圆锥曲线一组“对偶元素”的新性质

文献[1]给出了如下的定义：在抛物线中，点D在抛物线对称轴上且与焦点同侧，直线l’与对称轴垂直且与焦点异侧，若点D与直线l’到抛物线的顶点等距离，则称点D与直线l’为“对偶元素”；在椭圆（双曲线）中，点D在长轴（实轴）所在的对称轴上，直线l’与对称轴垂直且与曲线无交点，若点D与直线l’在椭圆（双曲线）中线的同侧，     

曲线的顶点

高中解析几何课本里讲到,“椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点,叫做椭圆的顶点”;“双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点”;“抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点”。把这几个定义联系起来,容易产生一种印象,认为一条曲线的“顶点”就是这条曲线和它的对称轴的交点。其实并非如此。     

圆锥曲线一组“对偶元素”新性质

文[1]给出了如下的定义:在抛物线中,点D在抛物线对称轴上且与焦点同侧,直线l′与对称轴垂直与焦点异侧,若点D与直线l′到抛物线的顶点等距离,则称点D与直线l′为"对偶元素";在椭圆(双曲线)中,点D在长轴(实轴)所在的对称轴上,直线l′与对称轴垂直且与曲线无交点,若点D与直线l′在     

利用曲线系方程证明圆锥曲线上四点共圆

苏教版选修2-1《圆锥曲线》2.6.3"曲线的交点"中例题2:在长、宽分别为10 cm,18 cm的矩形地块内,欲开凿一花边水池,池边由两个椭圆组成,试确定两个椭圆的四个交点的位置?解建立合适的直角坐标系,得到两个椭圆的标准方程:x~2/25+y~2/20.25=1和x~2/6.25+y~2/81=1,通过解方程组得到两个椭圆的四个交点坐标     

从一个问题的错解谈等价性的重要性

某杂志曾刊有这样一道题及解,其解法是错误的. 肠一烂苏毓儡愁 ,解送天道二耳叉们多犷’山刀 论,判别式和韦达定理椭圆答+答一1与抛物线,一‘-起”霹鲁豁景:种错误也是很典型的.。蒸黛粼黝的交点‘石,”,位于原些(了夕性垦之’月’再联立一,<一3与了m<了”,解得下面的例子。 例椭国x2.,.二~泞.几勺马=1与抛物线,二扩一,,当,在什么范围内时,有四个交点? 错解把xt“y+m4了+5,,二20得代入燕叠嚣绒锥l;出,缺乏细致的分析。事实上,当点(了.m:咫仪于原点与点‘石,0)之间吟确有四个又加但是有四个交点时,点U丫弱瑟荔刃呈妥漏杯同根(了石,0)也可以…     

利用定义和平几法解一解几题

本刊所编《高三数学综合测试卷》(十二)28题：已知PQ是过抛物线y~2=2px的焦点F的弦，N为准线l与x轴的交点，且PQ⊥QN，PM⊥x轴于M(如图).试比较|PM|与|MQ|的大小.此题直接用解几的方法解答是相当麻烦的，现用抛物线的定义和平几知识给出一种简捷的解答．解分别过P、Q作l的垂线，垂足为又由抛物线定义知四点共圆.利用定义和平几法解一解几题@陈孜$四川三台中学     

圆锥曲线的又一特性

椭圆、双曲线、抛物线除了能统一定义以外 ,还蕴涵着许多类似的特性 ,如光学性质、反映基本量a、b、c间关系的特征三角形、以焦半径为直径的圆的位置等。在我们对圆锥曲线的进一步研究中 ,发现了圆锥曲线的又一共同特性———一条特殊的切线 (斜率等于离心率 ) ,即以下三个命题。命题 1　自抛物线y2 =2px( p >0 )的准线与对称轴的交点 ,引抛物线的切线 ,则切线斜率的平方等于1 ,且切点与焦点的连线垂直于对称轴。证明　设切线的斜率为k ,则切线方程为 y =k(x+p2 ) ,代入 y2 =2 px ,得y2 -2 pky +p2 =0 ,由Δ =( 2 pk) 2 -4p2 =0 ,得k2 =1。…     

