怎样证明等边三角形

在有关三角形的证明题中，经常出现求证一个三角形为等边三角形的问题．等边三角形是一类极特殊的三角形，具有许多特殊的性质，而课本对其判定方法未详细讲述，所以许多同学证明这类问题时不得其法．本文举例总结一些常见的证明方法．一、证三边都相等（运用定义证明）例1如图1，在等边三角形ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF求证：△DEF是等边三角形．证明∵△ABC是等边三角形．∴AB＝　BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°∴AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE∴DE＝EF＝FD，即△DEF是多边三角形．二、证三个角都相等例2△A…     

证明两角相等的基本途径

证明两个角相等，在初中几何中占有重要的地位，是基本的题型之一．初二同学学习了等腰三角形后，总结、归纳一下即可知，证明两角相等有如下几条基本途径：（1）利用相交线或平行线的性质；（2）利用同角（或等角）的余角（或补角）相等；（3）利用全等三角形的性质；（4）利用等腰三角形或等边三角形的性质；（5）利用角平分钱的判定定理．例1如图1，已知AB—AC，AH一AE，CH、BE交干E．求证：AF平分zBAC分析欲证AF平分fBAf7＜＝／1一‘三2＜一凸ABF公凸ACF或凸AHFM凸AEF，——BF一CF或DF’一EF、凸BDFed凸CEF＜＝BD…     

等腰三角形性质的应用

等腰三角形是一种特殊的三角形．也是常见的基本图形．它除了具有三角形的一切性质外，还有其特殊性质：1．两底角相等；2．项角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．在解几何题时，灵活应用等腰三角形的这些性质，可巧妙、迅捷地证明若干与角、线段有关的几何题．例1如图1，是BC上两点，．求证：简析由三角形的内角与外角的等量关系，可得．为此，要证结论，只要证证明”．”AB＝AC”，AD＝AE，例2如图2，已知：AB＝AC，BD＝CD，AD交BC于点E．求证：BE＝CE．简析因AB＝AC”，故要证结论成立，只要证AE平分。例3如图3…     

应用“三线合一”定理证题

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线。底边上的高互相重合．等腰三角形的这一性质称“三线合一”定理．这个定理可分解为三个定理：（1）在△ABC中,AB=AC．若AD是角平分线,则AD⊥BC且BD＝DC;（2）在△ABC中,AB＝AC．若AD是中线,则AD⊥BC且／DAB＝／DAC;（3）在△ABC中,AB＝AC．若AD是高,则BD＝DC且／DAB＝／DAC．由此可知,‘“三线合一”定理有三个基本功能：回．证明线段相等;2．证明两角相等;3．证明两条线段（或直线）互相垂直．下面举例说明“三线合一”定理在证题中的应用．侈IJI女日图1,在thA…     

怎样进行几何证明

几何证明就是用已学过的公理、定理、定义来论证几何命题的逻辑推理过程几何证明的方活很多初中阶段较常用的是从原命题入手的直接证法,在此就直接证法来谈谈如何进行几何证明一、几何证明的思路几何证明的思路有三种：综合法、分析法、综合法与分析法相结合的方法．1．综合法一从命题的题设出发,逐步向前推理,得出命题的结论．这种“由因导果”的证题方法叫综合法例1凸ABC是等边三角形,BD是中线,延长BCygE,使CE＝CD求证：DB＝DE证明西ABC是等边三角形,fABC＝／ACB,AB二BC．又AD＝CD,／l＝／2二十／ABC””““——…     

特殊等腰三角形的性质及应用

特殊等腰三角形在平面几何中占有很重要的地位,利其性质可以很方便地求解一些问题本文就一些特殊等腰三角形的性质和应用作一简介．l顶角为12（）t等腰三角形性质：（l）三个内角分别为30”、30。、120。,比值为1：l：4三边比为1：l：月;（2）若已知三角形的一边,就可以求出其余各边;（3）底边的三等分点与顶点的连结构成等边三角形一例1已知如图1所示的thABC中,AB二ACZABC＝120o,AB二6,求BC．解：过A作AD上BC于D．因为ZB＝30”,故AD一用人二3,在几凸用C中,M＝／布汗、证二户把方一3月,a＝ZM2项角为36销等腰三角形…     

用特殊值法解题

利用特殊位置解题［典型例题］例1如图1,在等边ABC的边AB上任取一点D,又在AC上取一点E,使AE＝BD,BE和CD相交于0．求COE的度数．分析如果动点D逐渐运动到AB的特殊点——端点B,最后B、O、D重合,则A、E重合于A点,ZCOE亦重合于ZABC,放所求的／COJ为gr．解：为等边三角形,例2等腰三角形的腰为5,底为6,P是底边上任意一点,则P到两腰的距离之和为＿．分析rtABC的面积等于从P向两腰所作垂线段的和与一腰的乘积的一半,这里面ABC的面积是一个不变值,与P点在BC上的位置无关,因此可选P点在BC的端点或中点这些特殊…     

