一个例题的引伸

我们都知道:两条异面直线间距离是两条异面直线所夹公垂线段的长.而两条异面直线的公垂线是与两异面直线都垂直且都相交的直线.在具体的题目中,要作出两条异面直线的公垂线是不易的.从而直接按定义去求两异面直线的距离也就不易.把立体几何课本上的一个例题加以引伸,就可以把上述较难的问题加以转化,从而得到解决这类问题的一个方法.例:已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA’的长度为d,在a 、b上分别取点E、F,如图1设A’E=m, AF=n,求EF.(《立本几何》全一册(必修)42页例2).解:略此题解毕,利用原题图形学生很容易看出以下事实.(1)α是过两条异面直线a、b中一条b而与另一条a平行的平面.(2)AA’⊥α EG⊥α,EG可看成是直线a与平面α的距离.(3)AA’是两异面直线a、b的公垂线段,且EG=AA’由以上事实就可以得到:若求两异面直线间距离可转化成过两条异面直线中的一条有一个平面与另一条直线平行.这条直线和这个平面间的距离就是两异面直线间距离.进而再转化成点到平面的距离.下面就几个例题来说明如何应用.例1:如图2:圆柱的底半顶为2,高为4.线段AB=2(2~(1/6).它的两端分别在上下底面圆周上.求AB与圆柱上下底面圆心连线OO’间的距离.解:设过A点的母线交下底面圆周为C 则AC∥OO’∴OO’∥平面     

求异面直线间距离的特殊解题策略

求异面直线之间的距离是立体几何解题教学中的难点 ,说其难 ,常表现在学生在解题中无从下手 ,很难求到行之有效的解题策略 ,其根源在于 ,难觅公垂线段 ,往往是大海捞针到处碰壁。笔者发现在这类问题中 ,往往某些“特殊元素” ,诸如“特殊点” ,“特殊平面”、“特殊直线”非常关键 ,本文将探讨一下 ,在求解异面直线距离中特殊无素的作用。一、抓住“特殊点”是解决问题的关键异面直线间的距离是连结两直线上的“特殊图 1点”的线段之长 ,这两个特殊点就是两直线公垂线段的垂足 ,是特殊点 ,往往处在特殊的位置 ,譬如线段中点 ,端点或是定比分…     

分分合合创新路──1999年高考数学(理)(21)(Ⅲ)题的另外四种解法

题目：如（图一）,已知正四棱柱ABCD-A-1B-1C-1D_1,点Ｅ在棱Ｄ_1Ｄ上,截面EAC∥D_1B,且面EAC与底面ＡＢＣＤ所成的角为45°,AB=ａ。（Ｉ）求截面EAC的面积;（Ⅱ）求异面直线A_1Ｂ_1与ＡＣ之间的距离(Ⅲ)求三棱锥Ｂ_1一EAC的体积解：（Ｉ）（过程略）,得EO=ａ,Ｓ_(△EAC)=(2～1/2)/2ａ～2,见（图二）（Ⅱ）（过程略）得Ｄ_1Ｄ=2～1/2ａ,即Ａ_1Ｂ_1与ＡＣ的距离为2～1/2ａ,（Ⅲ）高考参考答案中给出了两种解法,本文从图形合并与分解的角度,给出另外四种解法。解法１：分析、先合后分,在（图一）中,连结B_1Ｄ_1,因…     

异面直线在矿山工程中的应用

在矿山工程中,有时需要把两条坑道联系起来,这就要寻找两条坑道之间的最短距离。工程实际中,各坑道的轴线往往构成异面直线,坑道间的最短距离的位置确定得正确与否,将是一个不可忽视的经济问题。 假设有两条直线坑道L_1和L_2,试计算二者间的最短距离并确定其位置。(即异面直线的公垂线的长及位置)     

突出“转化”思想提高解立体几何题的能力

立体几何是从平面几何发展而来的,它们之间有着紧密联系。主体图形的局部性质则可通过一个面图形的性质去认识。因而,解决立体几何问题通常是将其转化为平面问题加以解决的。在“直线和平面”这章教材中,这个转化是通过作平面来实现的,而平面的基本性质则是实现这一转化的理论根据。例如,在立体几何中用来具体刻划直线、平面的位置关系的三类空间角问题的求法,充分体现了这个转化思想。要确定和计算两条异面直线所成的角的大小,关键在于如何选择适当的点,将异面直线之一或将两异面直线同时平行移动,使求两异面直线阶成的角转化为求一个平面内的两条相交直线的交角,要确定和计算直线和平面所成     

关于实函中的一个引理

众所周知,对等关系有下面性质:没A～B,A_1～B_1,如果A∩A_1=ф,B∩B_1=ф,则A+A_(1)～B+B_1.我们自然会想到是否有下面的性质?设A～B,A_1～B_1,则A-A_1～B-B_1.     

