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伏奋强 《中学数学教学参考》1994,(4)
本文仅讨论特殊的三棱锥(即四面体)顶点的射影位置与底面三角形的“五心”的位置关系。 命题1 在三棱锥中,若三条侧棱的长相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。 证明(略)。 由此还可得推论. 推论:在三棱锥中,若侧棱与底面所成的角都相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。 例1 有—三棱锥的高是h,侧棱与底面所成的角都是φ,底面是两个角分别为α和β的三角形,求它的体积(α、β都为锐角). 相似文献
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点或直线在平面上的射影位置是立体几何中的基本问题 ,许多立体几何问题往往都需要归结为确定点或直线在平面上的射影 .确定点或直线在平面上的射影没有一个统一的方法 ,主要是根据有关的定理或结论 .下面是几个常用的结论 .1 两平面垂直时 ,一个平面内的点在另一个平面上的射影必在这两个平面的交线上 ;2 如果平面外一点到平面内一个角的两边距离相等 ,则该点在这个平面上的射影在这个角的平分线上 ;3 平面外一条直线 ,如果经过平面内一个角的顶点 ,而且与这个角两边成等角 ,则这条直线在平面上的射影是这个角的平分线 ;4 若三棱锥的三条… 相似文献
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熟悉各种特殊三棱锥的顶点在底面上射影的位置,对于解答有关三棱锥问题是有益的,为此,我们把常见的几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影的位置归纳为以下几个命题,并给出简单的证明. 命题1:若三棱锥的侧棱都相等,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心. 相似文献
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谢爱春 《数学爱好者(高二版)》2008,(5)
确定点或直线在平面上的射影位置是立体几何中常见的问题,三垂线定理、点到平面的距离、线面角和二面角都要涉及点或直线在平面上的射影.要作射影并不难,难的是确定射影位置究竟在何处?要确定射影的位置,常用的结论涉及到三线三心. 相似文献
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确定点在平面上的射影位置,对于确定空间中的角和距离以及判断线、面垂直都有非常重要的作用,而这正是立体几何教学的重点内容.我们在归纳、总结平时教学的基础上整理出点在平面上的射影四种常用位置关系:1 斜线上一点到平面上的射影,必在这斜线在平面内的射影上2.1 过一个角的顶点引这个角所在平面的一条斜线,若斜线与角的两边夹角相等,则这斜线上的点在平面内 相似文献
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20 0 3年广东高考试题第 15题是条填空题 ,要求类比平面几何中的勾股定理 :“设 ABC的两边AB ,AC相互垂直 ,则AB2 +AC2 =BC2 ” ,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系 .其正确结论是 :“设三棱锥A -BCD的三个侧面ABC ,ACD ,ADB两两互相垂直 ,则S2 ABC+S2 ACD +S2 ADB =S2 BCD.”证明如下 :由于三棱锥A-BCD的 3个侧面均是以点A为公共顶点的直角三角形 ,所以由三垂线定理知点A在底面BCD上的射影E是底面三角形BCD的垂心 . ∴S2 BCD =14 DF2 ·BC2=14 (AF2 +AD2 ) ·BC2=S2 ABC+ 14 AD2 ·BC2=S2 AB… 相似文献
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耿恒考 《中学数学教学参考》2008,(13)
文[1]给出了定义1 过球内接三角形一顶点且平行于球心与对边中点连线的直线称为三角形的伪高线.定理1 球内接三角形的三条伪高线交于一点(称为三角形的伪垂心),这点到顶点的距离是球心到对边中点距离的2倍.定理2 三角形的外接球心、重心和伪垂心三心共线(伪欧拉线,它在三角形所在平面的射影就是三角形的欧拉线),且外接球心到重心的距离与重心到伪垂心的距离之比为1:2.受到启发,我们有定义2 过三角形一顶点的伪高线与其外接球的 相似文献
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一、重心有关的定义、定理:(Ⅰ)在三棱锥中,若各个侧面在底面上的射影面积相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的重心.(Ⅱ)设G是△ABC的重心,AG的延长线交BC于D,则有(1)BD=DC;(2)AG∶AD=2∶3;(3)S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC;(4)AD2=14(2AB2+2AC2-BC2).例1三棱锥V-ABC三侧面与底面所成的二面角分别为30°,45°,60°,底面积为3,顶点在底面上的射影是底面的重心,求三棱锥的侧面积.解设顶点在底面的射影为G,依题意知,G是△ABC的重心.由平面几何知识得S△GAB=S△GBC=S△GAC=13S△ABC=1.由面积射影定理知S△VAC… 相似文献
