构造解几模型,探求函数值域

函数值域求法很多,如配方法,导数法,单调性法、不等式法等等.数形结合法就是其中一种,即充分利用图形的几何性质,构造数学模型,使问题得以较快速地解决.1构造斜率模型借助斜率求函数值域就是将问题转化为某曲线上的动点与一定点连线的斜率的范围问题.例1求函数sin3cos1yxx=++的最值.分析原函数可化为sin(3)cos(1)yxx=????,所以函数值表示过圆x2+y2=1上的动点和定点A(?1,?3)的直线的斜率,如上图,过点A的直线与圆O相切时,取得最值.设切线方程y+3=k(x+1),则由点到直线距离公式有2|3|11kk?=+.解得3k=3,所以函数最小值为33,无最大值.点评形如商…     

斜率式的数形联想

数形结合是高中数学的一种重要数学思想,也是我们解题的一种重要手段.通过以解析几何中的斜率公式k=（y2-y1）/（x2-x1）为例,将所求代数问题转化为直线的斜率来解决,这种数形结合思想的应用,可以有效地使抽象问题直观化,从而迅速找到问题的解决思路与方法.     

解形如“(a-b sinx)/(c-d cosx)最值”一类题体现的数学思想

求形如“函数y=a-bsinxc-dcosx的最值”问题的解法较多,从这些解法中可体现出一些数学思想.一、数形结合思想例1.求函数y=1+sinx2+cosx的最小值和最大值.分析:因函数y=1+sinx2+cosx的定义域为R,所以把1+sinx2+cosx可以看为点(cosθ,sinθ)与点(-2,-1)所在直线的斜率.而点(cosθ,sinθ)的轨迹是圆x2+y2=1,因而问题就成为点(-2,-1)与圆x2+y2=1上的动点的连线的斜率最大值、最小值问题.易知,过点(-2,-1)向圆x2+y2=1所作的两条切线的斜率的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值.如图,用平面几何的知识得出斜率kBD为所求的最小值,斜率kBC为…     

数形结合的几种基本途径

数与形是初等数学中研究的主要对象 ,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过“以形助数”或“以数解形” ,使复杂问题简单化 ,抽象问题具体化 ,从而起到优化解题途径的目的 .数形结合包含两方面内容 :从几何角度看代数问题 ,或从代数角度看几何问题 .数形结合在解题过程中应用十分广泛 ,本文介绍数形结合的几种基本途径 .(1)代数式 (x-a) 2 +(x -b) 2 表示点 (x ,y)到点 (a ,b)的距离 .例 1　求函数 f(x) =x2 +15 -x2 - 6x +13的最大值 .解　f(x) =(x - 0 ) 2 +(0 - 15 ) 2 -(x- 3) 2 +(0 …     

数形结合两例

例1求函数 的最值。 分析联想到由两点坐标求直线斜率的公式,则可将问题转化为求两点A(3,2)、B(cosx,sins)所确定的直线的斜率的最值问题。 因为sin2x+cos2x=1,所以点B在以原点为圆心的单位圆上。设过A点的直线议程为y-2=k(x-3),y=kx+     

数形结合求一类函数值域

数形结合就是把抽象的数量关系与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维结合,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的目的.本文通过几例说明构造曲线方程,利用数形结合可有效地求出一类函数的值域. 例1 求函数2()12fxxx=+-的值域. 分析 设212yx=-,则其表示半椭圆 2221(0)xyy+=?求()fx值域的问题转化为直线xym+=与2221(0)xyy+=秤泄驳闶?求m的取值问题. 从而结合图形易知,当直 线xym+=与 222xy+ 1(0)y=诚嗲惺?m取最 大值6/2;当直线xy+ m=过点(2/2,0)- 时, m取最小值2/2-.当2/26/2m-…     

数形结合思想优解含绝对值的最值问题

<正>华罗庚先生的一段话：“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,说明数形结合思想才能真正体现了数学内在的本质规律.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数",即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而实现优化解题途径的目的.本文下面结合具体例子分析数形结合思想在解答绝对值最值问题中的优化作用.一、例题分析例1 求|x-2|+|x+3|的最小值.     

例说构造曲线求“分式三角函数”的最值——一道课本习题的联想

现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1　构造直线例 1　求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析　因为 y=3sin x- 1sin x- …     

“直线的斜率”课堂教学实录及反思

一、教材内容的理解与学习目标的制定 (一)教材的地位和作用分析 平面解析几何是高中数学课程中的重要内容之一,它体现了代数法在刻画平面曲线中的应用,反映了数形结合的重要思想.直线的斜率和倾斜角是高中解析几何的起始课,起着承上启下的作用.本节课涉及一个概念和一个公式.一个概念是:直线的斜率,它是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度;一个公式是:直线的斜率公式,它显示了直线上点的坐标和直线斜率之间的关系.     

