维数公式的推广

<正>笔者在从事数学系《高等代数》教学中发现,要解决某些实际问题,仅靠课本给出的两个子空间之和的维数公式是不够的。等者从两个子空间之和的维数公式出发,给出有限个子空间之和的维数公式,并称之为推广的维数公式。 (维数公式)设V_1,V_2为线性空间V的子空间, 则:维(V_1)+维(V_2)=维(V_1+V_2)+维(V_1∩V_2) 若V_1,V_2,V_3都是V的子空间,因为V_1+V_2仍为V的子间,故由维数公式,我们有:     

关于维数公式证明的进一步完善

<正> 北京大学数学力学系编《高等代数》一书的多版教材中,关于两个有限维子空间的和与交的维数关系公式的证明过程仅对两个子空间的交空间是非空的情形作了证明,但在两个子空间的交为零子空间时,定理亦是成立的,而此时,零子空间的基是不存在的,故从严格的逻辑性证明出发,本文给出了该定理的严格证明,以完成该定理的严密性。 定理(维数公式) 如果V_1,V_2是线性空间V的两个子空间,那么     

子空间的交的基与维数的一种简易求法

设F~n是数域F上的线性空间,V_1与V_2是它的两个子空间,且 V_1=L(a_1,a_2,…,a_r), V_2=L(β_1,β_2,…,β_s), 求V_1∩V_2的基与维数。 普通的方法是:首先求出向量组a_1,a_2,…a_r与β_1,β_2…β_s的极大线性无关组,即V_1与V_2的基,再利用交空间V_1∩V_2中的元素的表示法导出齐次线性方程组,求出齐次线性方程组的一个基础解系,就可得到V_1∩V_2的一个基,从而确定了维数。     

线性空间维数与基的求法

线性空间作为高等代数中的一个重要概念,而线性空间的维数与基又是线性空间的一个基本属性,是我们认识线性空间的一个重要信息,二者必须深入理解。本文从数域对线性空间的各个方面的影响说明来它所起的作用,在此基础上探讨了求维数与基的一般方法和步骤。     

一个求和公式的组合证法

<正> 在高中代数中有这样一个求和公式:12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1). (*)这个公式有各种证明方法,这里提供一种证法,供大家欣赏.这一证法主要运用了组合数的定义及性质Cnk+1=Cnk+Cn(k-1).由n2=(n+1)n-n=2·((n+1)n)/2-n中的((n+1)n)/2可     

商空间的同构定理及其应用

研究了商空间的性质,给出了有关商空间的第一、第二同构定理和同态基本定理,作为应用,证明了高等代数中的两个著名的维数公式是它们的直接推论。     

求和公式在图形问题中的应用

<正>数的计算中有这样一个公式:1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2.这是一个求和公式,这个公式具有很强的概括性和实用性,将这个公式稍加变形将会有更好的应用.如:(n-1)+(n-2)+…+3+2+1=n(n-1)/2.下面     

求数列的通项公式应注意初项

高中代数甲种本第二册P_(54)第14题的一个内容是“某等差数列{a_n}是前n项和的公式是S_n=5n~2+3n,求它的通项公式,”学生极易写出它的解答; a_n=S_n-S_(n-1) =5n~2+3n-[5(n-1)~2+3(n-1)] =8+10(n-1). 由于题目已肯定了{a_n}是等差数列,这样的题解也可算对了,然而下一题却需细心。例1 数列{b_n}的前n项和S_n=5n~2+3n+2,求它的通项公式。有的学生仿照上一题解,信手写出: “{b_n}的通项公式是     

同构思想在高等代数解题中的若干应用

本文给出了同构思想在高等代数解题中的若干应用。利用数域F上的n维向量空间V与Fn同构,L(V)与Mn(F)同构,我们解决了高等代数中一些比较困难的题目.     

谈给定数列前n项的通项公式

高中《代数》(甲种本)第二册第42页有这样一道例题: 写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1) 1,3,5,7; (2) 2~2-1/2,3~2-1/3,4~2-1/4,5~2-1/5; (3) -1/1·2,1/2·3,-1/3·4,1/4·5。我们不难得出它们的一个通项公式:     

向量组的线性相关性

用消元法解线性方程组是最基本的方法。但为说清问题,很有必要研究n维向量空间。而向量组的线性相关性是向量空间中极其重要的概念。为了帮助理解这个概念,下面对向量组的线性相关及线性无关作一些讨论。一、线性组合定义:a,b_1,b_2,…,b_s都是n维向量空间中的向量。如果有数k_1,k_2,…,k_s,使得a=k_1b_2+k_2b_2+…+k_sb_s     

介绍一个三角恒等式的应用

在高中数学第一册中,有下面的一个三角恒等式: 在非直角三角形ABC中: tgA+tgB+tgC=tA·tgB·tgC (1)这是一个很有意思的恒等式,因为它是涉及到三实数之和等于这三实数之积的问题,因此它不论在几何或在代数中,公式(1)都有很广泛的应用。公式(1)的推广是: 如果α,β,γ满足α+β+γ=Kπ(K∈J),则 tgα+tgβ+tgγ=tgα·tgβ·tgγ (2) (2)的逆定理是: 如果tgα+tgβ+tgγ=tgα·tgβ·tgγ,则α+β+γ=Kπ (K∈J) (3) 这三个恒等式的证明是大家所熟悉的,这里就不再赘述了,下面我们介绍这些等式     

幂等矩阵的性质及应用

幂等矩阵是高等(线性)代数中的一类重要的特殊矩阵,它具有良好的性质,在高等(线性)代数中占有非常重要的地位.本文利用矩阵的值域、矩阵的秩、矩阵相似关系及线性空间理论,讨论了幂等矩阵基本性质及等价刻画,给出了幂等矩阵的和、差、积仍为幂等矩阵的充分必要条件,旨在促进学生提高学习高等(线性)代数的能力.     

