用函数性质解数列问题的错误一例

数列是按一定次序排列的一列数.在函数意义之下,数列是定义域为正整数集合N~*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数f(n)当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f(1),f(2),f(3),…,f(11),…,通常用a_n代替f(n),简记{a_n},其中a_n是数列{a_n}的第n项.这样,我们可以通过函数的性质类推数列的某些特性,但是,反过来,由已知数列的某些特性去确定参数的取值范围时,     

数列与函数

数列是一种特殊的函数,是以正整数为自变量的一种函数.那么,在解决数列的问题,函数起什么作用呢?一、利用函数与方程思想解决数列问题其核心就是构建函数和方程来解决数列的问题.例1(2010年浙江金华)等差数列{a_n}中,S_n是{a_n}的前n项和,已知S_6=2,S_9=5,     

求递推数列通项的思路和方法

给了数列的递推公式和初始值,起何求它的通项呢?下面通过例题说明求这类数列通项公式的一些基本思路和方法。例1 已知数列{a_n}的项满足: 求通项a_n。我们知道,数列的项a_n是自然数n的函数,递推式是一个循环方程, 实际上是未知数为a_n,a_(n-1)……a_2的函数方程组: 根据递推数列的这一本质特征,求通项a_n就是解方程组(*),求得未知函数a_n。     

数列的通项及其求法

1数列的通项一个数列{a_n},如果它的第n项a_n与n之间的函数关系可以用一个公式来表示,那么就说这个数列有通项公式(可能不唯一),或说其有通项;如果它的第n项a_n与n之间的函数关系不能用一个公式来表示,那么就说这个数列没有通项公式,或说其无通项.因此,对于全体数列按其通项存在与否可将它     

对递推数列值域问题的几点思考

<正>对于数列{a_n},若设集合M={a_n|n∈N*},则M是数列{an}的值域.2015年北京高考理科压轴题就是涉及递推数列值域问题的一道好题,这表明数列的值域有可能成为高考的新亮点,为此本文探讨由递推式a_(n+1)=f(a_n)(其中y=f(x)是以x为自变量的函数)及其首项a---_1共同确定的数列{a_n}的值域,同时仅就M是有限集的情况进行简要的分析.     

例谈数列中恒成立问题的求解思想

众所周知,数列可以看成以正整数集N~*(或它的有限子集{1,2,3,…,k})为定义域的函数a_n=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应一系列函数值,即数列是一种特殊的函数.因此,可以用函数的思想观点拓展、探究数列,已得到一定认可,如:求数列的最大(小)项、单调性等.也基如此,数列中不断推出一些相关恒成立或对任意n∈N~*都成立的问题.那么,此类问题有哪些求     

两类非线性递归数列的通项及其应用

定义:若数列{a_n}用递推公式给出:a_1=a,a_(n 1)=f(a_n)(n=1,2,…)则称{a_n}为递归数列,f为定义函数。当f为非线性函数时,称{a_n}为非线性递归数列。本文给出两类非线性递归数列通项公式的求法。一、递推公式为一次有理式的情形     

数列中的最大(小)项问题探究

<正>在数列{a_n}中,若存在m∈N_+,对任意的n∈N_+都有a_m≥a_n恒成立,则a_m为数列{a_n}中的最大项;若存在t∈N_+,对任意的n∈N_+都有a_t≤a_n恒成立,则a_t为数列{a_n}中的最小项。求一个数列的最大(小)项的方法主要是判断数列的单调性,而判断数列的单调性主要有两种方法:(1)比较a_n与a_(n+1)的大小;(2)利用函数的图像判断。     

试论函数思想在数列中的应用

我们知道:数列是一类定义在正整数集或它的有限子集｛1,2,3,L,n｝上的特殊函数,当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式,数列的图像是横坐标为正整数的一系列的离散的点。     

运用函数的观点解等差数列问题

数列{a_n}是等差数列的充要条件是 a_n=a·n b(a,b 为常数).又数列{a_n}是等差数列的充要条件是 S_n 是 n 的不含常数项的一次或二次函数.这一结论使等差数列与函数相结合,则用函数的观点解决一些等差数列问题,会收到意想不到的效果。例1 已知等差数列 a、b、c 中的三个数都     

