第22届俄罗斯中学数学奥林匹克试题及解答

九年级 1.有多少个满足如下条件的九位数:它的各位数字都不相同,并且从左到右按递减的次序排列。 解 按递减次序写出全部数码:9876543210。显然,所求的九位数可从中去掉某一个数码得到,因此,这样的数共有10个。 2.写出三个一次函数,它们的图象构成一个正三角形。 解 在横坐标轴上取两点:A(-1,0)和B(1,0),在纵坐标轴上取点C(0,y),其中y>0,并使△ABC是正三角形,容易求得点C的纵坐标:y=3~(1/2)/2AB=3~(1/2).于是容易求得三条直线AB、BC、CA的函数表达式,它们分别为:y=0,y=-3(1/2) 3~(1/2),y=3~(1/2) 3~(1/2)     

30分钟智力冲浪

1.在线段AB上选取3种点,第1种是将AB10等分的点;第2种是12等分点;第3种是15等分点,这些点连同线段AB的端点可组成线段的条数为().(A)35(B)595(C)406(D)6662.如图1,D,E,F分别是锐角△ABC的三边BC,CA,AB上的点.连接DE,EF,FD.则图中大于0°且小于180°的角有().(A)18个(B)15个(C)1     

殊途同归异曲同工的两个典型问题

正在人教版七年级数学上册第四章《图形的初步认识》的学习过程中有两个很典型的问题,相信大家做题时已经遇到过.请看这两个问题:题1.如图,点C在线段AB上,点D、E分别是AC、BC的中点.(1)若AC=8cm,CB=6cm,求线段DE的长;(2)若C为线段AB上任一点,AB=a,其它条件不变,你能猜想DE的长度吗?写出你的结论并说明理由;(3)若点C在线段AB的延长线上,AB=a,D、E分别为     

一道中考题解法的探究与推广

一目 已知:在△ABC中,AB=10. (1)如图1,若点D、E分别是AC、BC边的中点,求DE的长. (2)如图2,若点A1、A2把4C边三等分,过A1、A2作AB的平行线,分别交BC边于点B1、B2,求A1B2+A2B2的值. (3)如图3,若点A1、A2、…、A10把AC边十一等分,过各点作AB边的平行线,分别交BC边于点B1、B2、…、B10,根据你所发现的规律,直接写出A1B2+A2B2+…+A10B10的结果. (2004年江苏省南通市中考题)     

数学竞赛训练题

1.已知Zn一1可表示“任意正奇数”,那么,可表示“任意非正的偶数”的是(). (A)一2,,(B)2(,:一1)(C)一2(n十1) 2.图1中共有个三角形.个菱形(四边相等的四边形),个梯形. 3.被25除余15.且被15除余5的最小四位数是 4.在数轴上.数。、b、一a、一b对应的/点分别是A、B、A‘、汀(这4个点彼此都不止重合),在线段AB、AB’、A‘B、A,B‘中.长度一定等于)a一bJ的().(D)一2(n一1)图1 (A)只有AB’(B)有AB’和A‘B (C)只有AB(D)有AB和A‘B‘ 5.得知书店里到了3种新书,某天,一批同学一起来到书店,结果在这3种新书中,每人选购的都不下两种,且…     

黄金分割和正五边形

五角星端庄匀称,线段间充满了黄金分割美的关系。本文想集中研究一下正五边形的有关性质。定义点C把线段AB分成两段,使其中较大的一段AC是全段和较小线段CB的比例中项,则称点C把线段AB分成黄金分割。如图.设AB=b,AC=a,则由 a~2=b(b-a), a~2+ab-~2=0求得 a/b(5-1)~(1/2)/2≈0.618     

“白朗松构造”之初等证明

十八世纪,法国数学家白朗松给出了一种“任意等分线段”[作线段AB的1/n(n∈N,n≥2)]的尺规作图法,被称之为“白朗松构造”.先前的证明要用到高等几何中的调和比,本文先介绍这种构造等分的方法,而后用数学归纳法(对等分份数n归纳)给出四种初等证明.1作法(1)如图1,以已知线段AB为一边作△OAB,作CD∥AB,交OA于C,交OB于D,连接BC.(2)连接AD,交BC于P2,作射线OP2,交AB于M2,M2B=1/2AB.     

这题证明不全面

已知AB为平面α外一线段,平面α的斜线AC、BD与α所成角是30°、60°,AC=6,BD=2(3~(1/2)),AB=5。求证:AB∥α。证如图,AB在平面α内的射影为A_1B_1,则 AA_1=6sin30°=3 BB_1=2(3~(1/2))sin60°=3,     

一道中考题的启示——2020年大连中考数学卷第25题第(2)问解析

<正>考题再现例1 (2020·辽宁·大连)如图1,△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,BE=CE,点G在线段CD上,CG=CA,GF=DE,∠AFG=∠CDE.(1)填空：与∠CAG相等的角是_____;(2)用等式表示线段AD与BD的数量关系,并证明;(3)若∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACD(如图2),求AC/AB的值.     

