发现了两个新的几何定理

新课程初中数学九年级人教版,北师大版、华师大版及苏科等版都介绍了如下一道习题“三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积”及其引伸“圆上任意一点到某切线的距离等于该点到某切线的距离与圆直径的比例中项”,应用上述习题及引伸,我发现了如下两个新的几何定理．     

射影定理的逆命题一定成立吗?

初中课本《几何》第二册第45页给出了一个重要的定理:直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。”即:如图1,若之∠BAC=90°,     

例谈构造法在数学解题中的应用

让我们看一个不等式：√ab≤2/a＋b（a，b均为正实数），当然它的证明方法很简单。我们仔细观察可以发现，√ab正好是a与b的比例中项。在初中几何的尺规作图中，我们是怎样作一条线段，使它是已知两线段的比例中项呢？我们用的是垂径定理的推论。     

关于比例中项的其它作法

《几何》教材中,有关比例中项的作法,教材中只讲了利用相交弦定理中的直径和弦垂直相交这一内容来作图并予以证明。这种单一的作法对于拓宽学生思路,启发学生思维是很不利的。基于此,我在教学中得出了以下几种新作法,仅供参考:     

等量代换在比例证明中的应用

有一类关于比例中项和四线段成比例的几何题,其结论中的四条（或三条）线段,有的都在一条直线上;有的虽不在一条直线上,但化成比例式后,找不到两个三角形;有的虽能构成两个三角形,但不相似．为此,在证明时,必须通过等量代换,重新寻找有关的相似三角形或应用射影定理、圆幂定理等来达到解题目的．     

射影定理的逆命题与逆定理

"直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项."这个定理就是大家所熟知的直角三角形的射影定理,在数学计算、论证和作图中都有广泛的应用.而对这个定理的逆定理却常为人们所疏忽.因为一个命题的逆命题可     

射影定理的四种证法

射影定理是平面几何中大家熟知的一个重要定理,它能够帮助我们解决很多有关直角三角形的问题.在初中平面几何课本上,射影定理是利用相似三角形的性质证明的.本文给出了射影定理的另外四种证法,供大家参考.射影定理:直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项,每条直角边是这边在斜边上的射影及斜边的比例中项.如图1,即CD~2=AD·BD     

巧用射影定理

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这个定理反映的是直角三角形中成比例的线段关系．定理在有关计算和线段的积、商的证明中有着广泛的应用，也是各级、各类学校升学考试及国内外数学竞赛的考查热点内容之一、     

从蝴蝶定理的证明看高等几何对初等几何的作用

用高等几何方法证明了用初等几何方法较难证明的“蝴蝶定理” ,并给出定理的推广命题 ,从中显示出高等几何在初等几何中的作用     

相似形·解直角三角形——（25）比例线段

平行线分线段成比例定理及其推论，既是相似三角形的判定与性质的基础，又可以独正应用它解决一些问题．在中考中，一般以填空题或选择题的形式考查该知识点，其中比例的基本性质、平行线分线段成比例定理等有关内容也结合到几何解答题中进行考查．考查重点为平行线分线段成比例定理及其推论；热点是：比例中项、合比性质、比例的基本性质．约占2～6分。     

从蝴蝶定理的证明看高等几何对初等几何的作用

用高等几何方法证明了用初等几何方法较难证明的“蝴蝶定理”，并给出定理的推广命题，从中显示出高等几何在初等几何中的作用。     

相似形·解直角三角形

考点透视 平行线分线段成比例定理，既是相似三角形的判定与性质的基础，又可以独立应用它解决一些问题．在中考中．一般以填空题、选择题的形式考查等比性质、合比性质以及平行线分线段成比例定理的应用；而比例的基本性质、平行线分线段成比例定理等有关内容则结合到几何解答题中．考查的重点为平行线分线段成比例定理及其推论；热点是：比例中项、比例的基本性质原理、合比性质、等比性质，约占2～6分．     