’94高考数学理科(25)题引伸与简解

题目;已知数列{a_n}是正项数列。其前n项和为S_n,并且对于所有的自然数n,a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.(Ⅰ)写出数列{a_n}的前三项;(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式;(Ⅲ)令b_n=1/2(a_n 1/a_n a_n/a_n 1)(n∈N),求lim(b_1 b_2 … b_n-n)。     

一类数列求和的简便方法——兼谈使用公式 an=Sn—Sn-_1应注意的一个问题

通项 a_n 和前 n 项和 S_n是数列的两个基本特征量.如果给定通项公式 a_n=f(n)或给定前 n 项和公式 S_n=F(n),这个数列就完全确定了。两个公式是有密切联系的,我们可以根据 a_n求 S_n,也可以根据 S_n求 a_n.本文拟介绍用解方程组的方法解决一类数列的求和问题.     

函数——数列的“催化剂”

1以函数概念为载体,合理消化数列问题通过对数列中的通项公式,前n项和公式等这些特殊函数关系的概念的理解与分析,引导学生充分认识a_n与n,S_n与n之间的对应关系,从而合理地找到解决问题的办法.     

两类有趣数列的通项与前n项和

如何求分段递增数列与等项分段递增数列这两类有趣数列的通项与前n项和,是中学生难以把握的问题。为此,本文以实例来说明求这两类特殊数列的通项与前n项和的方法,供读者参考。 例1 设数列{a_n}的各项为:1,2,2,3,3,3,…,n,n,…至n个n,…,求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项之和S_n,并计算a_(1997)与S_(1997)之值。     

对一道高考题的一些探索

94年高考(理科)第25题为:设数列{a_n}是正数组成的数列,其前n项和为S_n,并且对于所有的自然数n,a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项。 (1)写出数列{a_n}的前3项; (2)求数列{a_n}的通项公式(写出推证过程);     

高考数列问题精点

数列是初等数学与高等数学的衔接点之一,因此历来是高考的重点.纵观近10年的高考数学试题,对数列知识着重在如下两个方面作了考查:一是数列的概念及有关计算,二是等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和的公式的直用.数列的通项公式是数列{a_n}中的第 n 项 a_n 与项数 n 之间对应关系的一个解析表达式,它是研究数列的有力工具.通项 a_n 与前 n项和 S_n 之间有着如下关系:     

巧用裂项相消方法 解答数列求和问题

<正>例1已知数列a_n{}的通项,求其前n项和。(1)a_n=(2n-1)·2n;(2)a_n=(n+1)·(1/3)n。分析:只要能将数列{a_n}的通项分解为两项之差,就可以利用裂项相消法进行求和。为此,可以先用待定系数法假定{b_n}的连续两项之差的结果正好是{a_n}的通项,这样就可以构造一个新的数列{b_n},从而将问题进     

用函数观点巧解数列题

数列可以看作一个定义域为自然数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值,通过数列的学习,加深对函数本质的理解,这是学习数列的一个重要方面。但是反过来,我们也要重视用函数的观点来分析、理解和处理数列问题,它有时常常可以使问题变得简洁、直观。下面略举数列,供参考。例1 已知{a_n}是等差数列,且S_m=     

高中数列通项公式问题的常见解题方法

<正>《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出,数列是特殊的函数,并要求学生通过探索数列的变化规律,建立通项公式[1].数列是高考的重量级常客,教材中关于数列的知识并不是很难,但题型却千变万化,灵活度较高,特别是求数列通项公式这部分内容.本文主要通过几道例题,总结归纳求数列通项公式的一般方法.例1已知数列{a_n},其中a_1=1,a_n=a_(n-1)+3(n≥2),求数列{a_n}的通项公式.分析本题难度较低,主要考查学生对等差数列定义     

数列问题中取倒数求解例说

取倒数在解决有些数列问题中方便、快捷,能大大简缩思维.1.取倒数求数列的通项公式例1 已知数列{a_n}的前 n 项和为 S_n,a_1=2,当 n≥2时,2S_n~2=(2S_n-1)a_n,求数列{a_n}的通项公式.