巧用"取"法,简捷解题

一、取倒数 例1 已知函数f(x)=x/2x 1.数列{an}的通项an满足条件:a1=1,an=f(an-1)(n∈N*且n＞1),求an.     

巧用“取”法

求解某些数学问题 ,有时可能迟迟不能下手 ,有时可能因采用常规方法使过程繁冗 .但若根据有关数学概念、运算、性质 ,合理运用“取”的方法 ,则会使问题快捷获解 .例 1　 (2 0 0 2年高考题 )不等式 (1 +ｘ) (1-｜ｘ｜) >0的解集是 (　　 )(Ａ)ｘ｜ 0 ≤ｘ<1(Ｂ)ｘ｜ｘ<0且ｘ≠-1(Ｃ)ｘ｜-1 <ｘ<1(Ｄ)ｘ｜ｘ<1且ｘ≠ -1分析　按ｘ>0、ｘ=0、ｘ <0分类讨论 ,过程较繁 ;若取特值 ,则捷足先登 .解　取ｘ=0和ｘ=-2先后排除 (Ｂ)和(Ａ)、(Ｃ) ,故选Ｄ .例 2　已知数列 ａｎ 中 ,ａ1 =1 ,且ａｎ =ａｎ- 1 2ａｎ- 1 + 1 (ｎ≥ 2 ) ,求ａｎ.分析　若…     

赋值法在解题中的应用技巧

在解数学题时 ,人们运用逻辑推理方法 ,一步一步地寻求必要条件 ,最后求得结论 ,是一种常用的方法 .对于有些问题 ,若能根据其具体情况 ,合理地、巧妙地对某些元素赋值 ,特别是赋予确定的特殊值 (如 0 ,1,- 2等 ) ,往往能使问题获得简捷有效的解决 .这就是赋值法 .下面举例说明这种方法在解题中的应用 .1　在函数解题中的应用例 1　已知二次函数 f(x) =ax2 +bx+c(a,b∈R)满足下列条件 :f(- 1) =0 ,且对任意实数 x都有 f(x) - x≥ 0 ,并且当 x∈ (0 ,2 )时 ,有 f(x)≤ (x+12 ) 2 .(1)求 f (1)的值 ;(2 )判断 a,b,c的符号 .解　 (1)∵当 x∈ …     

巧用构造函数法解题

在中学数学中有很多问题，巧妙构造某函数，利用此函数的有关性质可将较难问题轻易获得解决。下面结合例题谈谈如何构造函数解题。     

函数解题“多视角”

例题show：设函数f（x）=sin（2x＋φ）（-π〈φ〈0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=π/8。（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）证明直线5x-2y＋c=0与函数y=f（x）的图象不相切。     

巧用比例法解题

我们知道用比例法解答应用题是一种特殊的解题方法。有些分数、百分数应用题或一般应用题,如果运用比例法的思路去思考,其解法反     

物理解题中的数学技巧

物理和数学有着很紧密的联系,在很多的物理题求解过程中除要求正确的物理分析,列出相对应的正确物理方程外,还很注重数学解题技巧的应用.特别是对于一些未知数很多,而题目条件中的已知数很少的题目的求解,数学技巧的应用往往会使解决问题时达到事半功倍的效果.     

巧用类比 化解难点

有学生问了这样一道题目:题已知函数f(x)=4x+ax2-32x3(x∈R)在区间[-1,1]上单调递增.(Ⅰ)求实数a的集合A;(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=2x+13x3的两个非零实根为x1,x2,问是否存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A以及t∈[-1,1]恒成立.若存在,试求出m的范围;若不存在,试说明理由.这道题主要考查集合、方程、不等式、导数函数极值等知识,以及分离系数、换元等思想方法.学生感到难以下手,主要原因是:缺乏一定的综合能力,难以熟练运用类比联想的思想将其化归为几个简单问题.因此,笔者不直接给出解答,而是设置学生熟悉的背景题,让学生在理解…     

巧用导数 机智解题

导数是新教材第三册(选修Ⅱ)中的新添内容之一,教材主要介绍了导数在解题中判断函数单调及求函数极值与最值的应用,本文结合具体实例,就导数在解题中其它方面的几点应用作一下归纳,仅供读者参考.     

巧用“等叠法”解题

笔者最近发现一种简便易行的解题新方法——“等叠法”．解题时，只须注意找到“相等”的量，相互“叠加”，解题的目的就实现了大半……     

巧用“构造法”解题

解题时，通过观察联想，恰当地构造出某个数学对象，将欲解(证)的问题转化为研究该对象的特性，由此达到解题的目的，这种方法称为构造法，是化归数学思想的具体应用。中学数学中有许多问题与构造法密切相关，如果在教学中我们能够认真地引导学生用构造法去处理某些数学问题，则对激发学生的学习兴趣，培养学生的创造思维能力都是大有益处的。下面来举例说明构造法的几种常用构思途径。     

巧用单调函数解题

对于数学问题求解本身较为困难时，如果采用构造法，构造一个与问题有关的辅助问题求解，往往使问题柳暗花明．波利亚认为“构造辅助问题是一项重要的思维活动”，这里举几例，浅谈构造单调函数解决几类问题。     

巧用“△≤0”求最值

大家知道 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )根的判别式Δ =ｂ2 - 4ａｃ有着广泛的应用 .下面就用Δ≤ 0求某些函数最值谈谈它的应用 .例 1　若ｘ、ｙ、ｚ为正实数 ,且ｘ + 3ｙ + 5ｚ =15,求 ｘ + 5ｙ+ 2ｚ的最大值 .解 :设函数ｆ (ｍ ) =(ｘ + 3ｙ + 5ｚ)ｍ2 + 2 (ｘ + 5ｙ + 2ｚ)ｍ +1+ 532 + 252 =( ｘｍ + 1) 2 + 3ｙｍ + 532 + 5ｚｍ + 252≥ 0 ,ｘ + 3ｙ + 5ｚ=15>0 ,所以Δ =4 (ｘ + 5ｙ+ 2ｚ) 2 - 4(ｘ + 3ｙ + 5ｚ) 1+ 53+ 25≤ 0 .即ｘ +5ｙ+ 2ｚ≤ 4 6 .易得等号可以成立 ,故所求式的最大值为 4 6 .例 2　设θ为锐角 ,求…     

例谈数学解题中的“求什么，列什么”

数学解题没有固定的方法，但有可以借鉴的规律．例如：解题时，要有目标意识，紧扣解题目标．进行有目的的变形．这当中，问什么，设什么．求什么，列什么，有时显得非常关键．下面列举几个例子加以说明．     

巧用（a-b）^2≥0解题

对于任意实数a、b，都有(a-b)^2≥0，这是一个十分平凡的不等式，但却有着不平凡的作用，现举例说明它的简单变形与巧妙应用．     

利用“f（x）严格单调，f（x）=f（y）←→x=y”巧解竞赛题

我们知道，f（x）严格单调，f（x）=f（y）←→x=y（＊）看起来很平常的这个性质用来巧解下面几道数学竞赛题却很有趣。