巧用等腰三角形性质定理求角度

等腰三角形是一种特殊的三角形,它除具有一般三角形的性质外,还有一些特殊性质,如它的两个底角相等,这就是等腰三角形的性质定理．下面举例说明这个定理在计算角度方面的应用．例1如图1,等腰△ABC中,AC＝BCBC,ACB＝70,点P在△ABC的外部,且与C点均在AB的同侧．如果PC＝BC,那么APB＝…．（第五届“祖冲之杯”邀请赛试题）例2在△ADE中,ADE＝140,点B和点C分别在边AD和边AE上．若用AB、BC、CD和DE的长都相等,则LEAI）等于（）（A）5”．（B）6“．（C）7．5”．（D）8”．（E）10”．（1978年美国竞赛试题）…     

构造等腰三角形证几何题

等腰三角形是一种特殊的三角形．它除具有三角形的性质外，还有一些特殊性质．有些几何证明题，根据题设条件构造等腰三角形，运用等腰三角形的特殊性质，证题十分巧妙简捷．请看下面几例．例1已知：如图1，在ABC中，求证：△ABC是直角三角形．分析一根据题没条件，要证△ABC是Rt凸，可以构造一个直角三角形与合C的三角形全等．由，作B的手分线BD，便构造出一个等腰三角形DAB，再作DE上AB，易得凸BDE丝凸BDC，就能征得ZC是直角了．证法一作ZB的平分线BD交AC于D，过D作DE上AB，垂足为E，则．．．凸DAB是等腰三角形，DE是…     

垂径定理在证题中的应用

垂径定理及其推论说明的是圆中的直径与弦以及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系．应用这对应关系,可顺利地证明一些几何命题．现以几道中考题为例说明如下：例1如图1,已知AlABC内接于①O,BC是④O的直径,AD是AIABC的高,OE／AC,OE交AB于点E．求证：AE＝BE．门998年广州市）简析O为①O的圆心,要证AE二BE,只要证OE上用．证明注意到BC是①O的直径,有fBAC＝op．例2如图2,BC是①O的直径,弦AD上BC于E,ZC＝gr．求证：凸ABD为等边三角形．（199年吉林省）简析显见／D＝／C＝gr．这样,要证凸ABD为等边三角形…     

构造等腰三角形证题

在等腰三角形的学习中,我们学习了“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一”等重要性质．利用这些性质可证两条线段相等、两角相等、两直线垂直．但在具体证题中会遇到许多命题,在给定的图形中并没有证题所需的等腰三角形,这时,我们就要结合已知认真观察图形,通过添加适当的辅助线,构造证题所需的等腰三角形使命题获证．这是利用等腰三角形证题的关键环节．例1如图1,已知AB＝AC,BD＝CE,ZB＝＜C,AF上DE,F为垂足．求证：DF＝EF．分析欲证DF＝EF,因为AF上DE,故可考虑利用等腰三角形的“三线合一”性质来进行证明…     

万能的三线合一——以“三角形问题的解答”为例

<正>“三线合一”是指在等腰三角形中底边上的高、中线和顶角的平分线重合,用数学符号可以归纳为:在△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点,满足下面三个条件中的一个,另外两个条件也成立:(1)AD⊥BD;(2)∠BAD=∠CAD;(3)BD=CD．由此可知等腰三角形的“三线合一”是一个“万能”的性质定理,当同学们解答等腰三角形问题时能够用其证明线段相等、两角相等、两线互相垂直等．一、利用“三线合一”性质解答三角形问题的注意事项因为“三线合一”是等腰三角形的重要性质,所以其使用前提是在等腰三角形中,如果是其他三角形不能使用“三线合一”性质．如果几何问题中没有明确给出三角形是等腰三角形,可以添加辅助线构造等腰三角形,然后再使用“三线合一”性质．     

利用全等三角形的性质解题

学习了三角形全等的判定以后，可以利用全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，对应角相等）解决许多类型的几何问题，如下面几例．一、证明线段相等例1在△凸ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分钱交AC于E，交BC边上的高于D，过D作直线平行于BC交AC于F．求证：AE＝CF．证明如图1，作DM⊥AB交AB于M，作FN⊥EC交BC于N．∵BE是∠B的平分线．二、证明角相等例2如图2，已知AC＝AB，DE＝DB，∠CAD＝∠EDA＝60°．求证：∠AFB＝∠BGC证明∵AC＝AB，DE＝DB，又∠CAD＝∠EDA＝60°，．．bABC和凸BDE都是等边三角…     

