运用焦点三角形面积公式解题

命题1 已知椭圆x^2/a^2y^2/b^2=1（a〉b〉0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不包括长轴的两个端点），∠F1PF2=θ，则S△F1PF2=b^2tanθ/2.     

运用圆锥曲线焦点三角形面积公式解题的探究

对于一些有关焦点三角形的问题,如果能够灵活地运用焦点三角形面积公式,那么就可以避免冗长的推理和运算,大大降低难度,从而使问题得以巧妙简单地解决．     

一个新的三角形面积公式

大家知道 ,边为ａ、ｂ、ｃ的三角形的面积公式通常有海伦公式和秦九韶三斜求积公式 .在初等数学研究中 ,我们又发现一种很“好用”的形式 :Δ =ａ′ｂ′ +ｂ′ｃ′+ｃ′ａ′ (ａ′ =14(ｂ2 +ｃ2 -ａ2 ) ,等等 ) .事实上 ,将其去掉根号 ,可整理成 1 6Δ2 =2ａ2 ｂ2 +2ｂ2 ｃ2 +2ｃ2 ａ2 -ａ4 -ｂ4 -ｃ4 ,而这与由海伦公式整理成的等式是一致的 ,由推导的可逆性 ,即知公式正确 .然而如下的证明 ,更能说明公式的来源 .设存在直角四面体Ｏ ＡＢＣ ,使其斜面面积为欲求面积 ,即△ＡＢＣ的面积 ,记ＯＡ =ｘ ,ＯＢ =ｙ ,ＯＣ =ｚ ,则ｘ2 +ｙ2 =ｃ2 …     

例谈三角形面积公式S＝pr

若一个周长为２ｐ的多边形有半径为ｒ的内切圆，则其面积 Ｓ＝Ｐｒ．（１） 该结论．只要根据ｎ边形面积等于以多边形的边为边，内切圆圆心为第三个顶点的ｎ个三角形面积和即可证得．（证明略） 这一简单的关系倍受各级命题者的青睐，拟了不少与之相关的考题，信手拈来几例，便可见其一斑．例１（安庆市１９９８年初中毕业试题）如图１，已知梯形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ ／／ ＣＤ．ＡＢ： ＣＤ＝ ２： ５，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｅ是ＢＣ边上一点，若把△ＣＤＥ沿折痕ＤＥ向上翻折．Ｃ点恰好与Ａ点重合．又已知ＤＥ＝１５５，求内切于以Ｃ、Ｄ、Ａ…     

抛物线焦点三角形中常见面积公式及其应用

抛物线焦点三角形面积问题有多种求解方法,深入问题的本质,研究、分析不同方法,感悟不同方法间的联系,体会不同方法的使用原则,能达到举一反三、快速解题的目的。     

焦点三角形面积公式的推导与应用

椭圆(双曲线)上不与两个焦点共线的任意一点与两个焦点组成的三角形叫做椭圆(双曲线)的焦点三角形，涉及焦点三角形面积的试题多次出现在高考题中，直接解答一般较复杂，若利用以下公式则很简捷。     

椭圆、双曲线焦点三角形面积公式及其应用

在高考中涉及到椭圆、双曲线的焦点三角形问题很多,在这些问题中有一类与面积有关,如果我们能合理而又灵活地运用椭圆、双曲线的焦点三角形的面积公式,在解决一类有关问题时,可避免冗长的推理和运算,大大降低难度,使解题过程简捷而明了．     

巧用三角形外接圆

任意一个三角形都有外接圆,但人们往往只见三角形,不见其隐藏的外接圆.笔者发现了一些能利用三角形外接圆巧妙地解决的问题,现举例如下.     

巧用空间直线向量的参数形式解题

1 空间直线向量的参数形式 定理若A、B、C在同一直线上,则存在实数λ满足(OC→)=λ(OA→) (1-λ)(OB→).     

巧妙“猜想” 快速解题

猜想在数学中是一种非常独特的解题方法。在解题时,教师巧妙运用猜想,会激发学生的思维,并顺利完成解题,起到意想不到的功效。     

建构"球心"模型巧解"桶中放球"问题

常见的"桶中放球"问题主要有两种题型:一是已知桶的内径和需放置到桶中的球的大小及个数,求该桶的高度最小是多少;二是已知桶的内径和高度以及球的大小,求最多能放多少个球.     

