一道竞赛题的探讨

题目:设函数f_0(x)=|x|,f_1(x)=|f_0(x)-1|,f_2(x)=|f_1(x)-2|,则函数y=f_2(x)的图象与x轴所围成图形中封闭部分的面积是______。 这是1989年全国联赛的一道题目,颇富魅力。     

三次函数的图象、性质及应用

一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的     

“准对称”函数问题的本源与化解

<正>一、"准对称"函数的概念我们知道,若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a-x)=f(a+x)(或f(x)=f(2a-x)).倘若引入二元变量x_1、x_2后,该命题又可表述为:若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则x_1+x_2=2af(x_1)=f(x_2),比如常见的二次函数就具备了上述典型特征.假设上述对称函数y=f(x)在直线x=a某一侧的图象发生了偏转或改变,此时得到新的函数y=g(x)的图象必然呈现非轴对称     

单调函数的迭代及其不动点

用已知函数f(x)的第n-1次迭代f_n(x)的定义,证明了严格递增函数的不动点与其迭代函数的不动点相同,对于严格递减函数,当f_1(x)=f(x)与f_2(x)=f[f_1(x)]的不动点相同时,x_0是f(x)的不动点的充要条件是x_0是f_n(x)的不动点。     

例谈处理极值点偏移问题的有效策略

<正>已知连续函数y=f(x)在区间(x_1,x_2)内只有一个极值点x0,且f(x_1)=f(x_2),当函数f(x)的图象不关于直线x=x_0对称性时,极值点x_0偏向x_1(或x_2)一侧,我们称这种现象为极值点偏移.显然,极值点偏移是因为函数在极值点两侧的增减速度不同而造成的,     

利用一次函数性质解题

由一次函数y=f(x)=kx b的图象,我们易得下面的性质: 1° 若k>0(<0),则y=kx b在(-∞, ∞)上是增(减)函数。 2° 若(x_1,y_1)、(x_2,y_2)是函数图象上任意两点,则有(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=k。     

关于中学数学中的最值和极值问题

中学数学中的最值和极值问题,是中学数学的重要内容之一,也是数学教学的难点之一.本文就这一问题,结合自己的教学实践,谈一些肤浅体会.一、关于函数的最值与极值的概念1.最值定义:设函数y=f(x),在[a,b]内有定义,如果有x_0e[a,b],使得对于任一xe[a,b]都有f(x)≤f(x_0)(或f(x)≥f(x_0))成立,则称函数f(x)在点x_0,处有最大(小)值f(x_0).     

多元函数极值充分条件的证明

一、本文首先指出同济大学数学教研组编《高等数学》(第二版)中,关于多元函数极值充分条件证明有错误。这一错误在樊映川等《高等数学讲义》中也同样存在。在上述《高等数学》(下册)第72页,将函数z=f(x,y)在(x_0,y_0)处全增量写成:△f=f(x_0 h,y_0 k)-f(x_0,y_0) =1/2(Ah~2 2 Bhk Ck~2) 1/2(a_1h~2 2a_2hk a_3k~2)其中A=f_(xx)(x_0,y_0), B=f(xy)(x_0,y_0),C=f(yy)(x_0,y_0), θ_1=f_(xx)(x_0 θh,y_0 θk)-A θ_2=f_(xy),(x_0 θh,y_0 θk)-B θ_3=f(yy)(x_0 θh,θy_0 θk)-Ca_1,a_2,a_3均为当ρ=(h~2 k~2)~(1/2)→0时的无穷小量。该书编者提出以下的论断作为证明的出发点:“当P=Ah~2 2 Bhk Ck~2(?)0时,因为P是     

一道函数图象题目的辨析

本刊1985年第4期《试谈中学数学教学中思维能力的培养》一文中的例2,原题是:讨论函数y=|x|x+ax与y=b的交点的个数.该文认为:当x≥0时,由题意,有x~2+ax-b=0,于是得到a~2+4b>0有两个交点.我们只需看下面的反例,就可以判断上述结论是错误的.令a=3,b=4,此时显然有a~2+4b>0,从而由x~2+3x-4=0得到x_1=1,x_2=-4.而x_2=-4不满足x≥0.此时,函数y=|x|x+ax与y=b的图象只有一个公共点.     

函数图象的对称性及应用

函数的图象可以作为函数性质的直观解释;反过来,对函数性质的研究,有助于我们准确描绘函数图象。本文介绍函数图象轴对称、中心对称的条件及应用。 1.函数图象成轴对称图形的条件 定理1 设函数y=f(x)的定义域为实数集R,则函数y=f(x)的图象关于x=a成轴对称的充要条件是:对任意x∈R都有 f(a x)=f(a-x)或者f(x)=f(2a-x). 证明 在R上任取一值x_0,对x轴上的点p(a-x_o,0),Q(a x_o,0)则线段PQ的中点M(a,0),故P、Q关于M对称。 充分性 由于f(x_o a)=f(a-x_o),所以点P、Q对应于函数y=f(x)图象上的点分别为P＇(a x_o),     

浅谈函数图象的变换

函数图象是函数的重要组成部分,是认识函数、研究函数、应用函数的工具.下面就函数图象的常见变换作一简单介绍. 一、平移变换1.左右平移:如y=f(x+a),其图象是将y=f(x)的图象向左(a>0)、向右(a< 0)平移|a|个单位得到. 2.上下平移:如y=f(x)+a,其图象是将y=f(x)的图象向上(a>0)、向下(a< 0)平移|a|个单位得到. 二、对称变换1.中心对称:若y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点     

能取等号吗?

