问题1.12参考答案

问题　圆上有 9 个数码,已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下,得到的是一个9位数并且能被27整除.试说明:如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话,那么所得的一个9位数也能被27整除.分析与解　如图 1 所示,设从位置a1 起得到的9位数是A = a1a2…a9,能被27整除,现在只要说明B = a2a3…a9a1 能被27整除,其余的均可依次推出.而A = a1 ×108 + a2 ×107 + a3 ×106 +…+ a ×10+ a ,善学　乐学B = a2 ×108 + a3 ×107 + a4 ×106 +…+ a9 ×10+ a1.故 10A -B = a1 ×109 - a1 =99…99个9a1 =9a1 ×11…19个1.因为3可整除11…1…     

问题征解

图1【问题1.6】如图1,绕着圆周写了2004个数字(都是然数0～9),如果以某一位置开始顺时针方向读出这些数字,得到的2004位数能被27整除.试证:从任何一个位置开始按顺时针方向读出这些数字所得的2004位数,都能被27整除.(剪下第9页的有奖问题征解小三角,贴在信封正面,于6月底前连同证明过程一起寄本刊编辑部)问题征解     

问题征解

问题1.6参考答案证明设从位置a1开始得到的2004位数是A=a1a2…a2004能被27整除.a2开始得到的2004位数是B=a2a3…a2004a1,则因为A=a1×102003+a2×102002+…+a2003×10+a2004,B=a2×102003+a3×102002+…+a2004×10+a1,有10A-B=a1×102004-a1=a1(102004-1)=99…992004个1a1=a1×11…112004个9.因为3│2004,所以3│11…112004个1,即27│10A-B.已知A能被27整除,所以B也能被27整除.依次类推,从任何一个位置开始按顺时针方向读出这些数字所得的2004位数,都能被27整除.故命题成立.[问题2.9]如果a,b,c,d,e,f,g,h,k都是1或-1,则aek-afh+bfg-bdk+…     

问题1.6参考答案

问题 如图1，绕着圆周写了2004个数字（都是自然数0～9），如果从某一位置开始顺时针方向读出这些数字，得到的2004位数能被27整除．试证：从任何一个位置开始按顺时针方向读出这些数字所得的2004位数，都能被27整除。     

问题1．6

如图1，绕着圆周写了2004个数字(都是自然数0～9)，如果以某一位置开始顺时针方向读出这些数字，得到的2004位数能被27整除．试证：从任何一个位置开始按顺时针方向读出这些数字所得的2004位数，都能被27整除．     

小学毕业班数学总复习参考题(二)

乙类题 (答案附在题后括号内) (一)基本概念部分写出既能被2又能被3和5整除的所有的两位数。(劝,60,,o)有一个三位数,它的百位数字是9,十位数字是8.如果这个数‘既能被2整除,又能被3整,除,那么这个数应该是()。(,名4)3.能分别被4、5、8这三个数整除的最小的一个数是,能够整除48、24这两个 数的最大的一个数是_______。(40,24).写出20到40中间的全部质数;写出两个合数,这两个合数必须是互质数. 31、37;女昭一1与舫等).哪个数既不是质数,也不是合数?哪个数既不是正数,也不是负数?(l, Jl,女人l,已品4。。J。二‘l二。 5、4言里有—个扁,‘斤的…     

算术基础理论自测试题(二)——数的整除性

(一)填空。 1.命题有四种形式:原命题若A,则B;逆命题,;否命题 ,逆否命题 2.已知7}721,且。2<721,那么7!(7 21一。)的充要条件是_。 3。二15}45,15}30,:.15】〔() ()〕; ’·’7!42,7!21,:.7!〔()一()〕。 3.举出三个数,使它们的和能被6整除,并且(1)三个数都能被6整除,如__,_,_;(2)三个数都不能被6整除,如_,_,___;(3)其中一个数能被6整除,另外两个数不能被6整除,如,_, 5。填数:(1)74口既能被2整除,又能被3整除;(2)40口口既能被9整除,又能被25整除;(3)72口96既能被3整除,又能被8整除。 6.写出两个是互质数的合数__,_。 7.将24分解质因数24二_…     

