高中数学新教材第六章教学问答(一)

11 4 不等关系的性质 ,与相等关系的性质相比 ,有哪些异同 ?答 :( 1 )相等关系的第一条性质是“自反性” :任何一个数量都等于它自身 ,即ａ =ａ .不等关系“ >”“ <”没有自反性 ,但“非严格的”不等关系“≥”“≤”具有自反性 .( 2 )相等关系的第二条性质是“对称性” :ａ=ｂ的充要条件是ｂ =ａ .不等关系“ >”“ <”没有对称性 (例如ａ >ｂ的充要条件不是ｂ <ａ) ,但有“反对称性”(例如ａ >ｂ的充要条件是ｂ<ａ) ;不等关系“≠”具有对称性 ,“≥”“≤”具有反对称性 .( 3 )相等关系的第三条性质是“传递性” :如果ａ =ｂ,且ｂ =ｃ,…     

高考数学模拟题

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每个小题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求 )1 已知集合Ａ={ｘ∈Ｒ｜ｍ≤ｘ≤ｍ2 }为空集 ,则实数ｍ的取值范围为 (　　 )　 (Ａ) 0 ≤ｍ≤ 1　 (Ｂ) 0 <ｍ ≤ 1　 (Ｃ) 0 <ｍ <1　 (Ｄ)ｍ =0或ｍ =12 在 ＡＢＣ中 ,ａ ,ｂ分别为内角Ａ ,Ｂ所对的边 ,则“ａ≠ｂ”是“ｓｉｎＡ≠ｓｉｎＢ”成立的 (　　 )　 (Ａ)充分非必要条件　 (Ｂ)必要非充分条件　 (Ｃ)充要条件　 (Ｄ)非充分非必要条件3 已知向量ａ,ｂ满足｜ａ+ｂ｜ =2 2 ,｜ａ｜=2 ,｜ｂ｜ =3,则｜ａ-ｂ｜=(　　 )　 (…     

从一道高考题谈高三数学复习

20 0 2年高考有一道数学题为 :已知ａ >0 ,函数 ｆ(ｘ) =ａｘ -ｂｘ2 .(1)当ｂ >0时 ,若对任意ｘ∈Ｒ ,都有ｆ(ｘ) ≤ 1,证明 :ａ≤ 2ｂ ;(2 )当ｂ >1时 ,证明 :对任意ｘ∈ [0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件是ｂ- 1≤ａ≤ 2 ｂ ;(3)当 0 <ｂ≤ 1时 ,讨论 :对任意ｘ∈[0 ,1],｜ｆ(ｘ)｜≤ 1的充要条件 .绝大多数考生做此题时无所适从 ,根本不知从何下手 ,参考答案给出的方法比较抽象 ,难于理解 ,笔者有一解法 ,介绍如下 :解　 (1)由已知ａｘ -ｂｘ2 ≤ 1,∴　ｂｘ2 -ａｘ +1≥ 0 .∵　ｘ∈Ｒ ,ｂ >0 ,∴　Δ =ａ2 - 4ｂ≤ 0 ,∴　ａ≤ 2 ｂ .…     

浅谈不等式的几种常用证明方法

证明不等式,就是要证明给定不等式对于其定义域中一切数都能成立,即要证明它是一个绝对不等式,证明不等式的关键,在于抓住“条件”与“求证”之间的内在联系和结构特征,联系有关的基础知识,进行适当的变换。证明不等式的主要依据是不等式的性质,以及一些熟知的基本不等式,如ａ2 ｂ2≥2ａｂ(并且仅当ａ=ｂ时,等式成立)。ｂａ ａｂ≥2(ａ,ｂ同号,当且仅当ａ=ｂ时等式成立)。ａ ｂ2≥ａｂ(ａ,ｂ∈Ｒ 同号,当且仅当ａ=ｂ时等式成立)。ｔｇα ｃｔｇα≥2ｓｉｎα ｃｏｓα≥1　　(0≤α≤π2)不等的证明方法多种多样,下面例举几种常见思考方法,…     

石世昌“证明”中的缺陷

本刊 2 0 0 0年第 6期 ,石世昌老师的《杨学枝一个不等式猜想的证明》一文中“不妨令ｂ ｃ =2 ,ａ =ｘ( 1≤ｘ <2 )” ,由于 1≤ｘ <2 ,不能包括所有满足原猜想条件的锐角三角形 ,故造成“证明”缺陷 .例如 ,设ａ =3 0 1 ,ｂ=3,ｃ=2 -3,则ａ >ｂ >ｃ,ｂ ｃ =2 ,ｂ2 ｃ2 -ａ2 =6 99-4 3>0 ,可见△ＡＢＣ为锐角三角形 .但文章只证明了当ａ =ｘ ,1≤ｘ <2时不等式 2 (ｘ -1 )≥ 2ｘ2 1 -4 -ｘ2 成立 ,而对ｘ≥ 2没有证明 .当ｘ =3 0 1时 ,2ｘ2 1 -4 -ｘ2-2 (ｘ -1 )≈ 7 0 2 -0 99-2 3 0 1 2 >0 1 9>0 ,所以 2 (ｘ -1 ) <2ｘ2 1 …     

