巧用圆锥曲线第一定义

圆锥曲线第一定义,是个重要概念,对它的准确理解与正确运用,是学好圆锥曲线的关键.本文以椭圆和双曲线说下其应用. 一、焦半径 [例1]设F1,F2是双曲线x2/16-y2/20=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离. 分析:已知双曲线上的点到一个焦点的距离,求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式.     

例谈双曲线第一定义的应用

双曲线第一定义,是双曲线的重要概念,对它的准确理解与正确运用,是学好双曲线的关键,本文举例说明双曲线第一定义的应用.1.焦半径例1设F1,F2是双曲线x2/16-y2/20=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦     

圆锥曲线易错点分析

例1 双曲线x^2/9-y^2/16=1上有一点P到左准线的距离16/5,则P到右焦点的距离为_____.     

利用圆锥曲线的定义求最值问题

1.双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1右支上任一点P,到右焦点F_2的距离与右域内一点C(x_0,y_0)的距离之和为S,则S的最小值为____解:由双曲线的定义,可得: |PC|+|PF_2|=|PC|+|PF_1|-2a≥|F_1C|-2a当且仅当F_1,C,P三点共线时取等号,     

问疑答难

问题1.已知双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F_1、F_2,P为双曲线右支上任意一点,当(|PF_1|~2)/(|PF_2|)取得最小值时,求该双曲线离心率e的最大值.解:由点P在双曲线右支上,     

利用双曲线的两种定义分别解题

例 F_1、F_2为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点,若∠PF_1F_2=a,∠PF_2F_1=β,e为双曲线的离心率,则tgα/2·ctgβ/2=     

双曲线的特殊性质

一、双曲线两支上点的不同数量特征按定义,双曲线是到定点F_1、F_2的距离之差为定值2a(a>0)的点M的轨迹,即 |MF_1|-|MF_2|=±2a。读作|MF_1|减去|MF_2|等于+2a或-2a,也可写成差的绝对值等于2a的形式)如F_1为左焦点,F_2为右焦点,则对左支上     

切勿忽视隐含条件

在求解一些数学题目时，若不注意隐含条件的挖掘，往往容易造成错解。下面试举几例说明之。 例１．双曲线上的一点Ｐ到右焦点的距离为５，则下面结论正确的是（）。 Ａ．Ｐ到左焦点的距离为８； Ｂ．Ｐ到左焦点的距离为抡 Ｃ．Ｐ到左焦点的距离不确定３ Ｄ 这样的点Ｐ不存在 错解：设双曲线左、右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２，则由双曲线的定义，＝－５（舍去）故选Ｂ 分析：错解忽视了双曲线定义中“点Ｐ到两焦点Ｆ１、Ｆ２距离的差的绝对值是常数”的限制条件：这个常数不仅必须满足小于｜Ｆ１Ｆ２｜，还要同时满足 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜≥｜…     

关于椭圆、双曲线的张角问题

1993年全国高考上海试卷第26题的(1)、(2)两小题为:如图,P为椭圆x~2/a~2 y~2=1上的一个动点,它与长轴端点不重合,a≥2~(1/2),点F_1和F_2分别是双曲线x~2/a~2-y~2=1的左焦点和右焦点,φ=∠F_1PF_2.     

双曲线离心率的计算——从一道高考题说起

在2007年高考数学全国卷Ⅱ理科中,有这样一道试题:问题1 设 F_1、F_2分别是双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1的左、右焦点.若双曲线上存在点 A,使∠F_1AF_2=90°,且|AF_1|=3|AF_2|,则双曲线的离心率为( ).     

培养学生探究能力的教学案例

在教学例题“设双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1上一点P与左、右焦点F_1、F_2构成△PF_1F_2,求△PF_1F_2的内切圆与F_1F_2的切点坐标”时,我是这样做的:     

双曲线中三线共点问题探究

<正>"三线共点"问题是双曲线中较为常见的问题.通常可以先联立两条直线方程,求出交点,再将交点坐标代入第三条直线方程中来验证.这类问题的解决往往要结合双曲线的定义、几何性质,变化较多,难度较大.下面以一道联考题引入并作一些探究.例1已知双曲线(x²)/(a2)/(a²)-(y2)-(y²)/(b2)/(b²)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x2)=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F_1,F_2,过点F1作圆x²+y2+y²=a2=a²的一条切线分别交双曲线的左,右     

巧求离心率的范围

1．直接建立a,c的不等关系 例1 若双曲线x2/a2-y2/b2=1（a〉0,b〉0）上横坐标为3a/2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,求双曲线离心率的取值范围．     

图形定位与解题

先看下面两题:题1 过双曲线x/16-y/9=1左焦点F_1 的弦AB=6.设F_2 是右焦点.求△ABF_2 周长.题2 过双曲线X~2-Y/3=1左焦点F_1的弦AB=3.设F_2 是右焦点.求△ABF_2的周长c这两题的统一解法是使用直线的参数方程.题1利用双曲线定义有更简单的处理方法.事实上.如图1.|AF_2|-|AF_1|=2a=8 ①|BF_2|-|BF_1|=8 ②① ②得|AF_2| |BF_2|=16 |AF_2| |BF_1|又|AF_1| |BF_BF_2|=|AB|=6.周长=|AF_2| |BF_2| |AB|=28     

一道双曲线质检题的辨析、变式及推广

某省2007年质量检测有如下一道填空题:"F1、F2分别是双曲线(x2)/(16)-(y2)/(20)=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离."某考生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或|PF2|=17. 该生的解答是否正确?若正确,请将依据填在下面空格内,若不正确,请将正确的结果填在下面空格内.____ .     

探究双曲线中一类最值的求法

<正>我们知道,双曲线上一点到它的一个焦点与另一定点的距离之和或差的最值问题,是双曲线问题的常见题型.本文对这类问题进行分类讨论,研究其解法,供读者参考.题目(2009年辽宁高考题)已知F是双曲线x²/4-y2/4-y²/12=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解如图1,设F'是双曲线的右焦点,由定义得|PF|=|PF'|+4,     

椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质——兼证法探微

定义以椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)(1)的两个焦点 F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2-b~2)~(1/2))及椭圆上任意一点 P(但不是长轴顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做椭圆的焦点三角形;以双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)(2)的两个焦点F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2 b~2)~(1/2))及双曲线上任意一点 P(但不是双曲线顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做双曲线的焦点三角形(由对称性,本文姑且设 P 在双曲线的右支上).     

错在哪里

l 湖南湘乡一中 胡如松(邮编:411400)题 过双曲线X~2-y~2/3=1的左焦点F_1弦AB的长为3.设F_2是右焦点,求△ABF_2的周长.     

圆锥曲线“焦点三角形”的一些性质

定义 圆锥曲线上的点与圆锥曲线两个焦点所组成的三角形叫做焦点三角形。 性质1 双曲线焦点三角形的内切圆与实轴的切点是双曲线的顶点。 证明 不妨设双曲线的方程为x~2/a~2-y~2/b~2=1,其焦点三角形的内切圆与三边的切点分别为A、B、C。其中,A_1、A_2为顶点。易知,│F_1P│-│F_2P│=│F_1C│-│F_2B│     

用焦半径公式 简解弦长问题

<正>椭圆、双曲线或抛物线上一点与焦点的线段,叫做圆锥曲线的焦半径。(1)已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F_1(-c,0)、F_2 (c,0),P(x_0,y_0)是椭圆上的动点,则PF_1=a+ex_0,PF_2=a-ex_0,且焦半径的长度的取值