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1.
题目设p、q∈R+,x∈(0,π/2),求函数f(x)=p/√sin x+q/√cos x的最小值。
这是数学奥林匹克小丛书《平均值不等式与柯西不等式》中的一道题目.书中是用带参数的柯西不等式证明的;而且用了两次,证明的难度之大、技巧性之强都是罕见的.本介绍使用赫尔德不等式的简捷解法。需要说明的是,恰当地使用赫尔德不等式的关键在于选择好指数对(p,q).因为本题表达式中已用字母p和q,故在下面的解法中改用(α,β).[第一段] 相似文献
2.
题目设p,q∈R+,x∈(0,π/2).求函数f(x)=p/√sin x+q/√cos x的最小值.
文[1]两次应用柯西不等式解之,并引入四个参数m、n、a、b;文[2]巧用赫尔德不等式,简捷而精彩.本文介绍一种更为简洁、初等的解法:构造“数字式”:4+I=5,予以解决. 相似文献
3.
《中等数学》2005年第十期《数学奥林匹克问题》中一个问题:已知α为锐角,求证1/sinα+3√3/cosα≥8;奥林匹克小丛书《平均值不等式与柯西不等式》中有一个问题:设a,b∈R^+,x为锐角,求函数f(x)=a/√sinx+b/√cosx的最小值.对于这两个题目,书中所给证明的难度和技巧都比较大,事实上.它们均可以由等式sin^2x+cos^2x=1出发,通过均值不等式得到一个一般结论,从而赋值即可. 相似文献
4.
均值不等式a+b≥2√ab(a、b∈R^+)不仅可用于证明不等式,也可用于求某些函数的最值,在中学代数里有着非常重要的地位和作用.用均值不等式求最值,总是在当且仅当a=6成立时函数才能取得最值.如。 相似文献
5.
由基本不等式x+y≥2√xy(x,y∈R^+)可得到如下最值定理:
(1)设x,y∈R^+,若x+y=s(定值),则当x=y时,xy有最大值s^2/4(即和定积最大) 相似文献
6.
7.
本文旨在建立两个新的无理不等式.
定理1若a,b〉0,满足a+b=1,则
√a^-1-a+√b^-1-b≥√6.(1)证:令x=ab,则0〈x≤(a+b)^2/4=1/4. 相似文献
8.
孔繁文 《数理天地(高中版)》2014,(11):21-21
题目 设α,b,m,n∈R,且α^2+b^2=5,ma+nb=5,则√m^2+n^2可的最小值为__.(2014年陕西卷)
1.柯西不等式
解法1 由柯西不等式,有(α^2+b^2)(m^2+n^2)≥(am+bn)^2, 相似文献
9.
苏进文 《中学数学研究(江西师大)》2007,(5):18-19
文[1]在文末提出猜想:f(x)=a/cos^nx+b/sin^x(0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数,n∈N^*当且仅当x=arctan n+2√b/a时,取最小值(2/an+2+2/bn+2)n+2/2,文[2]用相当长的篇幅且非常繁杂的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的.本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单漂亮的初等证明. 相似文献
10.
《中学数学教学参考》2007,(7):55
文[1]用较大篇幅证明f(x)≥(2/a^n+2+2/b^n+2)n+2/2(a>0,b>0,n∈N(=|x=arctan n+2√a/b) 下面给出两个初等而简捷的证明供大家参考. 相似文献
11.
钱照平 《中学数学教学参考》2006,(1):32-32
学生问到了一道不等式证明题:已知:x,y,z∈R,求证:√33+1/4(x^2+y^2+z^2)≥zy+2yz+2zx.这是一个十分有趣的问题,不等式右边不具有对称关系,而左边是一个对称式。系数√33+1/4是一个非常入眼的常数,猜想它可能是形如2α^2-α-4=0这样的二次:疗程的一个正实根。于是仓忙之中凑出了下面的一个解答. 相似文献
12.
毕攀登 《数理天地(高中版)》2014,(10):7-8
题目已知a〉b〉0,求a^2+16/b(a-b)的最小值.
思路1直接应用二元均值不等式a^2+16/b(a-b)≥2√a^2·16/b(a-b) 求最值,解题难点在于不等式右端不是定值,或者继续应用均值不等式但不能满足取等条件, 相似文献
13.
2008年高考江西卷(理科数学)的压轴题为:
已知函数f(x)=1/√1+x+1/1√1+a+√ax/ax+8,x∈(0,+∞).
(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;
(2)对任意正数α,证明:1〈f(x)〈2. 相似文献
14.
在整个高中数学中,求函数的最值是一项重要内容。这类问题常和生活实际联系比较密切。由于应用问题已进入高考,而且具有强烈的时代气息,所以最值问题也是高考的热点和难点问题。求函数最值的方法有很多种,利用均值不等式求最值是一种比较常用的方法。对均值不等式,高考已限制在二元、三元均值不等式的应用。以三元均值不等式为例:若a、b、c∈R+,则a+b+c≥33abc姨(当且仅当a=b=c时等号成立)利用此不等式求最值时应注意以下几个问题:(1)a、b、c∈R+;(2)a+b+c或abc为常数;(3)不等式中等号成立的条件必须具备。… 相似文献
15.
孙建斌 《中学数学教学参考》2008,(8):56-56
定理 设a,b∈R+,m,n∈N,x∈(0,π/2),则当且仅当x=arctan^2m+n√(b/a)^m时,y=a/cosn/mx+b/sinn/mx有最小值(a2m/2m+n+b2m/2m+x)2m+n/2m. 相似文献
16.
刘孝书 《河北理科教学研究》2005,(4):3-5
问题:已知:a,b是正常数,x,Y是正变数,a/x+b/y=1,求证:x+y的最小值是(√a+√b)^2,这是我们所熟悉的一个条件最值问题,本文将它进行推广. 相似文献
17.
《数理天地(高中版)》2012,(8):8-8
1.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
(A)√5.(B)√10.(C)2√5.(D)10. 相似文献
18.
函数f(x)=√a±bx±√c±dx(a,b,c,d〉0,定义域非空,下同)的最值可分为以下三类.
第一类型如f(x)=√a-bx+√c-dx,f(x)=√a-bx-√c+dx的函数在定义域内单调递减;型如f(x)=√a-bx+√c-dx,,y=√a+bx-√c-dx的函数在定义域内单调递增.故只要求出其定义域,根据单调性就可求出这类函数的最值.[第一段] 相似文献
19.