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我们称三条侧棱两两互相垂直的四面体叫直角四面体,直角四面体具有对棱互相垂直且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心等性质,在教学中发现这种四面体还具有一些美妙独特的性质,现归纳如下,仅供参考。 相似文献
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手头有三本书,发现有同一个错误,而它们出版的时间相差十几年,有的又印刷多次,故影响较大,因而有必要进行纠正.按出版时间为序,第一本是由中国数学会、北京师范大学编辑、地质出版社出版的《数学通报》1984年第一期,其中刊登了《关于三棱锥顶点在底面上射影的位置》一文,该文在归纳三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在底面上的射影 O 的位置时写道:“当 P 到 AB 边、BC 边、AC 边等距离时,点 O 为三角形 ABC 的内心”. 相似文献
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求直线与平面所成的角是高考考查的重点,我们必须熟练掌握求直线与平面所成的角.在求直线与平面所成的角时,应注意先判断直线与平面的位置关系.当直线与平面斜交时,关键是确定斜线上某点在直线或平面上的射影.最常用的方法就是利用面面垂直的性质定理,即寻找一个经过这点且与已知平面垂直的平面,作出它们的交线,再过这点向交线作垂线,其垂足就是这点在平面上的射影.但有的题目采用这种方法比较复杂,若采用一些特殊的解题技巧,就可以避免繁难的几何作、证、求.下面介绍一些解题技巧.例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD… 相似文献
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赵建勋 《数理化学习(高中版)》2002,(5)
三棱锥是重要的多面体,空间图形的很多问题都与它有关.因而对三棱锥的解题方法的研究,无疑是十分必要的,本文就三棱锥的解题技巧谈几点体会. 一、注意确定顶点射影的位置 因为三棱锥的高是它的主要元素,所以在解有关三棱锥的题目时,确定顶点在底面上的射影的位置,往往是解题的关锥. 例1 在三棱锥P—ABC中,PA=PB=PC.底面ABC中,∠C=90°,AC=18,三棱锥的高为40,求P到另一直角边BC的距离. 解:如图1,过P作PO⊥底面ABC,O是垂足.∵PA=PB=PC.∴OA=OB=OC,因此O是△ABC的外心,又△ABC是直角三角形,故O是斜边AB的中点. 相似文献
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杨青萍 《山西教育(综合版)》2002,(22)
数学教学的目的之一是培养学生的创造性思维 ,而发散思维是创造性思维的核心成分 ,因此 ,在数学教学中对学生进行发散思维的培养是非常重要的。一、利用一题多改 ,培养学生的发散思维一题多改 ,就是保持原题目的结论而变换其条件。例 1:在三棱锥 P— ABC中 ,如果三侧棱相等 ,则点 P在底面ABC上的射影位置如何 ?学生很快答出 :点 P在底面上的射影是△ ABC的外心。在此基础上 ,教师要通过一题多改 ,引导学生进行如下练习 :(1)如果点 P到△ ABC三边的距离相等 ,则点 P在底面上的射影位置如何 ?(2 )如果三侧棱两两垂直 ,则点 P在底面上… 相似文献
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在三立体几何中,三棱锥是景简单、最基本的几何体,空间图形的很多问题都与它有关,本文对有关三棱锥的一些解题技巧进行总结、归纳如下一恰当选取底面使问题简化三棱锥的每个面部都可作为底面,每个顶点都可成为顶点,在解题中.若能充分利用三棱锥 相似文献
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<正>一、射影在求解立体几何问题时,若能紧紧抓住"线"在"面"内的射影,则可顺利求解线面角;若能抓住"面"在"面"内的射影,则可使求解无棱二面角的问题变得简单容易.例1如图1,已知等腰三角形ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,ABC所在平面外一点P到三角形顶点的距离都等于4,求直线PB与平面ABC所成的角. 相似文献
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化归方法是指把有待解决或未解决的问题 ,归结为一类已经解决或较易解决的问题以求得解决的方法 .化归方法是数学方法论中的基本方法或典型方法之一 .在立体几何的学习中 ,常常可以通过化归方法将立体几何中的空间问题化归为平面问题加以解决 .本文介绍几种立体几何中常用的化归方法 .1 作射影由三垂线定理及其逆定理可知 ,平面内的一条 图 1直线与该平面的斜线及斜线在平面内的射影所成的垂直关系保持不变 .因此 ,通过射影可以将空间中的垂直关系转化为平面上的垂直关系加以解决 .例 1 三棱锥P-ABC中 ,PA⊥BC ,PB⊥A… 相似文献