直观性,简捷获解。     

运用几何意义巧解某类代数问题

本文将代数问题中的代数式与解析几何中的斜率、两点间的距离和点到直线的距离公式联系起来,通过几何意义巧解代数问题,可以大大简化解题过程,培养学生数形结合的思想.     

由式构形解不等式问题

许多代数、三角不等式问题,如果能发掘出其数量关系中的几何特征,构造相应的几何图例1.解不等式(5-4x-x~2)~(1/2)≥x。     

来自学生的惊喜——谈谈高三复习课的一题多解

解析几何中的圆锥曲线问题．可以转化为函数、导数、三角、向量、不等式等代数问题来求解．在教学中可以通过一题多解,培养学生熟练运用代数方法解决几何问题的能力．     

建立坐标系解决直线应用问题

遇到平面几何问题(几何或几何应用问题)时,一般有两种思路.一种是纯几何的思路,即充分挖掘几何性质,利用已知定理、公式(利用公式可建立函数关系)来解决;另一种是解析几何的思路,即建立曲线(图形)的方程,利用方程的代数性质来研究图形的几何性质.直线和圆及它们的方程是新课程高考的热点内容,请同学们阅读下面两篇文章,关注并重视这两类问题.     

三道高考解几题的统一解法(高二、高三)

关于不少于三点共线的解析几何问题,若能充分利用题中条件,巧设点的坐标,恰当引入定比,应用定比分点公式将问题转化,可以使问题简捷获解. 例1 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物     

解几中最值问题的常见解法

我们知道 ,解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科 ,代数性质与几何性质相互转化是解析几何的一大特色 .最值问题是解析几何中的常见问题 ,也是高考的热点问题 ,此类问题的求解有一定的规律性 ,常用如下方法求解 .一、应用平几知识定位 ,利用解几知识求解由平面几何知道 :“三角形任意两边之和大于第三边 ,任意两边之差小于第三边”由此得平面上三点当且仅当它们共线时 ,距离之和最小或距离之差最大 .例 1　已知点Ａ( 4,1) ,Ｂ( 0 ,4) ,点Ｐ在直线Ｌ :3ｘ -ｙ-1=0上移动 ,求 ｜｜ＰＡ｜-｜ＰＢ｜｜取最大值时点Ｐ的坐标 .解 :Ｂ关于Ｌ…     

应用平面几何知识巧解解析几何竞赛题

<正>解析几何是用代数方法研究几何问题,思路直接明了,同时由于代数运算复杂,往往使很多学生对解析几何题望而生畏.但有些问题如果我们能挖掘出里面蕴含的平面几何元素,灵活运用平面几何知识,就可以简化解题过程,降低计算量.下面笔者通过一些例子肤浅谈谈平面几何在解析几何中的应用.1圆幂定理定义从一点P作一圆周的任一割线PAB,从点P起到和圆周相交为止的两线段之积PA·PB,称