圆锥曲线的中心、直径的简单判定法及其求法

一、圆锥曲线的中心：设二次锥线关于坐标系xOy的方程为L:ax^2 bxy cy^2 dx ey f=0 (1)点O’（x0,y0）为坐标面上的任一点，在点O'(x0,y0)引入新坐标系x'O'y'，则平面上任一点P，关于新坐标第沔的坐标为P'(x',y'），关于原坐标系xOy的坐标为P（x' x0,y' y0)，     

圆锥曲线的一个有趣性质

性质　过圆锥曲线上任一点 P(x0 ,y0 )作倾斜角互补的两直线交该曲线于 A,B两点 ,则直线 AB的倾斜角为定值 ,且直线 AB的倾斜角与该曲线在 P点的切线的倾斜角也互补证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线与抛物线同理可证 .设椭圆方程为 :x2a2 y2b2 =1,图 1(1)当 y0 =0时 ,直线 AB的倾斜角与 P点处切线的倾斜角都是90°,知结论成立 ;(2 )当 y0 ≠ 0时 ,设直线的参数方程为 :x=x0 tcosα,y=y0 tsinα,(t为参数 )代入椭圆方程整理得 :(b2 cos2 α a2 sin2 α) t2 2 (b2 x0 cosα a2 y0 sinα) t b2 x20 a2 y20 =a2 b2 .∵点 P在…     

三割线定理的推广

文[1]中的“三割线定理”可推广为:图1定理(如图1)自二次曲线L外一点P作直线交L于A,B,C,D,弦AD,BC交于Q,PQ交L于E,F,则1PE+P1F=P2Q.我们需要引理[2](如图1)自二次曲线L外一点P引切线PM,PN,M,N为切点,过P引割线PAB,PCD,交L于A,B,C,D,则AD,BC,MN共点.定理的证明以P为原点,过P任一割线为x轴建立坐标系,那么过P的直线的参数方程为x=tcosθ,y=tsinθ(t为参数).1设L:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,2则切点弦的方程为D2x+E2y+F=0.即Dx+Ey+2F=0.3考虑直线PEF:把1代入2得(Acos2θ+Bcosθ·sinθ+Csin2θ)t2+(Dcosθ+Esinθ)t+…     

圆锥曲线参数方程在解题中的应用

在平面解析几何中,有关圆锥曲线方程的一些应用题,解法是比较复杂的,为了避开繁琐的运算,可应用参数方程解题,把代数运算转化为三角运算。例1.设TT′是椭圆的任一切线介于长轴两端切线AT、A′T′间的线段,则以TT′为直径的圆必过焦点F、F′。证:设椭圆在直角坐标系中的参数方程为x=acosθ y=bsinθ,过椭圆上任一点(acosθ,bsinθ)的切线方程为xcosθ/a+ysinθ/b=1; 因为长轴两端的切线方程为x~2-a~2=0     

用代数方法确定空间圆的参数方程

一、基本事实设r1,r2为半径为R的⊙O1所在平面上(与⊙O1所在平面的法向量n正交的)的两个相互正交的单位向量,对于⊙O1上任一点P,若记θ为r1到O1P的转角(沿从r1到r2的转角为90°的方向),则:P与θ∈[0,2π]一一对应(将0与2π对应的同一点看成两个点),且O1P=R[(cosθ)r1 (sinθ)r2].对应于上述参数,圆周上的弧长微分为ds=Rdθ.二、几个圆周的参数方程以下利用上述事实,举例说明确定空间球面与平面的相交线圆周的参数方程的方法.1、曲线x2 y2 z2=R2x y z=k(|k|<3R)为一个圆,圆心为O1(k/3,k/3,k/3),半径为R2-k2/3,其所在的平面x y z=k上的…     

椭圆切线的几个性质

性质1设F为椭圆的一个焦点,其相应的准线为l,过椭圆上的一点M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.证明过椭圆22ax2+by2=1(a>b>0)上点M(a cosθ,bsinθ)的切线为:x cos ysin1aθ+bθ=,则(2,(cos))sinPa b c ac cθθ?.∴sin,MFcoskba cθ=θ?k FP=c?b saicnoθsθ,∴k MF?kFP=?1,∴PF⊥MF.性质1'设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上任一点(非顶点(0,0)M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.证明设抛物线上一点M(t2/(2p),t)(非顶点(0,0)),则过M的切线为:2()2ty p xt=+p,∴22(,)22Pp t pt??,∴22222,MF FP2k pt kt pt p pt=?=??,∴k MF?kFP…     

错在哪里

数学抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,它与圆x2 y2=9相交,公共弦MN的长为2(5~(1/2)),求该抛物线的方程．错解:设抛物线的方程为x2=2py(P∈R),M(x1,y1),N(x2,y2)．     

盘点抛物线的焦点弦问题

设直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A、B两点(直线AB的倾斜角为α),设A (x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,准线方程为:x=-p/2,则关于抛物线C的焦点弦有以下九条常用的性质:(1)2x1x2=p/4;(2)y1y2=-p2.     