错在哪里

题:劣2上海市崇明县新风中学曾川来稿过刀(o,b)作椭圆1(a>b>0>)的弦,求弦最大值。 解设P(x,劝尸_椭圆上任一点则上几{BP!2=xZ+了份一b)2厂 二x“十y’一Zb,十乙”、、叹九_由xZ/护十犷/l>’二1得) 一︸尹一尸二’二(a’/b’)(6’一岁’),代入卜式不({ !BP】’=一(e丫bZ)夕2一Zb夕+a“+b’(.) 一(CZ/bZ)<0 }B尸12有最大值 l/}O刀}+l/!OB!了 1!O月!2 1OB!=〔(乙’一aZ)/(a 2b2)2一+一}+(2/ 2O且·}0君{a 2b2)4·(一cZ/b2)(aZ+b:4.(一c’/(Zb)一鱿 C州+训含(aZ+b’)’。in’20一a 2b2门一/b }BP}的最小值为aZ/c。 解答错了!错在那…     

a、b、c的符号与抛物线

我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线,它的顶点坐标是(-2ba,4ac-b24a),对称轴是平行于y轴的直线x=-2ba·而a、b、c的符号与抛物线在坐标系中的位置关系有以下三条规律:1·a的符号与抛物线开口方向的关系:(1)a>0抛物线开口向上;(2)a<0抛物线开口向下·2·a、b的符号与抛物线的对称轴的位置的关系:(1)ab>0对称轴位于原点左侧;(2)ab<0对称轴位于原点右侧;(3)b=0对称轴是y轴(直线x=0)·3·c的符号与抛物线和y轴交点的位置的关系:(1)c>0抛物线和y轴的正半轴相交;(2)c<0抛物线和y轴的负半轴相交;(3)c=0抛物线和y轴的交点就是顶点·…     

一般抛物线位置及形状的确定

对于一般的抛物线方程ax2 +2hxy +by2 +2gx +2fy+c =0 ,其中L2 =ab -h2= 0 (1)通常用平移、旋转的方法确定其位置及形状 ,但过程往往较为复杂。本文另辟途径 ,给出一种较为简便的确定方法。为了使后面定理的证明不过于冗长 ,我们首先给出以下两条结论 (从抛物线的标准形式很容易证得 ) :(a)若直线与抛物线只有一个交点 ,则此直线与抛物线相切或者平行于抛物线的对称轴 ;(b)若抛物线的切线与对称轴垂直 ,则此切线一定过抛物线的顶点。方程 (1)通过配方总可变成如下形式 (具体方法见后 ) :L12 +L2 =0 (2 )其中L1=a1x +b1y +c1,L2 =a2 x +b2 …     

巧用抛物线的对称性求解析式

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)具有对称性,它的对称轴是直线x=-b2a,顶点在对称轴上.在求抛物线的解析式时,充分利用抛物线的对称性,可简化运算.现举例说明如下.例1已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,-1)、B(1,2)、C(-3,2)三点,求该抛物线的解析式.解:∵B(1,2)、C(-3,2)是抛物线关于对称轴的对称点,∴抛物线的对称轴是x=121+-3=-1.设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k.将点A(0,-1)和B(1,2)代入,得-1=a+k,2=4a+k解得a=1,k=-2.∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-2,即y=x2+2x-1.例2已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(3,-2),与x轴的两个交点B、C间的距离为4,求该抛…     

一道竞赛难题的巧解

一九九六年全国初中数学联赛第二试中有这样一道题：a、b、c均为自然数，二次函数y—ax‘＋by＋X的图象与X轴的两个不同的交点为A、B，且A、B到原点的距离都小于1．试求a＋b＋c的最小值．《初中生数学学习》杂志在今年7—8期（（19年全国初中数学联赛试题解答及部分试题背景探源）｝中给出了如下一种解法．【解］设A、B两点的坐标为（X；，0）、（。‘。，o）且XI＜XZ．依题设卜；卜1，卜。KI，又a、b、c＞0，b抛物线的对称轴X—一大＜0．。。。——。。，’。、J、。一山又抛物线y二ax’＋bx＋c与y轴的交点为C（O，C）且C＞0，；…     

中考题中抛物线顶点问题的浅析

二次函数图象的顶点是二次函数的重点内容．它涉及的知识面广,是中考试卷中的热门题．现以1997年中考题为例介绍如下．一、顶点与抛物线解析式例1已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象的对称轴是x＝2,且图象的最高点在反比例函数的图象上,求此二次函数/的解析式．（1997年贵州省中考题）解析对称轴与的图象相交,把X＝2代入得抛物线的顶点（2,1）．再由对称轴求得m1＝－1,m2＝2舍去,因抛物线有最高点,a＜0）,’．解析式为y＝－（x－Z）’＋l,即y＝－x’＋4x－3．二、顶点与抛物线的平移例2一条抛物线是由y＝－xZ的图象经过…     

圆锥曲线切线的一个统一性质

在直线和圆锥曲线的位置关系中,相切是一种重要的情况.圆锥曲线有这样一个有意思的性质:经过圆锥曲线的准线与对称轴的交点作圆锥曲线的切线,则切线的斜率的绝对值等于离心率. 一、椭圆 经过椭圆的准线与对称轴的交点作椭圆的切线,切线的斜率的绝对值等于椭圆的离心率.     