关于圆幂定理的教学设想

圆幂定理,通常包括相交弦定理和切割线定理。在现行初中几何教材中,它分布在“直线和圆的位置关系”这节教材的末尾。它的推证可能涉及到直线和圆的位置关系、切线的性质,圆周角度数定理的推论,相似三角形的判定及基本性质等已有知识,还要建立“内分”、“外分”等新概念,而且它是几何论证、计算,作图中的一条常用定理,应用时往往带有明显的综合性,所以圆幂定理是圆这一章的教学重点之一。本文想就圆幂定理的教学讲一点设想。复习准备。在圆幂定理学习前,可让学生思考下列问题:     

比例中项的基本图形及其应用

若将此题题设中的∠1=∠B与结论中的AC~2=AP·AB交换位置,命题同样正确. 我们把上面的图形权且称为比例中项的基本图形.利用这一图形,我们可以证出许多形如a~2=bc型结论的几何题.关键是推出角相等,找出比例中项的基本图形.下面试以近两年我省部分中     

不可忽视的“第三比”

切割线定理是初中几何的一个重要定理,在证明中有着广泛的应用,也是各地中考命题的热点.但在实际应用过程中,同学们往往因为只关注定理本身所列等积式的运用,而忽视定理证明过程中的“第三比”的作用,导致思路受阻.本文略举几例说明“第三比”在证题中的作用.     

怎样学习几何定理

几何定理是几何知识的核心内容，它是几何中推理、论证、计算和作图的理论根据．因此，在几何学习中，学好几何定理具有十分重要的意义，我们必须下苦功学好．那么，怎样学习几何定理呢？一、学会分清定理的条件和结论任何几何命题都由两部分组成：一是条件，二是结论．若几何命题是以“如果……；那么……”的形式表述的，则以“如果”开头的部分是条件，以“那么”开头的部分是结论．如等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．它的条件是：一个三角形有两个角相等；它的结论是：这两个角所对的边…     

黄金数种种

全国通用教材初中《几何》第二册中曾提到“黄金分割”的概念,书中指出:把一条线段(如图一中的OA)分成两条线段,使其中较大的线段(如OM)是全线段和较小的线段(如MA)的比例中项,叫做把这条线段分成“黄金分割”。     

欣赏《几何不仅仅是证明》一文随感

翻翻我们的几何课本，印入眼帘的是一页页的定义、公理和定理的罗列；听听我们的几何课，基本上全是基本概念和基本定理的记忆及证明的学习；再问问学完的学生特别是高中生“什么是几何”时，他们的回答是“就是证明吧”，原因是他们一贯都是在学习证明一证明定理、证明命题．但问及“什么是证明”时，他们却说“其实我们也没有理解证明是什么”．     

“相似图形”易错题选析

[例1]已知两数3a和27a,那么这两数的比例中项是.[错解]9a.[剖析]此题错解的原因是把“求两个数的比例中项”与“求两条线段的比例中项”相混淆.两个数的比例中项应有正、负之分,而线段的比例中项只能为正.[正解]设这两个数的比例中项为x,则x2=3a·27a=81a2得x=±8a正解:±8a.[例2]如图,梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC、BD相交于O,试问△AOB和△DOC是否相似?[错解]相似,理由如下:∵AD//BC∴AOOC=DBOO又∵∠AOB=∠COD∴△AOB△DOC[剖析]在比例线段AOOC=DBOO中,AO与DO夹的是∠AOD,BO与CO夹的是∠BOC,再由∠AOB=∠COD…     

漫谈几何定理的学习

几何定理是几何知识的核心内容，它是几何中推理、论证、计算和作图的理论根据．因此，在几何学习中，学好几何定理具有十分重要的意义，我们必须下苦功学好．那么，怎样学习几何定理呢？一、学会分清定理的条件和结论任何几间命题都由两部分组成：一是条件．二是结论．若几何命题是以“血J果……．那么……．”的形式表述的．则以‘勺D果”开头的部分是条件，以“那么”开头的部分是结论．如等腰三角形的判定定理：如果一个二角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．它的条件是：一个三角形有两个角相等；它的结论是：这两个角所…