一般化——一种解题方法

“由特殊到一般”,“由一般到特殊”是人们认识事物的两个基本过程．我们可以通过特殊去探索一般结论,也可以从一般结论去研究特殊问题．用特殊化解决数学问题的方法已司空见惯,这是因为习惯上人们认为特殊问题较一般问题容易解决,特殊问题具备的条件多且有很多性质可以利用．事实上决非所有问题都是如此,正如G·波利亚在《怎样解题》中所说：“一般化也许有助于解题,越一般化的题目可能越容易解答．”这是     

运用特殊化方法解题示例

运用特殊化方法解题的策略是一种“退”的策略。所谓“退”,可以从一般退到特殊,多数退到少数,空间退到平面,抽象退到具体……正如华罗庚先生所说:“善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方。把简单的、特殊的问题搞清楚了,并从这些简单的问题的解决中,或者获得解题思路,或者提示解题方向,或者发现一般问题的结论,或者得到化归为简单问题的途径,从而再‘进’到一般性问题上来。”     

解数学竞赛题的策略探索

在数学领域里充满着辩证关系，特殊与一般便是其中的一个典范．所谓一般问题特殊化就是将一个一般问题转化为一个特殊问题，或者通过考察一般问题的某个特殊方面来寻求解决问题的途径．从特殊到一般，是数学研究中的常用方法，这种方法也可用来探索解题途径，在获得特殊情况结论的同时，往往可以得到解决一般问题的方法．特殊化是一种以退求进、先退后进的方法，它有3个基本作用：提示解题方向、寻求解题途径、直接解答问题．本文拟通过具体例子说明一般问题特殊化解题策略的运用．     

用特殊值法解题

从事物的特殊性中去探求它的一般的普遍规律是一种重要的数学方法．由于事物的特殊性中包含着事物的普遍性,所以在研究某些有关一般值的数学问题而直接解答有困难时,我们可以不考虑一般值,而直接利用特殊值去研究解决,从而促使原问题获解,这就是所谓的“特殊值法”．根据特殊值法在解题中的应用情况,在本文中,我们将分三个系列来谈如何利用特殊值法解题．一、利用特殊数值解题[典型例题]例1当x－y＝1时,x“一矿一X’y－3x‘y＋3cy‘＋y‘的值为．分析本题属求代数式值问题,常规解法是：①代人字母值（不可行）,②整体代换（可行…     

探索法种种

问题求解过程中的策略和战术称为探索法。探索法的内容很广,本文只拟就其中的几个方面来讨论。当然,一个问题,通常可能有许多不同的解法和一些明显不同的思索途径。所以解题时,不能带有某个问题只能用某一种特殊的探索法求解的框框。一、从特殊情况入手当我们想解决一个一般性问题时,可以先就它的几个简单的特殊情况进行分析,再从中归纳、发现问题的一般规律,从而获得解题的途径,这就是从特殊到一般的方法、     

小学数学教学与解题的策略和方法——特殊解题策略与方法系列讲座(九)

我们在研究或解决数学问题时,难免会遇上按常规的思维模式不易探求到解题途径而使思维受阻,解题陷入围境的情况。此时我们应迅速消除已有的思维定势的影响,运用求异思维模式,针对具体问题的特殊性去研究相应的策略,以便顺利探求到解题途径,求出问题的解答。本讲我们将结合教学讨论培养小学生求异思维能力的途径,介绍几种运用较多的特殊解题策略和方法。不求面面俱到,但求抛砖引玉——引起广大教师对培养学生求异思维能力的重视,     

特殊化思想在中学数学解题中的应用

辩证唯物主义认识论认为,从特殊到一般,从具体到抽象,这是人们普遍遵循的认识规律,对一般或抽象复杂的数学问题,采用“以退为进”的策略,通过特殊的情形、简单的事例探求问题的结论,这一思想称为数学解题中的特殊化思想,在数学解题中,恰当运用这一思想,往往能快速求得问题的真解,并能在探索解题方法等方面收到良好的实效．本文谈谈特殊化思想在中学数学解题中的应用．     

