再谈sum from k=1 to n K~2、sum from k=1 to n K~3公式的解释

《数学教学通讯》1990年第5期,1991年第2期分别发表了周学璋老师和谭光全老师的文章,对sum from k=1 to n k~2、sum from k=1 to n k~3公式,从面积和体积的角度给出了几何解释,本文想再介绍一种解释一、sum from k=1 to n k~2=1/6n(n+1)(2n+1)的解释     

例谈用逐步调整法证明不等式

如果不等式是一个n元对称式,那么应用逐步调整法来证明有时显得较方便。下面通过两个例子的分析来说明这方法的意义。例1 已知a_1,a_2,…,a_k,…为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,下列不等式成立: sum from k=1 to n (a_k/k~2)≥sum from k=1 to n (1/k). (第二十届国际数学竞赛试题第5题) 证:(1) 如果已知数列恰好满足条件: a_1相似文献   

也谈sum from k=1 to n k~2、sum from k=1 to n k~3公式的几何解释

《数学教学通讯》1990在第5期发表了周学璋同志“sum from k=1 to n k~2、sum from k=1 to n k~3公式的几何解释”的文章。作者是用面积来解释前者,用体积来解释后者的。如果用体积来解释前者,用面积来解释后者,会显得更简便。把sum from k=1 to n K~2个边长为1的正方体如图1放置,     

求sum from k=1 to n(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0)的简便方法

求自然数的方幂和S_m(n)=sum from k=1 (k~m),一般利用递推公式,先算出s_1(n),s_2(n),…,s_m-1(n),然后才能求出s_m(n)。本文给出的方法,可以直接求出sum from k=1(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0),其特殊情形就是sum from k=1(K~m)。     

关于正整数的k次根序列

设n是正整数,bk(n)表示n的k次根部分.利用初等和解析方法研究了级数sum from ∞ to n=1 1/(a3s(n))(n)和sum from ∞ to n=1 1/(bks(n))的收敛性以及sum from to n=≤x a3k(n)和sum from to n=≤x bkt(n)的均值性质,并给出渐近公式.     

一类数列的和的讨论

对一类数列和sum k=1 to n K、sum k=1 to n(K~2) sum k=1 to n K(K~3)及sum k=1 to n (K(2K-1))、sum k=1 to n((2K-1)~2)、sum k=1 to n ((2K-1)~3)试用求面积的方法给出其公式。这种方法还可推广至更高次的和。     

关于Lucas数方幂和的一般形式

设U_(en)和V_(en)是广Lucas数,用发生函数的方法得到方幂和sum from k=1 to n(U～R_(ek)和sum from k=1 to n(U～_(-ek)),以及正负相间方幂和sum from k=1 to n((-1)～kU～r_(ek))和sum from k=1 to n((-1)～kU～r_(-ek))的计算公式.     

求sum from i=1 to n i~k的简便递推公式

寻找求sum from i=1 to n i~k值的方法,研究得不浅[1-9]都有介绍。这里仅用微积分的最基本知识推出较简便的自然数幂之和的求值递推公式:S_n~(k 1)=(k 1)[integral from n=0 to n(S~k(x)dx)-n integral from n=-1 to 0 (S~k(x)ds)。其中S~k(x)是S_n~k=sum from i=1 to i~k的派生函数。     

一个求和公式与等和数列求和

数列求和是初等数学的重要问题,然而初等数学只能对一些特殊的数列可求和,对于一些看起来似乎比较简单的数列却束手无策,如数列:sum from k=1 to n((-1)~k k~4)k=1     

三角数列求和

设给定了一个数列{u_n}: u_1,u_2,u_3,…,u_n,…求它的前n项的和 S_n=sum from k=1 to n u_k=u_1+u_2+u_3+…+u_k+…+u_n 通常也把它叫做求数列sum from k=1 to n u_k的和,这里u_k表示这个数列的通项。如果数列的通项u_k是三角函数或者反三角函数的表达式,例如     

利用柯西不等式解数学竞赛题举例

<正> 不等式(1)通常称为柯西(Cauchy)不等式。有关这个不等式,已有不少中学数学杂志论及,本文在这里主要通过实例来说明它在解数学竞赛题时所起的重要作用,以及如何利用柯西不等式来解题,从而为中学数学课外活动提供一点辅导资料。 例1 已知a_1,a_2,…,a_k,…为两两各不相同的正整数,求证对任意正整数n,都有 sum from k=1 to n(a_k/k~2)≥sum from k=1 to n(1/k) (3) (第20届国际数学竞赛题,1978年)     

