一道竞赛题的证明与思维拓展

第20届伊朗数学奥林匹克竞赛中有这样一道代数不等式题目： 问题1 设a,b,c∈R＋,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3. 文[1]是通过构造三角形,挖掘它的几何意义,利用人们熟悉的三角形不等式实现其证明的．笔者的思考是,既然是纯代数的不等式,那么,有没有直接的代数证法呢？事实上,回答是肯定的．     

一道竞赛题的引申推广

文[1]刊出的1999年全国初中数学联赛题(1)第11题是一个填空题：     

一道竞赛题的姐妹题

题设I为AABC的内心,其AABC内切圆切三边BC、CA和AB于点K、L、M,过B点平行于MK的直线分别交直线LM和LK于点R和S。求证：∠RIS为锐角。(39届IMO试题)     

一道数学竞赛题的另解

题目　已知在△ABC中 ,∠ACB =90°,如图 1所示 .当点D在斜边AB上 (不含端点 )时 ,求证 :CD2 -BD2BC2 =AD -BDAB .( 2 0 0 3,全国初中数学联赛 )　　证明 :作CE⊥BA于点E .设BC =a ,AB=c ,CE =h ,BD =m ,AD =n ,CD =t,BE =p ,ED =k .显然 ,p k =m .则CD2 -BD2BC2 =t2 -m2a2=h2 k2 -m2a2 =h2 (k m) (k -m)a2 .将h2 =p(k n) ,k -m =-p ,a2 =pc代入上式 ,得CD2 -BD2BC2 =p(k n) -p(k m)pc=p(n -m)pc =n -mc =AD -BDAB .当D与E重合时 ,h =t,k =0 ,上述证明同样成立 ;当D在E左侧时 ,k <0 ,同理可证结论成立 .…     

一道竞赛题的别证

题　证明 :对任意实数 a>1,b>1,有不等式a2b- 1 b2a- 1≥ 8.　　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )《中学数学月刊》1999年第 11期、2 0 0 0年第 5期分别用添加项法或配置对偶式进行了证明 .兹给出另外四种证法如下 :证法 1　 (增量代换 )设 a=1 x,b=1 y,x,y∈R ,则a2b- 1 b2a- 1=(1 x) 2y (1 y) 2x≥(2 x ) 2y (2 y ) 2x =4(xy yx)≥ 8.当且仅当 1=x=y,即 a=b=2时取等号 .证法 2　 (三角代换 )设 a=sec2 α,b=sec2 β,α,β为锐角 ,则a2b- 1 b2a- 1=1cos4α· tan2 β 1cos4β· tan2 α=4(1 cos2α) 2 · (1 cos2β) 2s…     

一道几何题的推广

文献[1]中介绍了一道有意义的几何题的解法和思路,本文给出了该题的三个推广。     

一道竞赛题的证明和推广

题目已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证：a＋b＋c≤a^2＋b^2＋c^2．     

利用导数证明一道竞赛题

导数作为高中新大纲中的内容,不但是中学内容向大学知识的过渡,而且对于我们解决一些已有问题提供了新的证明思想和方法.本文就一道竞赛题进行讨论,发现导数不但能很好的解决维数较低时不等式的证明,而且对于高维的不等式尤能发挥其作用.     

一道竞赛题的两个简单证明

题目设a,b,c∈R＋,a2＋b2＋c2＋abc=4,证明：a＋b＋c≤3.（第20届伊朗奥林匹克）     

一道竞赛题的拓展与证明

题目已知实数x．y、z满足 xyz=32,x＋y＋z=4． 则｜x｜＋｜y｜＋｜z｜的最小值为_. （2100,湖北省高中数学竞赛）     

一道竞赛题的初等证明

赛题（第四届北方数学邀请赛试题）已知a,b,c为直角三角形的三边长,     

一道竞赛题的多种解法

有一道2005年全国初中数学竞赛题，本文列举了它的几种解法，以启发同学们的解题思路．[第一段]     

再谈一道竞赛题的证明

贵刊文[1]～[6]对第31届西班牙数学奥林匹克竞赛第2题：“若（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则z＋y=0。”进行了多种证明及推广,现再给出该题的两种证法．     

一道竞赛题的四种构造性证明

第 2 1届全苏数学竞赛有这样一道试题 :已知 :a,b,c,m,n,p均为正数 ,且满足 a+ m=b+ n=c+ p=k,求证 :an+ bp+ cm相似文献   

对一道希腊竞赛题的探究

题目　一个大学生在去年暑假用了 37天学习高等数学 ,并遵循如下规则 :( 1 )每天至少学 1小时 ;( 2 )每天按整小时学 ,且最多学 1 2小时 ;( 3)全部学习时间不超过 6 0小时 .证明 :此期间存在连续的若干天 ,该生学习时间的总和为 1 3小时[1] .(第 1 9届希腊数学奥林匹克 )对于题中所给的条件“37天” ,若改为 36天 ,命题是否成立呢 ?笔者发现 ,35天就够了 ,且可证明 35天是最小值 .理由如下 :沿用文 [1 ]的记号 ,则Ai 的取值是 1～ 6 0这 6 0个正整数中互不相同的若干个 .考虑下面 2 6组数 :{i,i 1 3},i=1 ,2 ,… ,1 3,2 7,2 8,… ,39.其中…