等价叙述巧解赛题两例

寻找已知条件的等价叙述,往往对启边迪解题思路起关键作用。 1.有三个连续的自然数,其中最小的能被15整除,中间的能被17整除,最大的能被19整除,写出一组这样的三个连续自然数。     

能被37整除的三位数

259这个三位数能被37整除,那么由该三数码顺序,按图中所示方向轮换排成的另两个三位数(即592及925),也能被37整除。     

数学练习讲评要在“活”字上下功夫

数学练习讲评是数学课堂教学的一个重要组成部分.讲评练习不能就题论题,更不能停留于给个答案,而要精心设计,在“活”字上下功夫,做到讲一题带一片.下面浅谈评“活”练习的三点做法.一、“活”在概念的理解之中.如讲评判断题:“5能被2整除( )”时,不但要指出这个判断是错误的,还要举例把“整除”和“除尽”这两个不同概念讲清,同时启发、引导学生从这两个不同的概念,联想到“倍数”与“倍”的不同之处.“倍数”所表示的是能被某一自然数整除的自然数;而“倍”只能表示两个数相除所得的商(商可以是整数、小数或分数).“倍数”和“倍”分别对应于“整除”和“除尽”是两个相近而又不同的概念.如:12÷3=4,可以说12是3的倍数,或12能被3整除;也可以说12是3的4倍,或12能被3除尽.6÷5=1.2,只能说6是5的1.2倍,或6能被5除尽;不能说6是5的倍数,或6目被5整除.10÷3=3(1/3),只能说10是3的3(1/3)倍;不能说10能被3除尽.这样,学生对“整除”和“除尽”,“倍数”和“倍”的异同点就得到了进一步的理解.     

从求最小公倍数入手分析

[题目]有三个连续的自然数,其中最小的一个能被15整除,较大的一个能被17整除,最大的一个能被19整除。请写出一组这样的自然数。     

求最大或最小数的简便方法

在中师《数学教法》课本的《整数的性质》一章中,常常有根据“数的整除特征”写出能被某个自然数整除的最大(最小)n位数。有些同学见到这样的题,往往只是根据某个自然数整除的特征去“凑”所求的数。这样,不但用的时间多,而且也容易出差错。下面介绍一种简便方法,供参考。求能被m整除的最大(最小)n位数①写出最大(最小)的n位数;②用最大(最小)n位数除以m;(若有余数)③最大n位数减去a即为所求,最小n位数加上 (m-b)即为所求。这里a={最大n位数除以m所得的余数} b={最小n位数除以m所得的余数} 例题:写出能被22整除的最大五位数和最小五位数。解:①最大五位数和最小五位数分别是99999,10000;     

整数整除整数的特征

<正> 一个整数A整除另一个整数B,就是用A去除以B所得的余数为零,即:B=K·A(其中K为整数)。而当B=K·A时(A、B、K均为整数),对于不同的A,B中的各位数字及其它性质与A又有着特殊的关系;反过来,可以从这种特殊的关系中,较容易地判断出B是否能被A整除,从而避免冗繁的除法运算。这里给出整数整除整数的判别方法。 任何一个整数,要么可以表示为2n+1,即为奇数,要么可以表示为2~n,要么可以表示为2~K(2m+1),(其中n、K、m均为整数),后两者即为偶数。而研究整数,只须从这三方面入手即可。 定理1 能被奇数2n+1整除的整数10a+b(其中n、a为整数,b为一位整数)的特征是:这个数10a+b的末位数b以前的数字所表示的数a的5倍与b的n倍之差能被2n+1整除。反之亦然。即:若10a+b能被2n+1整除,则有5a-nb能被2n+1整除;若5a-nb能被2n+1整除,则有10a+b能被2n+1整除。     