函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实     

方程知识在二次函数中的应用

利用平面直角坐标系可能直观看出二次函数与一元二次方程的紧密联系,一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,而二次函数的图象与x轴有无公共点又由判别式b~2-4ac来决定。因此,在解决有关函数的问题时,常常要用到一元二次方程的有关知识。下面例举方程知识在二次函数中的应用。 例1 二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)在x=-1时有最小值-4,它的图象与x轴交点的横坐标分别为x_1、x_2,且x_1~2 x_2~2=10。求此二次函数的解析式。 解:由题意可知,抛物线的顶点坐标为(-1,-4),故设其解析式为y=a(x十1)~2-4(a≠0)。     

由函数 y=Asin(wx ρ)(A>0,w>0)的图象求ρ的简便方法

由 y=Asin(wx (?))(A>0,w>0)的图象可求得函数的振幅、周期,从而很容易求得 A、w 的值,而由图象求(?)的值就没有求 A、w 一样容易.本文介绍一种简便的由 y=Asin(wx (?))(A>0,w>0)的图象求(?)的方法.作函数 y=Asin(wx (?))(A>0,w>0)的简图时,常常是应用“五点作图法”,即先找出使函数取得极大值、极小值的点和曲线与 x 轴的交点.具体做法是由 wx     

一类特殊方程的无解性的判别法

中学代数中,有些较为特殊的方程,在实数范围内无解,若依照一般解法,不但演算过程复杂,而且很难判定它们在实数范围内是否无解。本文试图给出这类无解方程的两个判定定理,可以简化解题过程,省时省力。定理1:若方程f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0无实数根,则方程f(x)=0无实数根。(其中f(x),g(x),f_1(y)均为代数函数,下面定理2假设相同。)。证明:设f(x)=0有实数根x_0,则有: f_1[g(x_0)]=0。令 y_0=g(x_0),则f_1(y_0)=0 即y_0是方程f_1(y)=0的实数根,与题设相矛盾。从而方程f(x)=0无实数根。定理2:若f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0有实数根y_1,y_2,…,y_n,但对于每一个y_i(1≤i≤n),方程g(x)=y_i都无实数根,则方程f(x)=0无实根。     

构造同形函数证明极值点偏移问题

<正>函数极值点偏移问题是中学数学中常见问题.例如,已知函数f(x)在区间(a,b)内有一个极值点x_0,且存在x_1、x_2(x_1相似文献   

庆祝1990年元旦数学趣题

题1.设有1990个数x_1,x_2,…,x_(1990),它们只能取值是0、1、2三个数中的一个,如果记:f_1=x_1 x_2 … x_(1990), f_2=x_1~2 x_2~2 … x_(1990)~2,试用f_1和f_2表示f_k=x_1~k x_2~k … x_(1990)~k (k∈N). 解:设在这1990个数中取值0有S个,取值1的有t个,取值2的有r个,则 s t r=1990,0≤s,t,r≤1990.由此得:f_1=t 2r,f_2=t 4r,     

重要不等式及其应用

在宇宙空间和世界上,大量存在“不等关系”。这类关系在数学中的表现形式是用符号“>”或“<”连结量与量、量与式、式与式等,统称为“不等式”。下面是中学数学中一些重要的不等式。’ (1)(x_1-x_2)~2≥0及x_1~2 x_2~2≥2x_x_2(其中x_1、x_2>0,当x_1=x_2时,等号成立) (2)(x_1/x_2) (x_2/x_1)≥2(其中x_1、x_2>0,当x_1=x_2时,等号成立) (3)如果x>0,y>0,xy=1,则x y≥2(当x=y时,等号成立) 一般说来:如果x_i>0,x_1·x_2…x_n=1(其中i=1,2…n,n表自然数)     

对称点在二次函数问题中的应用

<正>二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1,A(2,1)、B(m,1)为抛物线上     

高考理科(23)题的直观思路

题目:已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当 n≤y≤n 1(n=0,1,2,…)时,该函数图象是斜率为 b~n 的线段(其中正常数b≠1),设数列{x_n}由 f(x_n)=n(n=1,2,…)定义.(Ⅰ)求 x_1、x_2和 x_n 的表达式;(Ⅱ)求 f(x)的表达式,并求其定义域;(Ⅲ)证明:y=f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大于1的交点.该题解答涉及许多重要的数学思想方法,考