突破点差法解双曲线中点弦问题的难点

圆锥曲线的“中点弦”问题，习惯的处理方式是对椭圆和抛物线的问题优先用“点差法”（或说代点相减法），对双曲线问题优先用“判别式法”（先设出直线方程与抛物线方程联立，消去一元后得到二次方程，然后运用根的判别式等知识求解）．但在实际中，许多学生习惯于开始都采用“点差法”，因而在求解某些双曲线问题时，又不得不放弃原来的思路而改用“判别式法”．下面笔者提供2种突破方法，以供参考．     

"点差法"解决圆锥曲线的中点弦问题

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题,常采用"点差法"来求解."点差法"是利用直线和圆锥曲线的两个交点,把交点代入圆锥曲线的方程,得到两个等式,两式相减,可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子(也称中点和斜率结合公式),再结合已知条件,运用学过的知识使问题得到解决.当题目涉及弦的中点、斜率时,一般都可以用点差法来解.与韦达定理法纷繁冗长的计算相比,点差法可以大大减少运算量,优化解题过程,达到"设而不求"的目的.本文将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程四个方面举例说明,欢迎大家批评指证.     

这样的直线为什么不存在 ——对双曲线"点差法"的一点教学思考

用"点差法"求解双曲线的"中点弦"问题时,常常会出现"中点弦"时而存在,时而又不存在的情况,本文通过分析研究,发现了"中点弦"不存在的原因,同时给出如何运用数形结合判断"中点弦"是否存在的方法.     

浅析“点差法”在圆锥曲线中的应用

直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何中常见且重要的题型,也是高考命题的热点,但是往往学生在此部分的得分不高,因为用传统解法它的计算量大,烦琐,费时,出错率高。在多年的教学实践中发现点差法在解决圆锥曲线中一些特定的问题如求中点弦方程、求弦中点轨迹、求垂直平分线、求定值问题,可以化繁为简,有出奇制胜的效果。点差法:设弦的两个端点坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这种代点作差的方法被称为点差法。     

定比点差法巧解三类圆锥曲线问题

圆锥曲线问题是高考数学中的一个难点,也是近几年高考及各地模拟考试的必考点.文章讨论了三种类型的定比点差法,并以2022年三道圆锥曲线高考题为例,运用定比点差法对其进行探究.     

例谈定比点差法在圆锥曲线问题中的应用

圆锥曲线的中点弦问题可以采用点差法求得中点坐标与弦直线斜率的关系,定比点差法是点差法的拓展与延伸,在处理直线与圆锥曲线交点问题的时候提供了新的思路,合理利用此方法可以大大降低计算复杂度,开拓学生思维.     

例谈圆锥曲线中的定比点差法

直线与圆锥曲线相交弦涉及定比分点问题,常规解法是把比例关系用坐标表示,计算量较大,如果涉及的定点并非中点,是否还能运用点差法呢?本文对定比点差法的应用进行了一些举例与拓展探究.     

用点差法巧解中点弦问题

点差法在解决与中点有关的问题时确实很有用。它通过“设点”、“作差”两个步骤。就产生了弦的中点和弦所在直线的斜率,巧妙地避免了解方程组求交点的复杂运算,使问题轻松获解。与常规解法相比,其优越性显而易见。     

难道“点差法”失效了？

课本第80页第21题为：已知双曲线的方程x^2-y^2/2=1,试问：是否存在被点B（1，1）平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，说明理由．     

坐标法在共点线问题证明中的应用

建立适当坐标系,将几何的基本对象（点）和代数的基本对象（数）联系起来,运用向量的知识,将初等几何中的共点线问题转化为有关点的坐标的代数问题来研究。     

用对称法解决高中物理问题

在高中物理较复杂的问题及物理过程的分析中利用对称法常常比较快捷,以下是作者总结的在学习过程中对称法的应用心得。     

溯源——利用点差法深究圆锥曲线中点弦的存在性问题

文章通过类比、对比,利用点差法深度挖掘圆锥曲线中点弦的存在性问题．     

例谈点差法在解题中的应用

<正>在解析几何圆锥曲线这一章中,我们常常会碰到一类与弦中点有关的问题,对于这一类问题常用的解法是"点差法".所谓点差法就是将弦的两端点A(x1,y1),B(x2,y2)代入圆锥曲线方程,然后将所得的两式相减,再因式分解,求得弦的斜率,其中用到的公式有     

点差法与中点弦

运用点差法或“和、差设点式”点差法,可以解决下列两种类型的“中点弦”问题,其特点是可回避一元二次方程的实根判别式．1．二次曲线的“中点弦”的存在性     

定比点差法在圆锥曲线中的应用

在解答圆锥曲线中的中点弦问题时,点差法是最直接、最常用的方法,同时点差法也避免了较为复杂的代数运算,原理清晰,过程明了,受到广大师生的喜爱.实质上,点差法只是处理定比弦长类问题的一个特例,其本质应为定比点差法(也称倍长点差法),即在涉及弦长类比例关系时的一种转化方法.     

＂点差法＂失效了？

“点差法”设而不求是圆锥曲线重要的解题策略，应用时应对所求的直线是否存在进行检验．     

巧设弦中点 妙用点差法

弦的中点取决于弦的两端点的坐标和,弦的斜率由弦的两端点的坐标差而定,它们的直接关系孕育在设点、代人、作差之中．在解决有关弦的斜率、弦的中点的问题时,可巧设弦中点,妙用点差法．     

妙用“点差法”巧解解析几何综合题

众所周知，解析几何综合性问题具有涉及的知识点多、运算量大、形式灵活多变等特点。学生对此类问题颇感头疼，往往采取“退避三舍”的态度，使此处教学陷入僵局。笔者通过研究发现，许多解析几何综合题，均可妙用解决“中点弦”问题的常用方法——“点差法”来解决，往往可以收到化繁为简、出奇制胜的效果。现就具体问题展示如下。