两个不等式的再思索

文 [1]有这样两个不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则43 ≤ 1ａ + 1+ 1ｂ + 1<32 ,(1)32 <1ａ2 + 1+ 1ｂ2 + 1≤ 85 . (2 )文 [2 ]建立了如下两个新不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则32 <1ａ3 + 1+ 1ｂ3 + 1≤ 169,(3 )1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1>32 . (4 )且在文末提出如下猜想 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1;ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2 ,则1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1≤ 2 ｎ+12 ｎ + 1. (5 )研究发现 ,文 [2 ]猜想 (5 )式成立 ,且(4 )、(5 )二式中的条件“ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2”均可弱化为“ｎ∈Ｒ+,ｎ≥ 2” ,这就是以下两个更好的不等式 :定理 1　若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ…     

2001年全国初中数学联赛试题(初赛)

一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 若ｘ -2 +ｙ +3 =0 ,则 ｙｘ 的值是 (　　 ) .(Ａ) 32 　　　　　 (Ｂ) 23 　　　　　 (Ｃ) -32 　　　　　　 (Ｄ) -232 若ａ、ｂ为实数 ,则下列命题中正确的是 (　　 ) .(Ａ)ａ >ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｂ)ａ≠ｂ ａ2 ≠ｂ2(Ｃ) |ａ|>ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｄ)ａ >|ｂ| ａ2 >ｂ23 若关于ｘ的二次方程 (ｂ -ｃ)ｘ2 +(ａ -ｂ)ｘ +ｃ -ａ =0有相等的两实数根 ,则ａ、ｂ、ｃ间的关系是 (　　 ) .(Ａ)ａ =ｂ +ｃ2 (Ｂ)ｂ =ａ +ｃ2 (Ｃ)ｃ =ａ +ｂ2 (Ｄ)ａ +ｂ +ｃ =04 若 4ｘ3-ｘ =1,则 8ｘ4+12ｘ3-2ｘ2 -5ｘ +5的值…     

一个优美的无理不等式链

上海胡炯涛先生在他的新著《中学数学教学纵横谈》上介绍了如下不等式 :已知ａ>0 ,ｂ >0 ,ａ ｂ =1,求证 :2 <ａ 12 ｂ 12 ≤ 2 .①安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 0年第 10期上 ,将不等式①的下界加强为 :ａ 12 ｂ 12 >22 62 .②笔者受不等式①、②的启发 ,发现了如下不等式 :已知ａ>0 ,ｂ >0 ,ａ ｂ=1,求证 :3≤ ａ2 12 ｂ2 12 <22 62 .③证明　 (1)由柯西不等式 ,可得(14 12 ) (ａ2 12 ) ≥ (12 ａ 12 ) 2 ,两边开方 ,得　　　　 32 ａ2 12 ≥ 12 ａ 12 .同理　 32 ｂ2 12 ≥ 12 ｂ 12 .将上面两式相加 ,整理得ａ2 1…     

函数思想在解题中的应用

函数是贯穿于初等数学的一根主线 ,函数思想是数学思想方法的重要组成部分 .函数思想的实质是剔除问题的非数学特征 ,用联系变化的观点提出数学对象 ,抽象其数量特征 ,建立函数关系 .下列举例说明函数思想在解题中的重要性和广泛的应用性 .例 1　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ2 ≤ 1 ,ｂ2 ≤ 1 ,ｃ2 ≤ 1 .求证 :ａｂ ｂｃ ｃａ 1≥ 0证明 :构造一次函数ｆ(ｘ) =(ａ ｃ)ｘ ｃａ 1若ａ ｃ=0 ,由于-1 ≤ａｃ≤ 1 ,有ａｃ 1≥ 0 .即ｆ(ｘ) ≥ 0若ａ ｃ≠ 0 ,ｆ(1 ) =ａ ｃ ｃａ 1=(1 ａ) (1 ｃ) ≥ 0 .ｆ(-1 ) =-(ａ ｃ) ｃａ 1 =(1 -ａ)…     

两变数的平方差为定值的一个代换及应用

设Ｗ =ａｕ ｂｖ　 (ｕ、ｖ为变数 ,ａ、ｂ是常数 )且ｕ2 -ｖ2 =ｒ2 　 (ｒ >0 ) .如何求Ｗ =ａｕ ｂｖ的值域 (或最值 ) ?本文探讨这一问题 .由ｕ2 -ｖ2 =ｒ2 ,作代换ｕ =ｒ2 (ｔ 1ｔ)ｖ=ｒ2 (ｔ- 1ｔ)　 (ｔ≠ 0 ) ,　　则Ｗ =ｒ2 (ａ ｂ)ｔ ａ-ｂｔ .于是求Ｗ =ａｕ ｂｖ的值域 (或最值 )转化为求函数Ｗ (ｔ) =ｒ2 (ａ ｂ)ｔ ａ-ｂｔ 的值域 (或最值 ) .ｔ的范围由ｕ ,ｖ的取值范围确定 ,常见有下面几种情形 :( 1)当ｕ≥ｒ ,ｖ∈Ｒ时 ,ｔ>0 ;( 2 )当｜ｕ｜≥ｒ ,ｖ≥ 0时 ,ｔ≥ 1或 - 1≤ｔ<0 ;( 3)当ｕ≥ｒ ,ｖ≥ 0时 ,ｔ≥ 1;( 4 )…