基本不等式a2 b2≥2ab的一个变式及其应用

高中代数课本下册（必修）中,第１５页的第１１题：求证：（ａ＋ｂ２）２≤ａ２＋ｂ２２．这道习题的求解并不困难．事实上,由基本不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ,得２（ａ２＋ｂ２）≥ａ２＋２ａｂ＋ｂ２,∴ａ２＋ｂ２２≥ａ２＋２ａｂ＋ｂ２４,即得（ａ＋ｂ２）２≤ａ２...     

活用a^2＋b^2≥2ab的变式证明一类不等式

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ是我们最熟悉的基本不等式，它有许多变式：（１）ａ２＋ｂ２≥１２（ａ＋ｂ）２；（２）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ；（３）１ａ＋１ｂ≥４ａ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）；（４）ａｂ＋ｂａ≥２（ａｂ＞０）；（５）ａ２ｂ≥２ａ－ｂ（ａ≥０，ｂ＞０）；（６）ａ３ｂ≥２ａ２－ａｂ≥３２ａ２－１２ｂ２（ａ≥０，ｂ＞０）．以上６个不等式当且仅当ａ＝ｂ时取等号．这６个变式的证明都较简单，下面通过举例仅介绍变式（５）、（６）的应用．例１　已知ａ＞１，ｂ＞１，ｃ＞１，求证：ａ２ｂ－１＋ｂ２ｃ－１＋ｃ２ａ－１≥…     

不等式a~2 b~2≥2ab的一个推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ的一个推广及应用魏家忠（阜阳教育学院２３６０１６）若ａ，ｂ∈Ｒ，则ａ２＋ｂ２≥２ａｂ当且仅当ａ＝ｂ时等号成立．这是高中课本中一个最基本的不等式，它具有这样的特点：左边两项系数之和恰为各项的指数，又是右边项的系数，而右边每个字母...     

一道不等式题的多种证法

一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目：已知ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＋ｂ＋１＝０．求证（ａ－２）２＋（ｂ－３）２≥１８．证明一：综合法∵若ｘ,ｙ∈Ｒ,则有ｘ２＋ｙ２≥（ｘ＋ｙ）２２．当且仅当ｘ＝ｙ时取“＝”．又∵ａ＋ｂ＋１＝０,∴（ａ－２）２＋（ｂ－...     

不等式的PQR证法

定理　设ａ,ｂ,ｃ为非负实数,记Ｐ＝∑ａ３＝ａ３＋ｂ３＋ｃ３,Ｑ＝∏ａ＝ａｂｃ,Ｒ＝∑ｂｃ（ｂ＋ｃ）＝ａ２ｂ＋ａｂ２＋ｂ２ｃ＋ｂｃ２＋ｃ２ａ＋ｃａ２,则　２Ｐ≥Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ≥６Ｑ．①证明：第一个不等式显然;由ａｂｃ≥（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）,展开、整理,即得Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ;应用几何—算术均值不等式即得Ｒ≥６Ｑ．有大量不等式与①等价,如∑ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）≤３ａｂｃ,∑ａ（ａ－ｂ）（ａ－ｃ）≥０,∑ａ（ａ－ｂ－ｃ）２≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边）都等价于Ｐ＋３Ｑ≥Ｒ,通过变形…     

两道课本习题的推广和应用

高中《代数》（必修）下册１６页第１１题和１２题：求证：ａ＋ｂ２２≤ａ２＋ｂ２２．（１）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,且ａ≠ｂ,求证：２ａｂａ＋ｂ＜ａｂ．（２）若（２）式允许ａ＝ｂ,那么两式均为当且仅当ａ＝ｂ时取等号．两题的证明虽然简单,但却有着重要的潜在功能．我...     

一道代数习题的几种几何解法

一道代数习题的几种几何解法平凉师范宋灵宇中师《代数与初等函数》第一册２７１页第５题是：求函数ｙ＝ｘ－２＋１６－ｘ的最大值．有以下几种几何解法．解法１函数定义域是〔２，１６〕，利用不等式（ａ＋ｂ２）２≤ａ２＋ｂ２２（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号），有（ｘ...     

三元均值不等式的加强及其应用

高中《代数》下册给出的三元均值不等式是：如果ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,那么ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ,①当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时取“＝”号．此不等式可加强为：定理如果ａ,ｂ,ｃ≥０,那么ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ＋ａ（ｂ－ｃ）２＋ｂ（ｃ－ａ）２＋ｃ（ａ－ｂ）２．...     

一个分式和不等式的推广及应用

本刊文〔１〕关于分式和的不等式：若ａ１≥ａ２≥…≥ａｎ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ;或０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ,ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０,则ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ≥ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ．本文将其推广为：对于ｐ≥１...     

与最值相关问题的解法(下)

一、内容概述这是上期的继续,并给出解决此类问题的另外一些方法,如数形结合法、解析法、复数法、不等式法、待定系数法等．二、基础知识１．基本不等式：ａ２＋ｂ２≥２ａｂ,ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ．（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）２．三角形边长之关系：ａ＋ｂ＞ｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边之长）３．复数模的不等式：｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜≥｜ｚ１＋ｚ２＋ｚ３｜．等号成立的条件是ｚ１＝λ１ｚ２＝λ２ｚ３（λ１λ２＞０,λ１,λ２∈Ｒ）４．费尔马点的性质．（见例１０）三、综合应用（六）数形结合法关于数式问题,若能构造…     