浅谈立体几何异面直线的距离

数学教学大纲只要求会计算已给出公垂线段的二异面直线的距离。这是基本要求。由于在空间图形中无处不在,学生自然会钻研,求教这样一类习题。作为数学教师就必须掌握异面直线距离的求法。 异面直线的一般画法和异面直线距离的求法是教学中的难点,学生在处理这类题目时,深感困难,无从下手。笔者在数学教学实践中从以下三个方面给出论述。既综合应用了空间理论知识,培养了学生空间想象力和逻辑思维能力,又进而激发了学生学习立体几何的积极性。     

直线斜率在解题中的应用

直线斜率公式tga=k=y_2-y_1/x_2-x_1.(x_1≠x_2)是解析几何的基础公式之一.直线的斜率在判断两条直线的位置关系以及求直线的倾斜角、夹角等方面,有广泛的应用.然而,在涉及直线与曲线的位置关系这类问题时,若能灵活地应用直线的斜率,就会化繁为简,化难为易.1.应用直线斜率求最大值、最小值曲线上某一点的最大值或最小值,如果采用的切线的斜率来解,往往会出现“柳暗花明又一村”的境况.例1如图1,在平面直角坐标系中,在Y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B在X轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.解法:分别设A、B、C三点坐标为A(0.a),B(0,b).C(x,0),∠ACB=θ,这里a>b>o,X>0,θ∈(0,π/2).∴tgθ=K_BC-K_AC/1+K_BC·K_AC=a-b/x+ab/x≤a-b/2/2~(1/ab)∴当x=ab/x时,x=(ab)~(1/ab)时tgθ最大.此时,C点坐标为((ab~(1/ab),0)θ_Max=arctg/a-b/2~(1/ab).2.应用直线斜率求轨迹方程求点的轨迹问题是初等解析几何的重要内容之一.求线段中点的轨迹方程是常见的一类.这类问题解法很多,但灵活地使用线段所在直线的斜率求解,往往会收到事半功倍的效果.例2 如图2抛物线y~2=2PX的准线交抛物线的对称轴于A点,过A引直线交抛物线于B、C两点,求BC中点的轨迹方程.为了说明应用直线斜率求轨迹方程的灵活     

高等几何教学问题释疑

在高等几何教学中有两个根本性的问题经常遇到学生询问,觉得有必要作一些讨论.1、巴氏构图巴斯卡定理 内接于一条非退化二阶曲线的简单六点形的三双对边的交点共线.设简单六点形A_1A_2A_3A_4A_5A_6,内接于一条非退化的二阶曲线,简称为123456,三双对边     

斜率的存在性不容忽视

直线的斜率是反映倾角不等于90°时直线对x轴的倾斜程度的,它是研究两条直线以及直线和曲线的位置关系的重要依据。然而并不是所有直线都有斜率,初学者对这一点往往忽视。表现在解题中经常会主观地想象出直线的斜率,忽视斜率的存在性,就形式的套用公式,因而造成各种错误,现举例分析: 例1,求满足条件|z+1-3i|+|z+3-3i|=4的所有复数z的辐角主值的最大值和最小值。 解:在坐标平面内可以清楚地看到动点z的轨迹是椭圆。其两定点分别为F_2(-1,3),F_2(-3,3),动点到两定点距离的和为常数4,故椭圆的方程可写成     

坐标系中求三角形面积的基本方法

<正>在平面直角坐标系中求三角形面积是我们在学习函数过程中常见的问题。其基本的情况就是:如果已知三点的坐标,要求出这三点的连线所围成的三角形面积。不妨设其中的两点在坐标轴上。例:如图,已知在平面直角坐标系中,点A(0,3),B(4,0),C(2,-2),求三角形ABC的面积。解法一:补(1)如图(1)过点C作x轴的平行线l1交y轴于点D,过点A     

平面点联与平面多边形的面积

设A_1(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)是直角坐标平面上不在同一直线上的三个点,如果由A到B,由B到C,再由C到A的方向是逆时针方向,即所谓的正方向,见图1,则此三角形的面积:     

带电粒子在匀强电场中的运动的实验

现行高中物理教材中,没有带电粒子在匀强电场中的加速和偏转的演示实验。下面介绍一种器材易求,装置简单,效果较好的实验方法。一、实验器材和装置实验装置如图所示,图中A_1、A_2是J2309平行板电容器,B_1、B_2是铁架台,C是J2310感应起电器;D是在A_1板上钻出的小孔,φ6-8mm;m是外表涂碳的小粒子,P是刻钢板蜡纸的铁笔,M是小粒子串;L_1、L_2是导线。二、实验方法和原理1.演示带电粒子在匀强电场中的加速运动选直径5mm以上的聚苯乙烯发泡粒子(即包装衬垫用的泡沫塑料成型前的粒子)浸在碳素墨水中,取出凉干。A_1、A_2板距可达200mm左右,用…     