这五个数的总和是多少

计算 1 966+ 1 976+ 1 986+ 1 :996+ 2 006 这 五个数 的 总和 是 多少华杯赛试题?( ) 这是一道等差数列求和的计算题 特点是已知 5 个加数 它们。 ,中前后相邻二数的差相等 都是 (10 构成等差数 列 要 求总 和 是), ,多少 解题关键是熟悉等差数列 。的求和公式与应用平均数或基数的求和公式 。公式 : 等差数列 的和= 首 项+ 末① (项 数的个数 2)× ÷。 奇数个等 差数 的平 均数=②中位数 即处于中心位置的那个 (数)。 它 们 的和 = 中 位 数 数 的 个 ×数 。 和=基数 可选最小数 数 ③ ( )…     

浅谈哥西不等式的应用

张禾瑞、郝鈵新编的《高等代数》第八章欧代空间的例6:对于任意实数a_1,a_2,…a_(n-1)a_n;b_1,b_2,…b_(n-1),b_n,有不等式(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)≥(a_1b_2+a_2b_2+…+a_nb_n)~2 (1)     

学好代数式的六要点

0代数式是代数中一个非常重要的概念,它贯穿于初中代数的始终,也是学习整式、分式、方程、函数等知识的基础.学好代数式,需要熳⒁庖韵录父龇矫娴奈侍?一、了解代数式的特征1·代数式是用运算符号把数和表示数的字母连结而成的.如:3a,a+b等.2·单独一个数或一个字母也是代数式.如:7,x等.3·代数式中是不含等号的.运算律、公式都是以等号形式出现的,应该说,这些等式的左、右两边,各是一个代数式.如:S=ab,它是用等号把代数式S与ab连结起来而成为公式,所以S=ab不是代数n式,而是公式.当然,代数式中也是不含大于、小于号等.二、注意代数式的书…     

高等代数二道习题探讨

在一些较为流行的高等代数书中,都有这样2道笔者认为值得商榷的习题,本文在这里给予逐一探讨: 题目1:张禾瑞、郝鈵新:《高等代数》第3版2.4节习题5:证明:数域下上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的的幂充分必要条件是对任意     

市场价值--劳动价值理论深化认识的一把钥匙(下)

四、对市场价值构成的深化认识 马克思在《资本论》等著作中虽然指出过企业管理者劳动和科技人员的劳动也是创造价值的生产劳动,但他主要分析的是生产商品的物质生产劳动,并从劳动耗费主要包括生产资料和生产劳动这两个要素出发,进而认为商品的市场价值是由物化劳动转移的价值和活劳动创造的补偿劳动力的价值和资本家无偿占有的剩余价值三部分构成,用公式表示是: W=C+V+M 然而根据我们上面的分析,在社会主义市场经济条件下,创造市场价值的劳动不仅包括生产有形商品的物质生产劳动,而且包括生产无形商品的服务劳动以及生产精神商品的科技劳动。而且这后两部分劳动创造的价值在市场价值总量中所占的比重越来越大,发达国家占60％～80％,我国已超过30％。因此,马克思的商品价值公式需要结合新的实际进行深化认识。那么在新的历史条件下怎样对马克思的商品价值公式进行深化认识呢?我们认为朱妙宽同志的研究成果具有很重要的启迪意义。笔者阐述的市场价值构成公式是在吸取朱妙宽同志的新价值构成公式(W=C+V+M+S=C_1+C_2+C_3+V_1+V_2+V_3+M_1+M_2+M_3+S_1+S_2+S_3)精华的基础上构建的。笔者构建的市场价值构成公式如下: W=C~*+V~*+M~* 式中,C~*=C_1+C_2;V~*=V_1+V_2;M~*=M_1+M_2。 本价值构成公式就是在马     

第2006个数是多少

问题:按规律排列的一串数:2,5,9,14,20,27……求这串数的第2006个数是多少?这是一道求数列(一串数)中某项(某个数)的巧算题。其特点是已知它的前6项a1、a2、a3、a4、a5、a6,要求第2006项a2006等于多少。解题的关键是先找出第n项an与序数n的数量关系,并熟悉等差数列求和公式。公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2可以这样思考,先把前6项从第二题起拆开写成和:a1=2,a2=5=2+3,a3=9=2+3+4,a4=14=2+3+4+5,a5=20=2+3+4+5+6,a6=27=2+3+4+5+6+7。于是找到规律。规律:数列第n项an等于n个连续自然数的和。其中第一个数(首项)是2,最末一个数(末项)…     

线性子空间的并集

在高等代数里,数域P上的线性空间V的两个子空间W_1与W_2的交W_1∩W_2是V的一个子空间,它们的和W_1 W_2也是V的一个子空间。作为线性空间V的子集的两个子空间W_1与W_2的并集,一般说来不是V的子空间。但在一定条件下,它们的并也可能构成子空间。本文的目的就是要给出它们的并集是子空间的充分必要条件。