受挫愈深 得益愈丰——课堂诱发学生出错的一点体会

课堂教学中,有意创设问题情境,诱发学生出错,使其在受挫中“吃一堑”,在顿悟中“长一智”,可收到事半功倍之效。请看下面的教学实例: 〔实例一〕在学生初步掌握了“三角形内角和是180°”的规律后,教师拿出一个硬纸做的等腰三角形,问学生:“这个三角形的内角和是多少度?”接着沿三角形底边上的高对折,使其成为两个完全相同的小三角形,继而追问:“每个小三角形的内角和是多少度?”学生由于受三角形面积大小关系的迷惑,很肯定的答道:“90°!”抓住这一时机,教师因势利导,组织学生讨论,     

有意的模糊 完美的收效

在一次校级公开课上,我执教了“三角形的分类”一课。在设计把三角形按边分类这一环节时,我遇到了一个难点:三角形按边如何分?教师教学用书和教材中都没有详细说明三角形按边分的理由,对小学生来说,难以理解。其实只要让学生认识等腰三角形、等边三角形即可。但是,作为一节公开课,如果不把知识的结构弄清,如何能收到完美的教学效果呢?于是,我翻阅了相关资料,其分法如下:方法一:等边三角形,不等边三角形(包括等腰三角形)。方法二:等腰三角形(包括等边三角形),不等腰三角形。这两种分类方法,对小学生来说,显然都比较难以理解。如果硬把这些分…     

寻找隐藏的等腰三角形

等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称为“三线合一”．经过证明发现：如果三角形中一条线段既是角平分线又是高,或者既是角平分线又是中线,或者既是中线又是高,那么这个三角形是等腰三角形．即一条线段具有双重“身份”,那么它所在的三角形就是等腰三角形．这个简单的结论可以利用在许多几何问题中,通过找出隐藏的等腰三角形,根据“三线合一”来证明．下面举几个典型的例题：     

等腰三角形只有一条对称轴吗?

前不久,我在一份数学试卷上看到一道判断题:等腰三角形只有一条对称轴,对吗?标准答案是:正确。对此,我不敢苟同。我们知道,等腰三角形是“有两条边相等的三角形”,它的外延包括“只有两条边相等的三角形(即底和腰不相等的等腰三角形”和“三条边都相等的三角形(即等边三角形)”两类。对前一类等腰三角形来讲,它的确只有一条对称轴,但后一类等腰三角形却有三条对称轴。因此,笼统地讲“等腰三角形只有一条对称轴”是不妥的。正确的说法应是“等腰三角形有一条或三条对称轴”。所以会产生这个失误,是     

命题以避免岐义为好

某地六年级数学统测中出现了以下两道有争议的题目:(1)填空:三角形中有两个内角都是65°,那么这个三角形是( )三角形;(2)判断:甲数比乙数多1/3,乙数就比甲数少1/3。( )评卷答案为:(1)等腰三角形;(2)“×”。结果引起任课教师们的争论。第(1)题的正确答案,除了“等腰三角形”以外,还可有“锐角三角形”。尽管命题者的意图是要求学生从三角形中的两个内角相等逆推到两内角所对的边也相等,因而该三角形为等腰三角形。但是学生的解答另辟蹊径,从三角形内角和的性质出发,逆推到第三个角为50°,那么该三角形为锐角     

由平行线和角平分线推出的等腰三角形

初二几何教材在“等腰三角形的判定”这一节的开始,提出了下面两道题: 其一是第75页例1.求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形. 这就是,已知:如图1,∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.求证:AB=AC.     

这样分类是个失误

一位教师教学七册“等腰三角形”一节时,先复习了三角形的概念和三角形按角分类的问题。继而讲等腰三角形和等边三角形的意义。然后说:“我们对三角形也可以按边分类,即把三角形分成不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类。”同时,在黑板上出示了下面这样的韦恩图(如图1)。     

初中平面几何课本中的一处疑点

在学习“逆命题、逆定理”内容时,学生在回答一个命题的逆命题中,经常犯这样的错误,如:“等腰三角形的两底角相等”的逆命题学生答为:“两底角相等的三角形是等腰三角形”;“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题学生答为:“斜边上的     

孩子为何只认识等腰三角形

我曾发现有位教师在教孩子认识三角形时,只给孩子看等腰三角形,结果使有些孩子以为只有等腰三角形才是三角形,其它样式的三角形就不是三角形了。由此我想到,我们在教孩子某个概念时应注意的一些问题: 首先,我们应给孩子提供充分的、能说明概念的直观材料或具体事例,为他们掌握概念提供丰富的感性经验。如这位教师能给孩子看各种样式的三角形和实物,孩子在形成“三角形”这个概念时,就不会只认识等腰三角形。其次,在给某一概念下定义时,教师应抓住概念     

边根综合的探究纪实

美国著名的数学家G波利亚曾指出:“学习任何东西,最好的途径是自己去发现”,德国教育家第斯多惠说:“一个坏教师给学生奉献真理,一个好教师则引导学生发现真理”。在学习一元二次方程解直角三角形时,为了培养学生探究实践,曾开展“边根综合的探究活动”,师生受益不少,感受颇深。本文撷取片断,以飨读者。2004年襄樊市中考模拟题中有这样一题:若一个三角形三边长均满足方程x2-6x+8=0求此三角形的周长。方程x2-6x+8=0根是x1=2,x2=4当三角形为等腰三角形(底与腰不等)时,三角形的周长为4+4+2=10.当三角形是等边三角形时,三角形的周长为12或6。类…     