一道数学竞赛题的启示

一、问题如图(1),△ABC 的∠A=45°,∠B=30° D在AB上,直线DE将△ABC分成面积相等的两块(注:这图可能不确切;E也许是在CB上,而不是在AC上)。则比AD/AB是( )。 (A)1/2~(1/2); (B)2/(2+2~(1/2)); (C)1/3~(1/2); (D)1/6~(1/3); (E)1/(12)~(1/4)。(第38届美国中学数学竞赛试题第30题)。     

一个作图题的黄金分割

现行初中《几何》第二册第9页有这样一段话:“我们也可以根据勾股定理,利用尺规作图作出((1/2)~2+l~2)~(1/2),再作出一条线段的黄金分割点。作法如下: 1.过B点作BD⊥AB,使BD=1/2AB(如图)。 2.连结AD,在AD上截取DE=DB。     

例析一道解几开放题

例(2006年浙江省金华市中考题)如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A (3．0),B(0,3~(1/2))两点,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D。(1)求直线AB的解析     

一道竞赛题几种解法

本文给出1993年全国小学数学奥林匹克决赛的最后一道题的几种解法,供教师们参考。 题:从甲市到乙市有一条公路。它分为三段。在第一段上,汽车的速度是每小时40千米,在第二段上汽车的速度是每小时90千米,第三段上汽车的速度是每小时50千米。已知第一段的长度恰好是第三段的2倍。现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发相向而行,1小时20分后在第二段的1/3处(从甲到乙方向的1/3处)相遇,那么问甲、乙两市相距_千米。 为叙述方便,如图,从甲到乙的方向,三段公路依次表现为AB、BC、CD,第二段BC的1/3处即相遇点为O点,且用t_(AB),表示汽车行驶AB需要的时间。     

几何体表面两点的最短联线——从一道复习题谈起

立体几何课本中有这样一题:有一个圆锥如图(一),它的底面半径为r,母线长为l,且l>2r.在母线SA上为一点B,AB=α,求由A绕圆锥一周到B的最短距离是多少? 本题并不难解.只要把圆锥侧面沿母线 SA剪开,并展开成平面图形——扇形SAA’(如图一).若B的对应点是SA’上的B’,则直线段AB’的长即为所求的最短距离.由余弦定理,得:|AB’|=l~2 (l~2-α)~2~(1/2)-2l(1-α)cos 2πr/l。这里的条件l>2r是保证城段AB在扇形SAA’内的前提.事实上,当l>2r时,扇形SAA’的圆心角θ=2πr/l<π,因而直线段AB必须在扇形内.     

|x-a|的几何意义(初一、初二)

|x-a|的几何意义是:数轴上两数x和a对应的点A和B之间的距离(如图1),即线段AB的长.记为|AB|. 从这个几何意义出发,能很好地解决一些含有绝对值符号的问题,比用代数法简单. 例1 适合关系式|3x-4|十|3x+2|=6的整数x的值的个数是( ) (A)0.(B)1.(C)2.(D)大于2的自然数.     

由两道数学问题引发的思考

在今年高三数学圆锥曲线一章的复习过程中有这样两道题目.题目1如图1,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.(Ⅰ)写出该抛物线的方程及其准线方程;(Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.     

一个双重无理不等式的发现

背景问题两条互相垂直的公路间有一城镇 P,欲过 P 修一条直路与两公路相交,如何修最经济?解:如图,以两公路为轴建立直角坐标系,直路 AB 过P(a,b),倾斜角补角为α,则要求的是|AB|=asec α bcsc α取最小值的α值.事实上,我们已经解决:当α=arctan (b/a)~(1/3)时,|AB|_(min)=(a~(2/3) b~(2/3))~(3/2).     

“三点一线面积法”模型及其应用

<正>七年级学生在学习平面直角坐标系后,会遇到一类三点共线问题,由于学生没有学习一次函数知识,这里需要借助构图,利用面积法建立关系来解决问题,下面举例说明.在直角坐标系中,A(a,b),B(c,d)(c>a>0,d>b>0)(1)如图1,点C(x,y)在线段AB上,探求A,B,C三点坐标关系;(2)如图2,AB和x轴交点为M(x,0),探求A,B,M三点坐标关系;(3)如图3,AB和y轴交点为N(0,y),探求A,B,N三点坐     

学会分类 正确求解

有些几何题,必须进行合理分类,才能正确求解.现举几例谈谈这类问题的解法.例1已知线段AB=8CM,C点在直线AB上,线段BC=3CM,M、N分别为线段AB和BC的中点,求线段MN的长.分析:由题意知点C可在线段AB上,也可在线段AB的延长线上,如图1和图2.解:(1)当点C在线段AB的延长线上时,MN=BM NB=     

第三届跨区域命题征集活动成果展示(三)

<正>【深度改编题】【原题】如图,已知直线与抛物线y²=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1),求p的值.【解题思路】因为OD⊥AB,D (2,1),所以k_OD=1/2,则k_AB=-2.直线AB的方程为y-1=-2(x-2),即y=-2x+5.设直线AB交抛物线y²=2px于点A (x₁,y₁),B (x₂,y₂),