利用全等三角形巧证几何题

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．利用它们的对应边相等、对应用相等，我们可以巧妙地证明一些与线段有关的几何题．一、线段平行问题例1如图1，已知：△ABC中，D是AB的中点，DE／／BC，DE＝BF求证：DF／／AC．商证由DE斤BC得LADE一LB在凸AHE和凸HBF中，二、法段里互间团三、钱皮和住问四例3如图3，已知：在凸ABC中，zBAC一90c，AB—AC，F是BC上一点，BD入AF于D，CE上AF交其延长线于E．求证：DE—AE－CE．问证由LBAC—90o，BD入AF，易得if一LZ．在凸ABD和凸CAE中，四、挂图增分问四例毛如日电，已…     

初二(上)几何期末复习自测题

一、判断题（正确的打“V”，错误的打“X”；每小题2分，共10分）：1．三角形的三个内角中，至少有两个是锐角．2．若一个等腰三角形又是钝角三角形，则此等腰三角形的顶角一定是钝角．3．在凸ABC中，若上A的外角等于／B的2倍，则凸ABC是等腰三角形．4．等边三角形不是等腰三角形．5．两边上的高相等的三角形一定是等腰三角形．H、境空题（每小题4分，共32分）：1．在凸ABC中，若／A。ZB：iC—2：3：4测／A的度数是2．若等腰三角形两边的长分别是4Cm和scm，则它的周长是。m．3．在凸ABC中，AB—AC，AD入BC于D，由此可得到的结…     

应用等腰三角形证题

等腰三角形是一种特殊的三角形,它在几何证题中有着广泛的应用．那么,怎样应用等腰三角形证题呢？一、要认识等腰三角形的功能几何图形的功能是由它的性质决定的．由等腰三角形的定义、性质和判定可知,等腰三角形有三大基本功能：1．应用等腰三角形可以证明两线段相等．（等腰三角形的两腰相等;等腰三角形顶角的平分线平分底边;等腰三角形底边上的高平分底边．）2．应用等腰三角形可以证明两角相等．（等腰三角形的两底角相等;等腰三角形底边上的中线或高平分顶角．）3．应用等腰三角形可以证明两条直线互相垂直．（等腰三角形顶角的…     

一道课本习题的变式

<正>引例（教材第12页习题1.4第1题）已知：如图1,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB和AC于点D,E.求证：△ADE是等边三角形.（证明略）对此题进行变式,可以得到一系列数学问题.变式1：将△ADE放到△ABC的外部,探究相等线段.例1如图2,△ABC,△ADE是等边三角形.求证：BD=CE.     

由平行线和角平分线推出的等腰三角形

初二几何教材在“等腰三角形的判定”一节的开始 ,提出下面两道题 :其一是第 75页例 1,求证 :如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边 ,那么这个三个形是等腰三角形。这就是 ,已知 :如图 ,∠ CAE是△ ABC的外角 ,∠ 1=∠ 2 ,AD∥ BC,求证 :AB=AC。　　其二是第 76页练习题第 3题 ,已知 :如图 ,AD∥BC,BD平分∠ ABC。求证 :AB=AD。　　这两道题提供了一种新的思路 :由平行线和角平分线的条件来推出一个三角形是等腰三角形。事实上 ,这个思路在解题中往往很有用处。例 1.已知 :如图 ,DC∥AB,AD∥ BC,∠ 1=∠ 2 ,∠ 3=∠ …     

含30°角的直角三角形

初二几何课本第77页上介绍的等腰三角形判定定理的推论,其实是含3O°角的直角三角形的性质定理,即在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．对于某些与直角三角形有关的几何证明题,灵活应用这个定理,可简化推理过程,获得迅捷的证法．图1图2例2如图2,△ABC中,／C＝90°,B＝30°,ED是AB的垂直平分线,交BC于E,交AB于D．求证：EC＝ED．分析连结AE．要证EC＝ED,只要证RichACE。RtAiADE．在这两个三角形中,因AE＝AE,那么只要证AC＝AI）．练习题凸ABC中,土ACB＝gr,CD是高,…     

勾股定理在几何计算中的运用

勾股定理：如图1所示,在ΔABC中,若ZC一切Y,则a’＋b’＝c’．它在几何计算中有非常广泛的应用．一、直接应用1．若已知直角三角形任意两边,可求第三边．例1在西ABc中,上c一引T,C＝5,C＝13．求b．解略．2．若已知直角三角形的一边和一特殊角,可求另两边．例2在rtABC中,ZC＝op,a＝n,ZA＝M．求b、C．解在rtABC中,LC＝op,ZA＝M,a二n,则C＝ZC＝ZC．根据勾股定理,得b一人工｝一月n．3．若已知等边三角形的边长,可求高．例3如图2,rtABC中,AB二AC＝BC二a,AD上BC于D．求AD．解’．·rtABC是等边三角形,A…