一个分式不等式

命题设ａ１＞ａ２＞…＞ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则 （ｎ∈Ｎ）引理１设ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,则（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）ｍ（ａ１ｂ１＋ ａ２ｂ２＋…＋ａｍｂｍ）引理 ２设 ａ１, ａ２,…, ａｍ＞ ０,则ａｎ１＋ａｎ２＋…ａｎｍ≥ｍ１－ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｍ）ｎ,（ｎ∈Ｎ）引理１、２都易用数学归纳法证明,证略下面给出命题的证明．证明因为ａ１≥ａ２≥…≥ａｍ＞０,０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｍ,所以然 （ｎ∈Ｎ）因此下面举例说明该命题在证明不等式时的应用．…     

运用“a＋b≥2ab”求最值错解2例

运用“ａ＋ｂ≥２ａｂ”求最值错解２例兰州市十六中景曼桂在求解最值问题时，巧妙地运用重要不等式“ａ＋ｂ≥２ａｂ”（或ａ＋ｂ＋ｃ≥３３ａｂｃ）常常能使问题简化。但一些学生在运用中容易忽视公式成立的条件，以致造成错解。现举２例。例１．已知ｘ，ｙ＞０，ａ，ｂ...     

因式分解的应用

恒等变形在数学解题中几乎处处碰到．利用因式分解是进行恒等变形的一种很重要的数学方法。它的应用极为广泛，这里就同学们已学过的知识内容谈几点应用．一、数值计算例１若ａ＝－２，ｂ＝０．２，求代数式［（ａ２＋２ａｂ－８ｂ２）÷（ａ－２ｂ）－（６ａ２＋ａｂ－ｂ２）÷（２ａ＋ｂ）］÷　的值．解原式＝［（ａ＋４ｂ）（ａ－２ｂ）÷（ａ－２ｂ）－（３ａ－ｂ）（２ａ＋ｂ）÷（２ａ十ｂ）］·２ａ＝［（ａ＋４ｂ）－（３ａ－ｂ）］·２ａ－（－２ａ＋５ｂ）·２ａ∵ａ＝－２，ｂ＝０．２，∴原式＝［－２×（－２）＋５×０．２］…     

均值不等式的“浅入深出”

本文试图利用常用又简洁的算术平均值与几何平均值之间的不等式作为一个知识的“平白”,既为“浅入深出”练习提供了一个“窗口”,也为部分技校、职高毕业生的继续深造提供了有用的“工具栏”和知识“菜单”． 均值不等式：ａ＞０、ｂ＞０,总有（ａ＋ｂ）／２≥　　,当且仅当ａ＝ｂ时,等号成立． 其推广式：　ａｉ＞０（ｉ＝１,２,…ｎ）,总有 （ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）／ｎ≥　　　　当且仅当ａｉ相等时,等号成立． 不等式形式很简单,但应用广泛,内涵丰富,“浅入深出”是名符其实． 一、代数式的大小比较 此类问题在均值不等式…     

再谈一不等式的应用

再谈一不等式的应用颜天堡（福建省永春县一中３６２６００）孙建斌（福建省永春县科委３６２６００）周建国老师在文〔１〕中证明了不等式：若ａ１≥ａ２≥…≥ａｎ＞０，０＜ｂ１≤ｂ２≤…≤ｂｎ；或０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ，ｂ１≥ｂ２≥…≥ｂｎ＞０．则ａ１ｂ１＋...     

一道条件不等式的证法综述

引导学生开展“一题多解，一题多证”的训练和探究，必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，启迪他们的创新思维，培养数学综合能力，进而提高他们的数学素质． 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例，从九个方面研究其证明的策略和技巧． 题（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题）设 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证；ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１／３１ 代入法 证１ 注意恒等式 ３（ａ２十ｂ２十ｃ２）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋（ａ－ｂ）２十（ｂ ｃ）’＋（ｃ ａ）’将已知ａ＋ｂ＋ｃ二ｌ代人得 ３（ａ’＋ｂ‘＋ｃ’）二１：…     

用柯西不等式证明不等式

用柯西不等式证明不等式□天水二师刘仕关于不等式的证明,现行中学数学教材介绍了最基本的方法．本文介绍用柯西不等式来证明一些不等式的方法．定理：（柯西不等式）设ａ１,ａ２,ａ３,,…,ａｎ,ｂ１,ｂ２,ｂ３,…,ｂｎ是两组实数,则有不等式：（ａ１ｂ１＋ａ...     

关于三个几何不等式

关于三个几何不等式江西省永修县第一中学宋庆§１Ｇｕｂａ不等式的推广１９６９年，Ｓ．Ｇ．Ｇｕｂａ建立了如下不等式（［１］中述而未证）：若ａ、ｂ、ｃ、ｓ分别为三角形的三边长及半周长，则ａ－ｂｓ－ｂ＋ｂ－ｃｓ－ｃ＋ｃ－ａｓ－ａ≤０．①推广之，笔者得到定理１...     

由不等式证明不等式

由不等式证明不等式陕西省永寿县中学安振平常见的条件不等式证明问题,一般题设条件是等式,而条件是不等式的不等式证明问题,其题型较为少见,证明也较难入手,本文以证法归类略做探讨．一、放缩法例１若ａ２＋ｂ２＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＜０,则ａ２＋ｂ２＜ｃ２．（第２...     

一道ＩＭＯ赛题的九种证法

题目设ａ，ｂ，ｃ为正数且ａｂｋｃ＝ｌ，求证１／ａ＾３（ｂ＋ｃ）＋１／ｂ＾３（ｃ＋ａ）＋１／ｃ＾３（ａ＋ｂ）≥３／２．（第３６届ＩＭＯ试题）本题是一道非常难得的好题．它的九种证法，充分展现了对称不等式的内在魅力，值得探究．