不可忽视的隐弦比

如图1,PC切⊙O于C,PAB为⊙O的割线．这是切割线定理的基本图．在证明切割线定理时,先添辅助线段CA和CB,我们把这两条以切点为公共端点的弦称为隐弦．由于△PAC∽△PCB,所以CA：CB—PA：PC(或PC：PB),这就是说隐弦比可以转化为显线段的比．     

圆幂定理及其应用

在初中《几何》第二册中,介绍了相交弦定理、切割线定理及其推论,其实这些定理可以统一成一个定理.如图1,P是⊙o内一点,Q是⊙O外一点,AB、KH是过P点的弦,MN是过P点的直径,QK是切线,KH⊥MN;QAB是割线,设⊙O的半径为R,由相交弦定     

巧用圆幂定理解题

我们已学习过相交弦定理和切割线定理.其实这两个定理可统一于下面的结论中.已知 P 为定点,⊙O 是半径为 R 的定圆,过点 P 任作⊙O的割线交⊙O 于 A、B 两点,边结 OP.求证:PA·PB=|PO~2-R~2|.     

关于圆幂定理的联想

相交弦定理和切割线定理及推论统称为圆幂定理.1 关于相交弦定理的联想由相交弦定理“圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等”可知,在过⊙O内一定点P所引的无数条弦AB、CD、EF、…     

高考数学模拟新题集锦 第二部分 新增内容 十二、数学选修系列4

选择题1.如图12-1,AD 是⊙O的切线,AC是⊙O的弦,过 C 作 AD 的垂线,垂足为 B,CB 与⊙O相交于点 E,AE 平分∠CAB,且 CE=3,则圆心 O 到弦 AC 的距离为().     

一道值得商榷的中考题

试题 如图1,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,从点D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB．     

一个容易忽视的比值

如图，已知PT切⊙O于T，PAB是⊙O的割线，连AT、BT，于是就形成了切割线定理的基本图形．     

运用圆幂定理证明比例线段(等积式)

圆幂定理揭示了圆内的弦、割线及切线之间的关系，是证明比例线段（等积式）常用的重要定理．一、直接运用圆幂定理作等积代换证题例1　如图1，设AB为圆O的直径，C是圆O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于E，AD⊥EC，交圆O于F，垂足为D，CG⊥AB，垂足为G．求证。（1）△ACG≌△ACD（2）BG·GA＝DF·DA．（1994年吉林中题）分析由△ACG≌△ACD有CG＝CD，而BG·GA＝CG2．因此要证BG·GA＝DF·DA，只需证CG2＝DF·DA．即证CD2＝DF·DA，这正是切割线定理．证明（1）连结CB，△ACG≌△ACDCG＝CD（证略…     

一个数学问题的简证

问题:⊙O1、⊙O2内切于P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,求证:AACP22=RR-r.这个问题曾两次刊登于《数学通报》的“数学问题解答”栏目,分别是问题1436和问题1578,并分别由两位老师给出不同的证明方法,笔者通过研究发现,利用平行线分线段成比例这一性质和圆的切割线定理可巧妙地解决这一问题,现给出这一问题简证如下.证明:因为⊙O1、⊙O2内切于P,所以O1、O2、P三点共线,如图连结O1、O2、P三点,并延长使其与⊙O1、⊙O2分别相交于M、N,连结AP,设其与⊙O2交于点D.当A、D分别与M、N重合时,由圆的切割线定理得:AACP22=MMNP=2R-2r2R=RR-r.当A、D与M、N分别不重合时,连结DO2、AO1,所以∠DO2N=2∠DPN,∠AO1M=2∠APM,则∠DO2N=∠AO1M.所以DO2∥AO1,AADP=OO11OP2=R-rR.又由切割线定理得:AACP22=AADP=RR-r.综上所述,AC2AP2=RR-r.(责任编辑李闯)一个数学问题的简证@罗建宇$张家港市暨阳高级中学!江苏215600     

一道冬令营试题的推广

题目在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.若∠BPC=90°,求证:AE+AP=PD.(2006,中国数学奥林匹克)本文指出,对任意三角形,类似的结论都成立.命题在△ABC中,设内切圆⊙O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP.则∠BPC=90°的充要条件是AE+AP=PD.引理1自⊙O外一点A作⊙O的切线AE及割线APD(AP相似文献   

切割线定理又一推论及应用

九年制义务教育教材《几何》第三册P_(121)介绍了切割线定理及推论,本人对推论进行探究可得如下的一个重要推论。推论:如图1,已知⊙O的半径为R,过⊙O外一点作割线PAB,则PA·PB=PO~2-R~2 (*) 证明:延长PO交⊙O于E,则PE=PO R,PF=PO-R 由切割线定理的推论,得: PA·PB=PF·PE=(PO-R)(PO     

巧用切线的性质定理

切线是和圆有唯一公共点的直线,它的性质定理是:圆的切线垂直于经切点的半径。对于某些与圆的切线有关的证明问题,巧用切线性质定理,可找到很好的解题途径。一、线段垂直问题图1例1　如图1,AB为⊙O的直径,CE切⊙O于C点,过B点的直线BD交直线CE于D点,如果BC平分∠ABD,求证:BD⊥CE证明:连OC∵CE切⊙O于C点　∴OC⊥CE∵OB=OC　∴∠OCB=∠OBC∵∠OBC=∠DBC∴∠OCB=∠DBC,OC∥BD　∴BD⊥CE图2二、线段平行问题例2　如图2,△ABC内接于⊙O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE,求证:BE∥…     