旋转式椭圆规及其数学原理

一、旋转式椭圆规的数学原理我们从椭圆轨迹上的点P(x,y)到椭圆中心的距离谈起: 设椭圆轨迹上一动点P(x,y)的轨迹方程为 x=acosθ, y=bsinθ,则动点P(x,y)到椭圆中心O(0,0)的距离d满足 d~2=(acosθ)~2 (bsinθ)~2.因a~2cos~2θ b~2sin~2θ=(a~2-b~2)cos~2θ b~2     

一个充要条件的应用

点P(x0,y0)在椭圆x2/α2 y2/b2=1内(外)部的充要条件是x0/α2 y0/b2(>1).利用这一结论解决有关椭圆的范围问题,往往简捷迅速. 例1 设直线l的方程为y=mx b,椭圆E的参数方程为{x=1 αcosθ,y=sinθ (α≠0.θ为参数)问α、b满足什么条件时,使得对任意m值来     

一题“多解”的产生过程——记一次习题课的真切感受

1　题目已知椭圆 x =a 3cosθ ,y =2sinθ(θ为参数 ) ,抛物线x =-2 t2 ,y =2t (t为参数 ) ,如果椭圆与抛物线有交点 ,试求a的取值范围 .2　解答由已知 ,消去x ,y ,θ ,得t4 -(1 2a)t2 a2 4a 1 =0 .设t′ =t2 ,则有t′2 -(1 2a)t′ a2 4a 1 =0在 [0 , ∞ )上有解 .∵t     

椭圆、双曲线切线的一个有趣性质

本文介绍椭圆和双曲线切线的一个有趣性质 ,并说明其应用 .定理　经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )或双曲线 b2 x2 - a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )的长轴或实轴两端点 A1 和 A2 的切线 ,与椭圆或双曲线上任一点的切线相交于 P1 和P2 ,则 |P1 A1 |· |P2 A2 |=b2 .证明　椭圆上任一点 P(acosθ,bsinθ)处的切线方程为 b2 ·acosθ· x a2 · bsinθ·y=a2 b2 即bcosθ·x asinθ·y- ab=0 .1又知点 A1 (- a,0 )和 A2 (a,0 )处的切线方程分别为 x=- a和 x=a,将它们分别与1联立解得 |P1 A1 |=|y P1|=b|1 cosθsinθ |,|P2 A2 |=|y P…     

圆锥曲线高考热点例析

一、曲线和方程 例l(96上海)与团(x一2)2 y‘~l外切,且与y轴相切的动团圆心P,的轨迹方程为_· 〔析与解〕思路1(直接法):设P(x,y),据题得丫(x一2)’ yZ一1=x(x)o)化简整理得:y,=6x一3,即为所求方程。 思路2(定义法):据题意知P到点(2,0)的距离等于它到直线x-一1的距离,据抛物线的定义得点P的轨迹方程是y,一6(x一冬),即yZ一6x一3.~一~一一产-一2‘’一,J 例2(93年新高考)在面积为1的△PMN中,tg匕PMN一冬,tg艺MNP一2,建立适当坐标系,求以~一’一’2’一0~’一’-一”~一一一一”‘’一了寸一M、N为焦点且过点P的椭圆方程。—列式—设点…     

一道高考试题的探究与推广

2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=…     

巧用直线的参数方程与极坐标方程求距离

<正>我们知道,在直角坐标系中,过点P0(x0,y0)且倾斜角为α的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数),其中,|t|表示直线l上的任意点P(x,y)到定点P_0(x_0,y_0)的距离.在极坐标系中,过极点O且倾斜角为α的直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),其中,ρ表示直线l上的任意点P(ρ,θ)到极点O的距离.作为高考选考内容之一的参数方程与极     

抛物线的一个性质及其应用

性质:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标分别为y1、y2,则y1y2=-p2．证明:由题意知,直线若为x轴时,与题意不符．(1)当过焦点的直线不垂直于x轴时,设方程为y=k(x-p/2)(k≠0),即x=     

2019年北京卷理科第18题别解与推广

<正>试题已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N,直线y=-1分别交直线OM、ON于点A、B,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.这是2019年北京卷理科第18题,我们首先给出试题的一种新解法.解答 (Ⅰ) 由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),则4=2p,所以抛物线C的方程为x2=-4y     

从一道题看抛物线与圆的位置关系(高二)

题设Q为抛物线y2=2px(p>0)上任一点,连结点M(a,0)与Q,若|MQ|≥|a|.求a的范围.解设Q(x,y),则((x-a)2 y2)~(1/2)=|MQ|≥|a|,将y2=2px代入上式得x2-2(a-p)x≥0(x≥0).当a≤P时,x2-2(a-p)x≥0的解为x≥0,即此时的a满足题目要求.由此发现:抛物线上除顶点外,其余点到点M(a,0)     

圆锥曲线切线的又一性质

在高三数学复习教学中,遇到如下的一个问题:如图1,已知抛物线C:y=x2,过点P(0,2)的直线交抛物线于M、N两点,曲线C在点M、N处的切线交点为Q,求证:点Q必在同一条直线上.证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1=x21,y2=x22,过点M,N的切线方程为联立得y-x21=2x1(x-x1)y-x22=2x2(x-x2),解得x=     

一道抛物线焦点弦问题的联想与变型

题如图1,过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条直线和抛物线相交,交点的纵坐标为y1、y2.求证y1y2=-p2.证法1由已知,抛物线焦点F(2p,0),设过点F的直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2).若AB⊥x轴,则y1=p,y2=-p.所以y1y2=-p2.若AB与x轴不垂直,设直线AB的方程为y=k(x-2p),与y2=2px联立,得y2-2kpy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.证法2因直线AB过定点F且与x轴不平行,所以设直线AB的方程为x=my 2p.代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.法1是常规解法,法2设出直线方程,避免了讨论直线斜率的存在性,是一种很…