第2类Stirling数Bernoulli数与Euler数的解析表示式

本文给出第2类Stirling数,Bernoulli数与Euler数的解析表示式: s_2(m+1,n)=(-1)~n/n1 sum form j=1 to n(-1)~j(?)_j~(-m+1) B_n=sum form k=1 to n 1/(k+1) sum form j=1 to k (-1)~j(?)_j~(-n) E_(2n) =1/(2n+1)[sum from p=0 to n-1 sum from k=1 to 2(n-p) sum from j=1 to k (-1)~(j-1)/(k+1)·(?)(?)(4j)~2(n-p)+4n+1]因此解决了它们的计算问题。     

自然数方幂迭乘和sum from m=1 to n m~kC_n~m

自然数方幂和S_k(n)=sum from m=1 to n m~k的表达式,伯努利于1713年就已给出,而对自然数方幂迭乘和 sum from m=1 to n m~kC_n~m=1~kC_n~1 2~kC_n~2 … n~kC_n~n ①(其中k,n为任意自然数),我们只见到一些特例,即k=0时,sum from m=1 to n C_n~m=2~n;k=1时,sum from m=1 to n mC_n~m=n·2~(n-1)等等。而当k为任意自然数时,尚未见到一般的直接计算公式。本文记 R_k(n)=sum from m=0 to n m~kC_n~m,可以利用待定系数法,简便地导出它的直接计算公式。     

求sum from k=1 to n k~m的一种方法

应用 k~2=k(k+1)/2+(k-1)k/2=C_(k+1)~2c+C_k~2,那么sum ∑ from k=1 to n=(C_2~2+…C_(n+1)~2)+(C_2~2+…+C_n~2)=C_(n+2)~2+C_(n+1)~8=((n+1)n(2n+1))/6     

关于五个裴波那契公式的推广

公式(sum ∑ from k=1 to n)f_k=f_(n+2)-f_2,(sum ∑ from k=1 to n)f_(2k-1)=f_(2n)-(f_2-f_1)(sum ∑ from k=1 to n)f_(2k)=f_(2n+1)-f_1,(sum ∑ from k=1 to n)f_k~2=f_nf_(n+1)(sum ∑ from k=1 to n)f_kf_(k+1)=1/2(f_(n+2)~2-f_nf_(n+1)- 中,我们把前三个关于任意的裴波那契序列公式(即 f_n=f_(n-1)+f_(u-2),f_1=a,f_2=b)推广到二阶线性递推序列(即 f_n=pf_(n-1)+qf_(n-2),f_1=a,f_2=b,p,q,a,b 均为实数);把后两个公式推广到任意的裴波那契序列中去.     

组合式sum from k=1 to n((-1)~kK~mC_n~k(m∈N))的计算

引理1 当m相似文献   

一道东南数学奥林匹克试题的进一步推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题)求最小的实数m,使不等式m(a~3 b~3 c~3)≥6(a~2 b~2 c~2) 1对于满足a b c=1的任意实数a,b,c恒成立.文[1]对此题作了以下推广1设a_i>0,i=1,2,…,n,n≥2,sum from i=1 to n a_i=1,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m sum from i=1 to n a_i~3≥A sum from i=1 to n a_i~2 B恒成立.     

不定方程sum from i=1 to k(x_i=n)的非负整数解、正整数解的个数

本文用在集合间建立一一对应的方法、得出了求不定方程sum from i=1 to k(x_i)=n的非负整数解、正整数解的个数的公式.     

用递推法求sum from k=1 to n k~mr~kcoskα与 sum from k=1 to n k~mr~ksinkα

设 a≠1,记 S_n~(0)=(sum ∑ from k=1 to n)ak=(a(1-a~n))/(1-a),S_n~(1)=(sum ∑ from k=1 to n)kak=(a(1-a~n))/(1-a)~2-(na~(n+1))/(1-a),S_n~(m))=(sum ∑ from k=1 to n)kmak(m∈N)     

公式sum from k=1 to n (k~3=[(n(n+1))/2]~2)的几种建立方法

本文利用公式sum from k-1 to n(K=(n(n+1)/2))、sum from k-1 to n(K~2=(1/6)n(n+1)(2n+1))给出了六种不同的关于公式sum from k=1 to n(K~3=[n(n+1)/2)]~2)的建立方法。