设计“变式”的方法

“变式教学”是训练学生思维,提高教学质量的重要手段。在小学数学教学中,设计“变式”的方式有以下几种: 1.变换标准、常规的叙述和表达方式例如下面一组变式材料:①36的约数有哪些?②哪些数能整除36?③36是哪些数的倍数?④36能被哪些数整除?⑤36除以哪些数,所得的商是整数?⑤哪些数除36,所得的商是整数?⑦要使两个自然数的积等于36,写出其中一个因数可取值的各种情况。     

“93”趣题

①添上运算符号,使下面等式成立:1 9 9 3=93 ②从“19”开始到“93”止,所有这些奇数的和是____。③从“19”开始,每隔两个数写出一个数来,就得到:19、22、25、28……。请问,“1993”是这列数的第____个数。④把“93”拆成大小各不相同的四个数之和,要使它们的积最大,这四个数是____、____、____和____。⑤若五位数“19□93”能被7整除,“□”内应     

由1001的特征谈起

你注意过1 001这个数的特征吗? 1 001能同时被7、11、13这3个质数整除,这是因为1 001一7又11又13的缘故. 由于1991又1001一1992991,所以1992991)也能同时被7、n、13这3个质数整除. 能同时被7、11、13整除的数,如上面的两数,有什么特征呢? 我们可以分别将每个数以千进位自右向左分节,然后分别求出奇位千进位之和与偶位千进位之和,从比较这两个和的关系出发,去寻找整除的特征. 表1┌───────┬──────┬──────┐│ │1 992 991 │1 993 992 │├───────┼──────┼──────┤│分节 │1,992,991 │1,993,992…     

从“被3整除的数的特征”谈开去

关于“被3整除的数的特征“这一内容的课,我听过许多节.也许有的教师认为这一内容很好上,因为无论课上得多么糟糕,最后学生还是会知道,一个数各个数位上的数的和能被3整除,那么这个数一定能被3整除.所以大部分老师会选择这个内容来上公开课.但是,我     

第十八届(1984年)全苏中学数学奥林匹克试题及部分解答

八年级 1.(1)如果存在n个整数,其积为n且其和为零,那么数n能被4整除。 (2)如果自然数n能被4整除,试证必存在n个整数它们的乘积为n,而和为零。 2.证明:对任意的非负数a和b,下述不等式成立 1/2(a+b)~2+1/4(a+b)≥ab~(1/2)+ba~(1/2)。 3.平面上有二个等边三角形A_1A_2A_3和B_1B_2B_3,A_1→A_2→A_3与B_1→B_2→B_3为顺时针方向。     

趣味数学三题

(一)两个三位数 将2、3、4、5、6、7六个数码,组成两个三位数. 要求:每个数都能被另一个数的三个数码之和所整除,并且所得商都等于23. (二)马路长知多少 一条马路的两旁,每隔16米栽柳树一棵,连两端在内共栽树的棵数是个两位数,马路长的米数是个三位数.已知以上两数是由2、3、4、5、6五个数码组成的. 你说该马路长多少米? (三)巧算年龄 一对夫妻,夫比妻大1岁,他们的儿子10岁时,夫妻两人的岁数之积等于一个四位数舀石石石(a,b是两个不同数码).而几年前,他们两人岁数平方之和等于儿子出生那年的年份. 你能说出这家的三个人今年(2001年)各几岁?…     

例谈小学数学教学中的激疑——关于《能被3整除的数》的教学反思

[片段一]新课开始,教师指导学生复习了能被2和5整除的数的特征,为本节学习能被3整除的数的特征提供了激疑的源头。教师让学生任意报几个数,老师迅速说出它能否被3整除,其他同学用笔算验证。当学生说出的数都被教师判断出能否被3整除时,学生露出了惊奇、佩服的表情,个个跃跃欲试。学生的求知欲被激起后,教师组织学生讨论"39、5739"这两个数能否被3整除,学生迅速说能被3整除。这两个数确实是能被3整除,但当老师问到为什么时,学生回答说:"我想个