一个条件不等式的证法探究

<正> 本文给出一个条件不等式的10种证法,从中可以看出条件不等式证明的一些常用思想方法.同时给出几个常见结论及其推广.已知:a、b、c是正数且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1/3.思路1 这是一个对称不等式,取等号的条件应为a=b=c=     

利用均值不等式配对证明一类分式不等式

不等式的证明是中学数学的一个难点,分式不等式的证明更为困难.本文提供了利用均值不等式配对证明一类分式不等式的思路. 一、如果不等式是形如sum form n to i=1 Ai2/Bi≥M的形式,且Ai,Bi(i=1,2,…,n),M均为正数,则可对Ai2/Bi配上Bi·P,成对利用均值不等式和不等式的基本性质证明. 例1 设a,b,c∈R+,求证:a2/(b+c)+b2/(c+a)+c2/(a+b)≥(a+b+c)/2. 证明:由a2/(b+c)+(b+c)/4≥a,b2/(c+a)+(c+a)/4≥b,c2/(a+b)+(a+b)/4≥c.上面三式相加得求证不等式.     

基本不等式a~2+b~2≥2ab的变形与应用

基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2.     

2013年湖南高考数学试题理科10题

题目 已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+ 4b2+ 9c2的最小值为____. 解法1 由柯西不等式得(a2 +4b2+ 9c2)(12+12+ 12)≥(a+2b+3c)2, 所以3(a2+ 4b2+ 9c2)≥36, 所以a2+ 4b2+ 9c2≥12,当a/1=2b/1=3c/1且a+2b+3c=6,即a=2,b=l,c=2/3时取得最小值.     

转化思想在解数学题中的应用

一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常…     

两个有趣的无穷长代数不等式链

2005年罗马尼亚的一道数学竞赛题为:已知a、b、c为正实数.证明:a+b/c2+b+c/a2+c+a/b2≥2(1/a+1/b+1/c). 这是一道关于三个变元a、b、c对称的分式不等式,从这个不等式出发,将其引申拓广,可得两个有趣的无穷长的代数不等式链,即有以下两个命题中的不等式链成立.     

一个对称不等式变形的应用

众所周知,若a,b∈R+,则a/b+b/a≥2,等号成立当且仅当a=b.此不等式可变形为如下的一个结论: 结论 若a,b∈R+,则a/b-1≥1-b/a,等号成立当且仅当a=b. 我们可以用上面的结论简证或简解一些对称式或轮换对称式问题,笔者通过举例来说明其运用. 例1 (《数学教学》问题384)设a,b,c是△ABC的三边,求证:a2/b+c-a+b2/c+a-b+c2/a+b-c≥a+b+c.     

错在哪里

题目已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a 2+b 2+c 2=3,则c的取值范围是.解答∵a+b+c=1,∴a+b=1-c,又∵a 2+b 2+c 2=3,∴a 2+b 2=3-c 2.根据均值不等式a+b 2≤a 2+b 22得1-c 2≤3-c 22,且该均值不等式成立的条件:a、b∈R,等号成立条件:a=0,b≥0或a≥0,b=0或a=b>0.解不等式1-c 2≤3-c 22得:1-c≤0,3-c 2≥0,或1-c>0,3-c 2≥0,()2≤3-c 22,∴1≤c≤3或-1≤c<1,综上可得:-1≤c≤3.     

一个代数不等式的修正

文[1]用高等数学方法证明了如下一个加强不等式,即命题1设a,b,c均为正数,且abc=1,若λ≤9,则1/a+1/b+1/c+λ/(a+b+c)≥3+λ/3.笔者发现这个不等式并不成立,反例如下:当a=b=2/3,c=9/4,λ=9时,     

一个不等式猜想的再推广及简证

宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下: 猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1. 文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广: 推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ.     

《一组猜想不等式的证明》引发的思考

在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式: 猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c); 猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4; 猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3; 猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2.     

2013年全国高中数学联赛B卷第10题的推广与证明

问题（2013年全国高中数学联赛B卷第10题）假设a,b,c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.这是一道优秀试题,现给出异于参考解答的几个证明.证法1由均值不等式得a2+1≥2a,b2+1≥2b,c2+1≥2c,a+b+c≥33（abc）^1/2=3,相加得a2+b2+c2+3≥2（a+b+c）=a+b+c+（a+b+c）≥a+b+c+33（abc）^1/2=a+b+c+3.     

2021奥地利数学奥林匹克不等式题的探究

(2021奥地利数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R⁺,a+b+c=1,求证:a/2a+1+b/3b+1+c/6c+1≤1/2(1).本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.1.不等式(1)的证法分析1:不等式(1)的左端每一项的结构相同,但遗憾的是分母的系数不等,注意到每一项的特点,因此可通过证明局部不等式,再叠加.     

一个有理不等式猜想的证明

文[1]给出了如下不等式:设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a/1+a+b/1+b+c/1+c+d/1+d＜1/1+abcd (1) 文[2]给出了不等式(1)的一个类比 定理 设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2+d2/1+d2＜1/1+a2b2c2d2(2) 并提出如下.     

以南京大学的自主招生试题为例谈一类不等式的证明

1.引例2008年南京大学自主招生考试第二大题为:设a,b,c为正数,且a+b+c=1,求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值.该题是不等式的一个常见问题,可以用基本不等式或柯西不等式求解,还可以推广为:     

一道加拿大《Curx》问题4624的探究

1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/4⁴√ a+√bc/4⁴√ b+√ca/4⁴√c=⁸√a³b⁴/2+⁸√b³c⁴/2+⁸√c³a⁴/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.     

一个不等式的推广

命题:若a,b,c,是正数,且a+b+c=1则: 1/a+b+1/b+c+1/c+a≥9/2这一不等式循环对称,耐人寻味,可推广出如下命题: 命题一:若a_1+a_2+…+a_n=1,a_i>0,(i=1,2,…,n,)则: 当且仅当a_1+a_2=a_2+a_3=…=a_(n-1)+a_n=a_n+a_1时,等号成立。命题二:若a_1+a_2+…+a_n=i,a_i>0 (i=1,2,…,n),则:     

2013年湖南卷理科第10题的多解及推广

1.问题试题(2013年湖南卷理科第10题)设a,b,c∈R,且满足a+2b+3c=6,则a^2+4b^2+9c^2的最小值为______.2.问题解决视角1柯西不等式法解法1:由柯西不等式得(a+2b+3c)^2=(1×a+1×2b+1×3c)^2≤(1^2+1^2+1^2)(a^2+4b^2+9c^2)=3(a^2+4b^2+9c^2),即a^2+4b^2+9c^2≥12,当且仅当a=2,b=1,c=2/3时等号成立.     

一个不等式的推广

文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n …     

一道美国竞赛题的简证及推广

题目 已知正实数a,b,c满足abc=1,证明:1/a5(b+2c)2+1/b5(c+2a)2+1/c2(a+2b≥1/3. 这是2010年美国国家队选拔考试第二题,刊在《中等数学》2012年第8期上,参考答案上通过构造两个和式,连续二次运用柯西不等式进行证明,显得有些繁琐,本题其实可以利用基本不等式得到简捷证明.