公共产品最优供给理论(下)

1、两种物品、两个消费者模型 在这种情况下,我们假定:(1)两种最终供消费的物品,一是私人品X,二是纯粹的公共品G;(2)生产的可能性边界已确定;(3)两个消费者的偏好已经给定。分析的任务是要解出私人品X与公共品G有效的相对价格与最优产量,也就是要找出一组最弱的必要条件,以证明对这两种物品来说,帕累托有效配置是存在的。图5提供了这项分析。 图5(a)表示个人A对私人产品X与公共品G的偏好;图5(b)表示个人B对私人品X与公共品G的偏好;图5(c)表示社会资源在生产私人品X与公共品G时的生产可能性边界。 分析首先得以个人B的效用水平确定为前提,比如B的效用水平为B_2B_2。知道B的效用水平为B_2B_2后,个人A最高能达到哪一条无差异曲线?     

上(下)三角分块矩阵的行列式

定义1;形如的分块矩阵叫下三角形分块矩阵.其中B_(ij)(i,j=1,…,S)是m x n的矩阵.定义2:形如的分块矩阵叫上三角形分块矩阵.其中B_(ij)是m;xn的矩阵(i.j=1.2,….S)引理:设分块矩阵其中A是S阶方阵,I是t阶单位方阵,且S+t=n,则|P|=|A|.证明:设A=(A_(?))_(?),则     

两类条件极值问题的简单解法

拉格朗日乘数法,是解决条件极值问题的著名方法,但该法的计算量很大,计算过程冗长、繁杂.本文将从数形结合的角度出发,对两类常见的条件极值问题,提供一种简单的解法.1 求函数f(x,y)=(x-x_0)~2+(y-y_0)~2+p在条件Ax+By+C=0下的最小值.对此类问题,我们可用下法求解:取xy平面上的一点P_0(X_0,Y_0),直线L:Ax+By+C=0及L上一动点P(x,y),如左图:设P_0到L的距离为d,由于“点到直线的距离不大于点到直线上任意一点的距离”,故显然有│p_0p|≥d.应用两点间距离公式及点到直线的距离公式,可得:[(x-x_0)~2+(y-y_0)~2]~(1/2)≥│Ax_0+By_0+C│/(A~2+B~2)(1/2)所以有:     

数控加工B功能和C功能刀具半径补偿方法研究

本文介绍现代数控加工中刀具半径补偿的B功能、C功能刀补方法,以直线与直线转接为例,对两程序段之间过渡中补偿问题做了详细的分析.并根据不同条件对其解决方法作了详尽的归纳总结.     

抛物线外切三角形的外接圆

任意一条抛物线Г必交于无穷远直线(?)_∞上一点P_∞,Г的外切三角形分两种情形:(一)三个切点P_1,P_2,P_3都是有限点,过此三点的切线组成△ABC(如图1),也可以看作抛物线Г旁切于△ABC(如图2),实质是相同的.     

f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0方程应用中几种错误的剖析

我们都知道 ,若有曲线Ｃ1:ｆ1(ｘ ,ｙ) =0 ,Ｃ2 :ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0 ,则方程 ｆ1(ｘ ,ｙ) +λｆ2(ｘ ,ｙ) =0表示通过Ｃ1,Ｃ2 两条曲线交点的曲线系 .人们常用这个曲线系方程来解答有关两曲线交点的问题 .但在使用这个关系式时 ,稍有不慎 ,往往会犯以下几方面的错误 .例 1　求经过两圆ｘ2 + ｙ2 + 2 ｙ - 8=0 ,ｘ2 + ｙ2 - 2 =0的交点的直线方程 .误解　设经过两圆交点的曲线方程是ｘ2 + ｙ2 + 2 ｙ - 8+λ(ｘ2 + ｙ2 - 2 ) =0 ,整理得( 1 +λ)ｘ2 + ( 1 +λ) ｙ2 + 2 ｙ - 2λ - 8=0 .只有当λ =- 1时 ,上述方程才有可能表示直线 ,将λ =- 1…     

线性空间的整体性

平面上任意有限条直线盖不满整个平面,三维空间中任意有限个平面和有限条直线盖不满整个空间.换句话说,平面不能分割为有限条直线,三维空间不能分割为有限个平面与有限条直线.即平面与三维空间都不能分割为其有限个真子空间的并.这种性质称为平面与三维空间的整体性.这一性质可以推广到无限域上一般的几维线性空间,甚至无限维线性空间上去,也可以推广到许多其他的几何与代数结构中去.已有作者对此作了讨论([1],[2]).文[1]还证明了基域的无限性条件是不可缺少的.[3]中已把这一问题作为一道习题.本文的目的,在于就有限维线性空间给出这一问题的几种新的证明.