一道IMO预选题的推广

题目 设△ABC是锐角三角形，外接圆圆心为D，半径为R，AO交△BOC所在的圆于另一点A’，BO交△COA所在的圆于另一点B’，CO交△AOB所在的圆于另一点C’．证明：     

一道IMO预选题的再探索

第37届IMO预选题第16题为： 问题 设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在圆于另一点A’,BO交ACDA所在圆于另一点B’,CO交△AOB所在圆于另一点C’．证明：     

第51届IMO预选题（三）

几合部分 1．设锐角△ABC边BC、CA、AB上的高的垂足分别为D、E、F,直线EF与△ABC的外接圆的一个交点为P,直线BP与DF交于点Q．证明：AP=AQ．     

一道IMO预选题的推广

题目：设f是一个从实数集R映射到自身的函数，且对任何x∈R都有|f(x)|≤1，及f(x 13/42) f(x)=f(x 1/6) f(x 1/7).     

一道IMO预选题的推广

第37届(1996年)IMO中有如下一道预选题:若a,b,c,∈(0,+∞),且abc＝1.试证: (ab)/(a5+b5+ab)+(bc)/(b5+c5+bc)+(ca)/(c5+a5+ca)≤1.     

一道IMO预选题的推广

问题:设x、y、z是正实数,且xyz=1,证明x3/(1 y)(1 z) y3/(1 x)(1 z) z3/(1 z)(1 y)≥3/4.(39届IMO预选题)     

一道IMO预选题的探究

文[1]：在△ABC中,DE过A点且与BC平行,∠C、∠B的平分线分别交AB、AC于F、G;交DE分别于D、E,若DF=EG,求证：AB=AC．     

一道IMO预选题的推广及应用

在第31届IMO预选题中,有一道泰国提供的不等式证明题,题目如下： 题目 设a,b,c,d是满足 ab＋bc＋cd＋da=1     

一道IMO预选题的另一推广

题1设a,b,c是正实数,且abc=1,求证: ab/a5 b5 ab bc/b5 c5 bc ca c5 a5 ca≤1,并指出等号成立的条件. 题1是第37届IMO的一道预选题,文[1]对其进行了推广,下面,我们给出它的另一推广.     

一道IMO预选题的探讨

第46届IMO预选题几何部分的第7题为： 在锐角△ABC中，点A、B、C在边BC、CA、AB上的投影分别为D、E、F，点A、B、C在边EF、FD、DE上的投影分别为P、Q、R．记△ABC、△PQR、△DEF的周长分别为P1、P2、P3．证明：[第一段]     

第48届IMO预选题（三）

几何部分 1．本届IMO第4题． 2．已知等腰△ABC,AB=AC,M为边BC的中点,X是△ABM外接圆的劣弧MA^上的一个动点,T是∠BMA内的一点,且满足∠TMX=90°,TX=BX．证明：∠MTB-∠CTM的值不依赖于点X．     

一道IMO预选题的简证

题目如图1，已知□ABCD。一条过点A的动直线l与射线BC、DC分别交于点X、Y，△ABX中〈BAX内的旁心为K，△ADY中〈DAY内的旁心为L．证明：〈KCL为定值．     

一道IMO预选题的简证

题目 已知△ABC，点X是直线BC上的动点，且点C在点B、X之间．又△ABX、△ACX的内切圆有两个不同的交点P、Q．证明：PQ经过一个不依赖于点X的定点。     

第54届IMO预选题（三）

几何部分 1．本届IMO第4题． 2．已知△ABC的外接圆Г,边AB、AC的中点分别为M、N,圆Г不含点A的弧BC的中点为T,△AMT、△ANT的外接圆与边AC、AB的中垂线分别交于点X、Y,且X、Y在△ABC的内部,若直线MN与XY交于点K,证明：KA=KT．     

第49届IMO预选题（三）

1．本届IMO第1题． 2．已知梯形ABCD满足AB∥CD,在CB的延长线上有一点E,在线段AD上有一点F,使得∠DAE=∠CBF．设直线CD、AB与朋分别交于点I,J,线段EF的中点为K,且K不在直线AB上,证明：点I在△ABK的外接圆上的充分必要条件是点K在△CDJ的外接圆上．     

浅析一道IMO预选题

这是第35届国际数学奥林匹克的一道预选题．     

一道IMO预选题的简证

题目设a、b、c〉0，且ab＋bc＋ca=1．证明：不等式^3√1/a＋6b＋^3√1/b＋6c＋^3√1/c＋6a≤1/abc.[第一段]     

一道IMO预选题的三种初等证法及推广

题目 设ｘ、ｙ、ｚ是正实数,且ｘｙｚ＝１, 求证 求证 文［１］给了两种妙证。事实上用中学课本中的均值不等式也能证明。 １ 利用不等式等号成立条件,构造不等式,用均值不等式证明 思路１ 由ｘ＝ｙ＝ｚ＝１, 证法一 同理得 由①＋②＋③得： 同理得 当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ＝     

一道IMO预选题的拓展与推广

笔者受文[1]启发写了文[2]．此后不久,重庆的沈毅老师给笔者来信指出,由文[2]的证明过程中可得到一个很有意义的等式,并在此基础上提出了空间推广（见本文式①、②）,笔者证明了沈老师的猜想．本文对这道IMO预选题作进一步拓展与推广．