例说构造图形求最值

构造图形能使抽象的数学问题直观、形象,从而得到简捷的解法.构造图形求最值,常见的构图有构造两点或点到直线的距离、三点共线、直线的斜率和截距等.     

运用数形结合证明不等式的思考途径

数形结合作为一种常用的数学方法 ,沟通了代数、三角与几何之间的内在联系 ,把数式的准确刻划和几何图形的直观描述有机地结合起来 ,对发展创造性思维 ,完善数学思想方法 ,有着重要的作用。本文着重介绍用数形结合方法证明不等式的几种思考途径 .一、从直线的斜率思考如果不等式或变形后的不等式为分式形式 ,可由斜率关系思考 .例 1　若ｘ2 ｙ2 =3 ,证明 :-3≤ ｙｘ 2 ≤ 3.ｙＢＡＣ-１-２ ｏ３ｘ图１分析 :此题几何意义是 :圆ｘ2 ｙ2 =3上的点(ｘ ,ｙ)与点Ａ( -2 ,0 )连线斜率的取值范围 .如图1,显然有 ( ｙｘ 2 ) ｍａｘ =ｋＡＢ =3 ;…     

斜率公式在解题中的应用

斜率是直线的基本属性，它直观地反映了一条直线的倾斜程度．斜率在求直线方程，求直线的倾斜角等方面经常用到，此外，它还有其他的“功能”．由于斜率公式与代数中的分式在结构上又有密切联系．所以一些代数问题，如分式函数的值域，数列，线性规划中目标函数的最值等题目就可以转化为斜率问题来解答，这样会使思路清晰，解法自然．现举例如下．     

巧用数形结合解难题

数形结合,实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,发挥直观对抽象的支柱作用,实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观,从而起到优化解题途径的目的．数形结合在解题过程中应用十分广泛,巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题,可起到事半功倍的效果．     

数学教学渗透数形结合百般好

数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过数形转化。提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易，化抽象为具体。数形结合是连接“数”与“形”的“桥”，它是一种重要的数学思想方法。     

最值问题中的几何方法

数形结合是基本的数学思想方法 ,数形结合可以将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题 .本文所介绍的几个例子说明代数、三角中的最值问题 ,也可以借助几何方法来获得解决 .一、利用平面几何图形例 1　求函数ｙ=ｘ2 + 4+ｘ2 -4ｘ + 5的最小值 .分析　本题要求无理函数最值 ,用代数方法比较困难 .若将函数表达式变形为ｙ =(ｘ-0 ) 2 + ( 0 -2 ) 2+ (ｘ-2 ) 2 + ( 0 -1 ) 2 ,则函数表达式呈现为坐标平面上两点间的距离之和 .设Ｐ(ｘ ,0 )为ｘ轴上的点 ,Ａ( 0 ,…     

数形结合思想在解函数问题中的应用例析

正如华罗庚所说:“数形结合千般好”.它能让抽象的函数和直观的图形双向联系与沟通,使抽象思维和形象思维有机地结合起来,化抽象为形象,达到化难为易的目的.     

用“数形结合”法解决与圆有关的最值问题

数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学科研的常用方法，数形结合就是将抽象的数学语言、符号，与其所反映的（可能是隐含的）图形有机的结合起来，从而促进抽象思维与形象思想的有机结合，通过对直观图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得以解决．本文用“数形结合”的数学思想来谈一谈与圆有关的最值问题．供参考．     

《新课标》中的直线斜率

直线的倾斜角和直线的斜率一样,都是刻画直线的倾斜程度的量,直线的倾斜角侧重于直观形象,直线的斜率则侧重于数量关系。直线的斜率为进一步研究直线奠定了基础,是《新课标》后继内容（直线的位置关系、直线方程）展开的主线。特别是过两点的斜率公式的推导体现了数形结合的思想,因此必须熟练掌握求直线的斜率的各种方法与技巧。运用新数学形式的丰富内涵解决问题,很多问题在结构上与斜率公式相似,可以用斜率解题。     

《新课标》中的直线斜率

直线的倾斜角和直线的斜率一样,都是刻画直线的倾斜程度的量,直线的倾斜角侧重于直观形象,直线的斜率则侧重于数量关系。直线的斜率为进一步研究直线奠定了基础,是《新课标》后继内容（直线的位置关系、直线方程）展开的主线。特别是过两点的斜率公式的推导体现了数形结合的思想,因此必须熟练掌握求直线的斜率的各种方法与技巧。运用新数学形式的丰富内涵解决问题,很多问题在结构上与斜率公式相似,可以用斜率解题。     

运用几何意义巧解某类代数问题

本文将代数问题中的代数式与解析几何中的斜率、两点间的距离和点到直线的距离公式联系起来,通过几何意义巧解代数问题,可以大大简化解题过程,培养学生数形结合的思想.