从圆幂定理谈教育数学和信息技术与数学课程的整合

正1、我国教材中的圆幂定理圆幂定理是初中几何圆部分很重要的定理,在我国教材上是以相交弦定理、割线定理和切割线定理三个定理的形式呈现的,它们合称为圆幂定理.从相交弦定理(图1)出发,将点P移到圆外就可以得到割线定理(图2),最后移动C点或D点,使他们重合便得到切割线定理(图3).三个定理的证明方法类似,都是寻找相似三角形.如图1中,可以连AC和BD得到△APC和△DPB相似,从而得到(AP)/PC=(DP)/(PB)和PA·PB     

西姆松定理的推广

西姆松定理的内容为:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线,则三垂足共线. 如图1,△ABC为⊙O的内接三角形,P为⊙O上一点,向△ABC三边各引垂线,垂足为 D、E、F,则此三点共线. 证明 联结PB.     

一道几乎覆盖半本书的复习题

做一道习题就几乎相当于复习了半本书，你相信吗？不信？那就试试！人教版《几何》第三册第２０５页第４题：已知：如图，⊙O１和⊙O２相交于点A和B，O２O１的延长线交⊙O１于点C，CA、CB的延长线分别和⊙O２相交于点D、E．求证：AD＝BE．１．突破难点读题后有些同学的第一感觉     

点弦(切)距定理及其应用

关于圆上一点到一弦或到一切线的距离有如下定理。 1.点弦(切)距定理如下图,已知P是⊙O上一点,AB是弦,PC⊥AB,PD⊥过A点的切线,C、D为垂足,若⊙O的直径PF=d,求证:PC=     

圆幂定理在几何计算中的应用

圆幂定理包含相交弦定理、割线定理、切割线定理 .这些定理是“圆”一章的重点内容 .应用圆幂定理进行计算的中考几何题十分常见 ,现分类举例如下 .一、相交弦定理的应用例 1　如图 1 ,⊙Ｏ1和⊙Ｏ2 内切于点Ｐ ,⊙Ｏ2 的弦ＡＢ经过⊙Ｏ1的圆心Ｏ1,交⊙Ｏ1于Ｃ、Ｄ .若ＡＣ∶ＣＤ∶ＤＢ =3∶4∶2 ,则⊙Ｏ1与⊙Ｏ2的直径之比为　　　 .( 1 998年江苏省南京市中考题 )分析　为应用相交弦定理 ,过切点Ｐ作⊙Ｏ2 的直径ＰＱ ,则Ｏ1、Ｏ2 必在直径ＰＱ上 .设ＡＣ =3ａ ,则ＣＯ1=Ｏ1Ｄ =Ｏ1Ｐ =ＤＢ =2ａ .∵　Ｏ1Ｐ·Ｏ1Ｑ =Ｏ1Ａ·Ｏ1Ｂ ,∴　 2…     

12.3 直线与圆的位置关系

考测点导航 1.相交弦、切割线、切线长定理及其推论; 2.这些定理及推论和函数知识相联系后证明圆中的比例线段或求角、求线段长。典型题点击一、已知如图12-15,在直角坐标系中,以y轴上的点C为圆心,1为半径的圆与x轴相切于原点O,点P在x轴的负半轴上,PA切⊙C于点A,AB为⊙C的直径,PC交OA于点D。     

可用勾股定理证明的几个平几定理

勾股定理是一个古老而又重要的几何定理 ,它在几何计算及证明中有着广泛的应用。本文将用勾股定理证明平面几何中的几个重要定理、公式 ,供参考。一、证明切割线定理已知 :点 P是⊙ O外一点 ,PT是切线 ,T是切点 ,PB是割线 ,点 A、B是它与⊙O的交点 (如图 1)。图 1求证 :PT2 =PA· PB。证明 :连结 OT、OP、OA,过点 O作 OC⊥ AB于 C。因 PT是⊙ O的切线 ,故OT⊥ PT。由勾股定理可得 :PT2 =PO2 - OT 2=PC2 OC2 - OA2 (因 OA=OT )=PC2 - AC2=( PC- AC) ( PC AC)=PA( PC CB)=PA· PB。图 2二、证明帕普斯 ( Pappu…     

圆幂定理的功能与应用

相交弦定理及其推论和切割线定理及其推论统称为圆幂定理 .由圆幂定理的条件和结论可知 ,圆幂定理具有两个基本功能 :一是利用圆幂定理证明线段等积式 (或比例式 ) ;二是利用圆幂定理进行几何计算 ,即利用圆幂定理列出关于未知几何量的方程 (或方程组 ) ,然后通过解方程 (或方程组 )求得未知几何量的值 .例 1　如图 1 ,已知⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｐ在ＢＡ的延长线上 ,ＰＣＤ是⊙Ｏ2的割线 ,且ＰＣＤ经过圆心Ｏ2 ,ＰＥ切⊙Ｏ1于点Ｅ ,ＰＣ =4,ＰＥ =8.(1 )求证 :ＰＥ2 =ＰＣ·ＰＤ ;(2 )求⊙Ｏ2 的半径 .分析　 (1 )由切割线定理…