等腰三角形学习问答

1.什么是等腰三角形?答:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.把相等的两边都叫做腰,另外一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角,所以一个等腰三角形中,有两条腰,一个底边,一个顶角,两个底角.2.等腰三角形有什么重要性质?答:等腰三角形有下列一些重要性质:(1)等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴.(2)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).3.如何判断一个三角形是等腰三角形?答:如果一个三角形有两个角相等…     

万能的三线合一——以“三角形问题的解答”为例

<正>“三线合一”是指在等腰三角形中底边上的高、中线和顶角的平分线重合,用数学符号可以归纳为:在△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点,满足下面三个条件中的一个,另外两个条件也成立:(1)AD⊥BD;(2)∠BAD=∠CAD;(3)BD=CD．由此可知等腰三角形的“三线合一”是一个“万能”的性质定理,当同学们解答等腰三角形问题时能够用其证明线段相等、两角相等、两线互相垂直等．一、利用“三线合一”性质解答三角形问题的注意事项因为“三线合一”是等腰三角形的重要性质,所以其使用前提是在等腰三角形中,如果是其他三角形不能使用“三线合一”性质．如果几何问题中没有明确给出三角形是等腰三角形,可以添加辅助线构造等腰三角形,然后再使用“三线合一”性质．     

“等腰三角形”一节怎么教?

一、在测量、自学中初步认识等腰三角形。教师用油印印发如下五图,要学生用尺量每个三角形每边长度,得数记在图上。量完后问:“这些图的边长有哪几种情况?”“哪几个三角形有两条边相等?”学生回答后,教师说:“两条边相等的三角形叫什么图形?这种图形各部份分别叫什么名称?请大家     

探索动态构成等腰三角形的解题

有两边相等的三角形是等腰三角形,是在运动过程中能够构成等腰三角形的重要判定依据.由于有两个角相等的三角形也是等腰三角形,即等边对等角也是一种判定依据;等腰三角形三线合一这个性质的逆定理也可以用来判定一个三角形是等腰三角形。因此.动态构成等腰三角形值得探讨研究．     

由平行线和角平分线推出的等腰三角形

初二几何教材在“等腰三角形的判定”一节的开始 ,提出下面两道题 :其一是第 75页例 1,求证 :如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边 ,那么这个三个形是等腰三角形。这就是 ,已知 :如图 ,∠ CAE是△ ABC的外角 ,∠ 1=∠ 2 ,AD∥ BC,求证 :AB=AC。　　其二是第 76页练习题第 3题 ,已知 :如图 ,AD∥BC,BD平分∠ ABC。求证 :AB=AD。　　这两道题提供了一种新的思路 :由平行线和角平分线的条件来推出一个三角形是等腰三角形。事实上 ,这个思路在解题中往往很有用处。例 1.已知 :如图 ,DC∥AB,AD∥ BC,∠ 1=∠ 2 ,∠ 3=∠ …     

关于“边边角”成立条件的三次讨论

命题:两边及其中_边的对角对应相等的两个三角形全等.类似于“SAS”,我们把这个命题叫做“SSA”.这个命题是假命题,我们通常利用等腰三角形来构造反例,有两种方式.方式1如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D     

一道填充题的一种教法

统编五年制《数学》十册86面有一道填充题:“两个完全一样的三角形可以拼成一个——,所以三角形的面积——.”编者的意图,在于使学生理解“三角形的面积是与它等底等高平行四边形面积的一半”但由于“两个完全一样的三角形”既可理解为任意三角形,又可理解为“等腰三角形”、“直角三角形”或“等腰直角三角形”等,学生很难得出合乎编者意图的答案.为解决这一问题,我在教学时先要求学生把准备好的各种三角形硬纸板拿出来,选取两个     

直觉·猜想·证明(2)

(续上期)问五如果两个等腰三角形有相同的面积和周长,这两个三角形一定全等吗?为什么?分析有了问四的经验,可能大家想法很一致:“这两个三角形一定全等”,但是要证实这个猜想却很难,尽管要证实这个猜想的欲望都很强.几经碰壁,人人碰壁以后,头脑冷静的同学也许会转而怀疑这个猜想了!这不是退却,而是实事求是的表现.事实也证明,这种怀疑是可取的,因为两个等腰三角形虽然具有相同的面积和相同的图1虽然具有相同的面积和相同的周长,这两个三角形不一定全等.这真是出人意料,但又在情理之中.如图1中的两个等腰三角形的面积都等于420,周长都等于98,…     

概念教学病例试诊

在数学教学中,概念教学的难度大、要求高,稍不留意即出错误。本文拟对几个常见的典型病例进行试诊。病例1“两腰相等的三角形叫做等腰三角形。”诊断:在一般的三角形中,只把围成它的三条线段都称作“边”,而未定义“腰”。只在等腰三角形中才定义“腰”——等腰三角形中相等的两边叫做两腰。“腰”既是在“等腰三角形”的基础上定义的,现又反过来用“腰”定义“等腰三角形”,就犯了“循环定义”(也称“逻辑循环”)的错误。治疗:正确的定义应是:“两边相等的三角形叫做等腰三角形。”     

谈“手拉手模型”的解题思路

“手拉手模型”是基于全等三角形的一个典型的数学模型,它是基于三角形全等,由两个等腰三角形旋转而成的一个基础模型.由于这两个三角形具备一个公共顶点,很像两双手拉在一起,故取名“手拉手模型”.“手拉手模型”是全等三角形板块中非常重要的模型之一,笔者总结有关“手拉手模型”的解题思路,希望能给学生带来启示.