圆锥曲线又一统一性质

我们知道,圆锥曲线有统一的定义,还有许多统一性质．比如以下统一性质就是其中的一种．定理点P在圆锥曲线的对称轴l上（点P不过对称中心）,过点P的动直线l（l不垂直圆锥曲线的对称轴）交圆锥曲线予A,B两点,点A关于l对称的点为A’,则过点A’和点B的直线必过定点P’．下面分别从椭圆、双曲线和抛物线3个方面进行论述．若是非标准状态下,我们可以通过坐标变换或移轴等手段,把圆锥曲线的方程变成标准形式后进行论证．     

三解还是五解?

题:过点M(一2,0)的直线Z依次与抛物线,乞=一4二及圆(.x+9/2)2+,:== 16相交于A、B、C、D,已知】AB】=】CD】,求直线l的方程。解设直线l的方程为夕=k(二+2)(k今。),恤 气g=k(戈+2)夕2==一4戈得k’戈’+(4k’+4)x+4k2==0…①rJIL如 去 由消则l与抛物线的两个交点连线的中点横坐标为·。=一世沪由{澎;忿卿,2=16圆被l所截得的弦的中点重合。上述解法即是这种情况。 (2)当直线l与两曲线相交顺序为抛物线、圆、抛物线、圆时(图中的l‘、l。),这时圆与抛物线被i所截得的弦的中点不爪合,但可由}A川二}CD!知两弦长相等。 设l与抛物线两个交点的…     

一道解几题的探讨

今年江苏省高考预考试卷文史类题五(31): 已知曲线为c:y=-x~2+x+2关于点P(a,2a)对称的曲线为c’,且曲线e和e’有两个不同的交点A、B。设AB的斜率为k,求 (1)u的取值范围; (2)k的变化范围由此题引起下面两点思索。思索之一:如何判断点P与抛物线r的位置关系; 思索之二:点P与抛物线e的位置关系同曲线,与e’的交点之间的关系如何,下面就这两点思索探讨如下。一、如何判断点P与抛物线e的位置关系。若点P在抛物线e的凹向部分即抛物线的开口内部,就认为点P在抛物线e内;若点P在抛物线凸向之部分就认为点P在抛物线e外(见日本长泽龟     

由椭圆的长轴和长轴长想到的——谈谈中专数学的严谨性和量力性

工科中专通用教材《数学》(第三版)(以下简称《数学》)中关于椭圆的长轴和长轴有如下定义：“A、A1、B、B1的四点,就是椭圆与它的对称轴的交点,叫做椭圆的顶点,线段A1A=2a叫做椭圆的长轴”(见《数学》P144)。     

抛物线性质在解题中的应用

抛物线的数学性质有:一元二次函数y=Ax2+Bx+C的图像为抛物线,其对称轴坐标为x=-B/2A,若A>0,则开口向上,有最小值;若A<0则开口向下,有最大值;抛物线与坐标轴轴的位置关系可由一元二次方程根的判别式来判定;抛物线是一种圆锥曲线,即在平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹为抛物线,其离心率为1.抛物线方程有多种形式.     

一道课本习题蕴含的重要性质

现行高中数学课本《平面解析儿何))(必修)Pllo页第12题:如图1,从椭圆上一点尸向x轴作垂线,恰好通过椭圆的一个焦点,这时椭圆的长轴的端点A和短轴的端点B的连线平行于OP,求椭圆的离心率.(答案图1了百、兴井), 2 解答从略. 若适当改变条件,进一步分析,我们会得到一个重要的性质: 定理直线夕>b>0)的交点在的充要条件是}kl率).一k二与椭圆;十;一1(ax轴上的射影为椭圆的焦点一告一(e为椭圆的离心证明:举要性:将y一~1,解得扩~kx代入椭圆方程得, aZbZb“十aZ尸’X一声气︸.白k一 xz一砂,.’交点在x轴上的射影为椭圆的焦点,c一a 一a一c .’. xZ…