运用题设的充分条件必要条件巧解题

高中新教材 (试验修订本 )数学第一册 (上 )“简易逻辑”单元介绍了充分条件、必要条件。在解题时 ,若能灵活地运用充分不必要条件、或必要不充分条件 ,加强或削弱题设 ,往往能巧妙地解题 ,且过程简捷。下面举例说明 ,以期抛砖引玉。1　由充分不必要条件加强题设 ,简捷解题对于有些题 ,在解题前应用充分不必要条件将其题设条件加强 ,然后用这个加强的条件就可以直接解题 ,这样解题简捷新颖。例 1　 (2 0 0 0年安徽春招试题 )若Ａ、Ｂ是锐角△ＡＢＣ的两个内角 ,则点Ｐ (ｃｏｓＢ -ｓｉｎＡ ,ｓｉｎＢ -ｃｏｓＡ)在 (　　 )(Ａ)第一象限　　 …     

妙用过坐标原点的两条直线统一方程解题例说

二元二次齐方程Ax2 Bxy Cy2=0,当B2-4AC＞0时所表示的曲线是过坐标原点的两条直线.此统一方程在求解直线与圆锥曲线的有关问题时有着巧妙的用途,其思想方法如下:若把圆锥曲线的弦所在直线方程ax by=1代入圆锥曲线方程,将其转化为关于x、y的二次齐次方程Ax2 Bxy Cy2=0,再化成C(y/x)2 B(y/x) A=0的形式,则弦的两个端点A(x1,y1)、B(x2,y2)与原点的两条连线的斜率k1=y1/x1,k2=y2/x2为其两根,从而利用韦达定理可使相关问题获解.下面举例加以说明.     

巧设定比分点利用坐标公式解题

定比分点坐标公式是数学中一种重要的工具,如果应用得当,常常可以巧妙地解决函数、等差数列、解析几何和不等式中的一些数学难题.     

巧用一关系式解一类题例说

设 ｆ1=ａ1ｘ ｂ1ｙ ,ｆ2 =ａ2 ｘ ｂ2 ｙ ,ｆ3 =ａ3 ｘ ｂ3 ｙ ,则ｆ2 =ａ2 ｂ2ａ3 ｂ3 ａ1ｂ1ａ3 ｂ3ｆ1 ａ1ｂ1ａ2 ｂ2ａ1ｂ1ａ3 ｂ3ｆ3(其中ａ1ｂ3 -ａ3 ｂ1≠ 0 ) ( )证　由 ａ1ｘ ｂ1ｙ=ｆ1,ａ3 ｘ ｂ3 ｙ=ｆ3 ,解得ｘ =ｆ1ｂ1ｆ3 ｂ3 ａ1ｂ1ａ3 ｂ3,ｙ =ａ1ｆ1ａ3 ｆ3 ａ1ｂ1ａ3 ｂ3,∴ｆ2 =1ａ1ｂ1ａ3 ｂ3[ａ2 (ｂ3 ｆ1-ｂ1ｆ3 ) ｂ2 (ａ1ｆ3 -ａ3 ｆ1) ]=ａ2 ｂ2ａ3 ｂ3 ａ1ｂ1ａ3 ｂ3ｆ1 ａ1ｂ1ａ2 ｂ2ａ1ｂ1ａ3 ｂ3ｆ3 。利用这一简单关系式 ,可有效地处理中学数学中的一类常见题型 ,分类例说如下 :1　求数列极限例 1　若…     

重组公式的妙用

完全平方公式 (ａ±ｂ) 2 =ａ2 ± 2ａｂ ｂ2 中含有两个等式 ,若用“加减法”对它们重新组合 ,则容易得出以下两个重组公式 :ａ2 ｂ2 =12 (ａ ｂ) 2 12 (ａ -ｂ) 2 ①ａｂ=14(ａ ｂ) 2 -14(ａ -ｂ) 2 ②如能灵活运用上述重组公式 ,则可较为简捷地解决一类竞赛题。1　含有     

巧用柯西不等式证(解)几道新题

柯西不等式(a21 a22 … a2n)(b21 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2及其变式(a21/b1) (a22/b2) … (a2n/bn)≥((a1 a2 … an)2/b1 b2 … bn)(a1,a2,…an;b1,b2,…,bn∈R ),在证(解)不等式中有重要应用,这是众所周知的.然而在使用柯西不等式时:(1)怎样更直接、更有效地使用它,使证(解)过程更简洁;(2)如何在证(解)那些形式上与柯西不等式相差甚远的不等式时使用它.这些却是常被忽视的问题.以下通过几例具体说明.