在“进”与“退”中探求解题思路

如果面对一道百思不得其解的数学难题时，我们采用“退”的方法，求得最原始又不失重要性的问题，就容易把握解题方向，很快打开解题思路。而对于用通常方法和“退”的方法很难解决的问题，我们可考虑“进”的方法。通过对由“进”得到的新问题的分析，往往能探得对原问题新颖奇特、干脆利落的解题方法。 　　对结论反映一般情形的数学题，当条件和结论的联系不明显而不易求解时，运用限定的方法，从一般退到特殊，在特殊问题的解答中，往往可以启示一般情形的解题思路。　　例1证明可写成相邻两整数之积。 　　本题结论是一般情形，条件与…     

数学解题中的辩证思维

数学中充满着矛盾,同时也处处渗透着辩证法,显然,解决矛盾的过程即是一个运用辩证法的过程,也是一个推动数学向前发展的过程,本文就如何运用辩证思维解决数学问题作一探讨,力求起到抛砖引玉的作用。 一、特殊与一般 “从特殊到一般”和“从一般到特殊”是人们正确认识客观世界的科学方法。就事论事较难时考虑一般情况可能容易一些,而一般问题的解决从分析特殊情况着手,发现解题思路。     

解数学题的整体思考方法

解数学题的关键在于能否迅速找到正确的途径和方法。通常的思考方法有“一般”与“特殊”的思考,“综合”与“分析”的思考,“正面”与“反面”的思考等。本文试图从整体思考来探讨解题方法,它与上述思考方法不同,不是从问题的条件的局部元素着手考虑,而是全面考查问题的条件和结论,从问题的整体结构出发,探求解题的思路。下面通过一些实例,谈谈这种思考方法的表现形式。 一、把未知当已知,从条件的整体思考。 问题的已知与未知都是问题条件的整体,它们都是探索解题途径的重要依据,对它们应当同等看待,那种重视已知条件轻视未知条件,往往造成思路闭塞,须改进。     

构造法在初中数学解题中的应用示例

波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”解数学问题时,常规的思考方法是由条件到结论的定向思考,但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难,甚至无从着手．在这种情况下,经常要求我们改变思维方向,换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径．     

特殊化思维在数学解题中的功能

从哲学的观点来看,任何特殊都蕴含着一般,并反映着一般,从解决问题的角度来看任何特殊问题的解决都孕育着相应的一般问题的解决,同时特殊情形的讨论还可为一般问题求解找出正确的途径,因此将一般问题特殊化,即考虑一般性命题的特殊情形,是数学解题的重要思维策略,在数学解题中,具有极为重要的功能.     

“特殊化”在中学数学解题和教学中的应用

“特殊化”是一种常用的数学猜想法,是一种创造性的思维方式．在解决某些数学问题时,用常规方法进行分析难以下手,我们就可以用“特殊化”的方法考虑,探索解题过程,看一看在特殊情况下问题呈现什么性质或规律,从而得到启发去解决一般问题．     

既然是任意 何不当特殊

有的几何题,在一般条件下不易找到解题途径,若把图形“特殊化”,就可求出题目的最终结果。解答这类问题的关键,就在于要将一般情形转化为特殊情形。     

利用转换思想解数学题

在解决数学问题时会用到许多数学思想方法,其中转换是一种非常有用的思想方法,在数学解题里有广泛的应用.尽管只是解题过程中的一个思维环节,但是对问题的顺利解决却起着至关重要的作用.世界著名数学教育家G.Polya指出:“我们如果不用‘题目的变更’几乎是不能有什么进展的”.因此,不少问题的解决,取决于能否对原问题进行一系列恰当的转换,以绕过直接解题时的障碍.下面举例说明转换思想在解题中应用的一般规律.■1.将特殊的问题转换成一般的问题“一般化”就是从考虑一个较小的集合过渡到一个包含较小集合的更大的集合.一般包括了特殊,但有…     

“特殊”与“一般”的关系在数学解题中的应用

中学数学教学的目的之一,就是要培养学生辨证唯物主义观点.在数学领域里充满着辨证关系,特殊与一般便是其中的一个典范.关于特殊与一般,以下关于逻辑方面的常识是众所周知的.一般成立,其特殊必然成立;特殊成立,一般未必成立,这也意味着看问题可以从一般到特殊.反之,"一般"比"特殊"更能揭示事物的本质,所以我们往往可以从事物的个性探索出事物的共性,这也意味着研究问题可以从特殊到一般.笔者就想通过教学中实际的案例来阐述这两者间的辩证关系.一、一般到特殊现在的高考题中很注重数学思想方法的考查,其中特殊值法就是一种重要的解题方法.它可以通过特殊化的途径或用特定的具体对象代替可变对象,或是引进新的条件限制,     

平几中一般向特殊的化归方法

由“特殊到一般”和“一般到特殊”是我们认识客观事物的普遍规律 ,数学中许多结论都是经过由特殊到一般的发现过程 ,再用一般的结论解决具体的问题 .特殊问题往往是比较简单、具体的 ,如果一个一般性的问题不易解决 ,则先考虑几种特殊情况 ,再分析特殊情况与一般情况之间的联系 ,以启迪解题思路或根据特殊情况提出猜测 ,即可得出一般性的结果 ,这就是所谓一般向特殊的化归 .下面举些实列 ,供同行教学时参考 .例 1　在正三角形 ABC的边 BC上任取一点 D,作∠ ADE=6 0°,DE交∠ C的外角平分线于 E,那么△ADE是什么三角形 ?证明你的结论…     

例举解题中的“替换”意识

在解题过程中,往往会碰到这样一种现象:题中已知或待求的式子较繁,较陌生,很难找到切入点,处理起来有较大难度.但此时,我们如果能够转换思想:用特殊替代一般;以新变元替代局部或整体;用动态思维替代静态现状;以逆向思维替代正规途径;眼前便会豁然开朗,起到化繁为简,化生疏为熟悉的功效,从而轻松获解.我们把这种“意识”称为“替换意识”.当然,替换意识在解题中的渗透因题而异,不能生搬硬套,以下就四个方面浅谈替换意识在解题中的灵活应用.一、用“特殊思维”替换所谓“特殊思维”替换是指用特殊的元素(即特殊数据、特殊函数、特殊图形等)替…     

以“退”为进解题的三种策略

著名数学家华罗庚说过:复杂的问题要善于“退”,足够地“退”,“退”到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍.对于一般性的数学问题,如果在解答过程中感到“进”有困难,或无路可“进”时,我们不妨运用“退”的思想,从一般“退”到特殊,从整体“退”到局部,从空间“退”到平面,从不等“退”到相等,总之想方设法尽可能地“退”到一个能解决问题的平台上,这样就容易激起思维的灵感,问题也随即迎刃而解.下面结合具体问题谈谈这一解题思想的应用.     

一般与特殊的辩证关系与物理解题

辩证唯物主义认为:一般与特殊是辩证的统一体.任何特殊都包含着一般,一般存在于每一特殊之中.一般与特殊的这种辩证关系启示我们,解题应当善于对问题进行从一般到特殊和从特殊到一般的转化.下面结合实例谈谈特殊与一般转化这一重要思维方法在物理解题中的应用.一、由一般演绎出特殊许多物理问题的文字解具有一般性的意义,对其进行演绎讨论导出典型特例下的结论,可以使我们对事物认识得更具体,从而使思维从抽象上升到具体.而且,因为典型特例往往很常见,所以,演绎得到的结论具有很大的实用性.记住这些结论,可以对某些物理问题迅速作出判断.例1.如图1,质量为m_1的球1以初速度V_1沿光滑水平面运动与静止的、质量为m_2的球2发生弹性正碰,试求碰后两球的速度?