比例因子在解题中应用

在初中数学第四册§7.3里,证明等比定理: a/b=c/d=…=m/n→(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b时,应用了比例因子的技巧。具体步骤是: (1)令a/b=c/d=…=m/n=k,因而得:a=bk,c=dk,…m=nk (2) 利用上述结果引出求证的式子左边的分子的下述变形 a+c+…+m=k(b+d+…+n) (3) 利用上项结果作出求证的结论这种证题方法,有着广泛的应用范围。分述如下。     

“分类讨论思想”的应用例析

当我们研究的问题包含有多种可能并难以同时处理时,往往需要按所有可能出现的情况分类讨论,得到各种情况的相应结论,这就是分类讨论.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.解题时,正确地分类可使我们抓住问题的本质,有助于我们将复杂问题化为几个较为简单的问题,还有助于培养全面周密的良好思考习惯.下列举例说明.例1已知b+ac=c+ba=ac+b=k,求一次函数y=kx+k一定经过的象限.分析一次函数y=kx+k所经过的象限与k的值密切相关,因此本题的关键是利用条件来确定k的值.由已知,得b+c=ak,c+a=bk,a+b=ck,三式相加,得2(a+b+c)=(a+b+c).k.在解这个关于k…     

一道陈省身杯竞赛题的推广解答

第三届陈省身杯数学奥林匹克第6题: 已知实数a,b,c＞1,且a+b+c =9,试证明:√ab+bc+ca≤√a+√b+√c. 贵刊2014年第12期文“对一道奥林匹克数学竞赛试题的证明及思考”中,把这个不等式加强为:正实数a,b,c≥k,且a+b+c=9,试证明:√ab+bc+ca≤√a+√b+√c该文验证了k=1/2的正确性,但是文末指出最小的k值如何求解呢?笔者试图找出最小的k值.     

妙用设K法—OK!

在证明等比性质时 ,巧妙地运用了设 k方法 ,收到了出奇制胜的效果 .设 k法的实质是借用 k为参数 ,建立已知与未知之间的联系 ,达到解题目的 .现列举实例 ,介绍 .一、用设 k法求值例 1　 ( 1999年天津市初二数学竞赛试题 )已知a + b - cc =a - b + cb =- a + b + ca ,求( a + b) ( b + c) ( c + a)abc 的值 .解 :设 a + b - cc =a - b + cb =- a + b + ca =k,则 a + b =( k + 1) c, 1a + c=( k + 1) b, 2b + c =( k + 1) a, 3由 1+ 2 + 3,得 ( k - 1) ( a + b + c) =1,∴ k =1或 a + b + c =0 .当 k =1时 ,a + b =2 c,b + c =2 a,c+ a =2 b,…     

2014年日本数学奥林匹克不等式试题的推广

已知a/1+9bc+k(b-c)2+b/1+9ca+k(c-a)2+c/1+9ab+k(a-b)2 ≥1/2①,对满足a+b+c=1的所有非负实数a,b,c都成立,求实数k的最大值. 这是2014年日本数学奥林匹克高中决赛第5题,在式①中,令a=b=1/2,c=0,可得k≤4.关于该题的解答,可参考文[1],此处笔者拟给出式①的一个推广.     

“二次函数解析式”求法浅谈

二次函数的一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式:.y=a(x+b/2a)2+4ac-b2/4a=a(x+m)2+k(m=b/2a,k=4ac-b2/4a). 因式分解式:y=ax2+bx+c(x-a)(x     

恰当联想 巧解方程

<正>在学习数学知识的过程中,同学们常常会遇到一些看上去很难求解的问题,此时如果能够恰当地联想,到某个典型问题的解法,常常可以寻觅到解题的佳径.例1若a、b、c、a+b+c均不为零,且1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c),则a+b=0,或b+c=0,或c+a=0.     

密度三趣(初二)

1.趣用分比定理若b≠d,则a/b=c/d=(a+c)/(b+d)=(a-c)/(b-d)=k其中a/b=c/d=(a+c)/(b+d)称为合比定理,a/b+c/d=(a-c)/(b-d)称为分比定理. 例1 在测定液体密度时,有一位同学测出了液体的体积,容器和液体的总质量,实验做了两次。记录如下:     

丢番图方程|(E~n-E~n)/(E-E)|=1的解数

设 a,b,c,k是适合 a +b =ck,gcd(a,b) =1 ,c∈ { 1 ,2 ,4} ,k >1 ,而且 k在 c =1或 2时为奇数的正整数 ;又设ε=(a + - b) /c ,ε=(a - - b) /c .证明了 :当(a,b,c,k)≠ (1 ,7,4,2 )或 (3 ,5 ,4,2 )时 ,至多有 1个大于 1的正奇数 n适合 |(εn -εn) /(ε-ε) |=1 ,而且如此的 n必为满足 n <1 +(2 logπ) /logk +2 5 6 3 .43 (1 +2 1 .96π/logk)的奇素数     

常见遗解错误例析

遗解是解题中常见错误之一,现举几例加以剖析. 一、忽视公式、性质成立的条件导致遗解例l 已知(b+c)/a=(a+c)/b=(a+b)/c=k,求k的值. 错解:由等比性质得: k=((b+c)+(a+c)+(a+b))/(a+b+c)=2     

相似型考点解析

考点1 比例线段例1 已知a+2b/2a-b=9/5,则a:b=_____.(答案:19:13.提示:①设a=kb,代入已知式子,求解k;②将已知等式左边的分子分母同除以6,视a/b为未知数,解方程即可)     

巧设比值解题

在等比性质的证明中,常常先根据题设中一连串相等的比设立比值k,通过k建立分子和分母的关系式,然后适当变形而完成证明.这种巧设比值的方法在解题中十分有用.现举几例说明.一、求代数式的值例1若x3=y4=z5,则2x+y-zx=.解:设x3=y4=z5=k,则x=3k,y=4k,z=5k,∴原式=6k+4k-5k3k=53.二、比较大小例2已知a、b、c、d是四个不相等的正数,其中a最小,d最大,且满足ab=cd,则a+d与b+c的大小关系是.解:设ab=cd=k,则a=bk,c=dk,而(a+d)-(b+c)=(kb+d)-(b+dk)=(k-1)(b-d).因为a最小,d最大,则k<1,b-d<0,故(k-1)·(b-d)>0,即a+d>b+c.三、证明条件等式例3如果a1b1=a…     

(a~2 +b~2 +k_1ab)~(1/2)+(b~2 +c~2 +k_2bc)~(1/2)>(a~2 +c~2 +k_3ac)~(1/2)的探究——反思、与读者也与自己对话

我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1　已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远…     

一个数学竞赛题的推广和背景剖析

近期,有学生向笔者请教两道老题：（1）已知实数a、b、c互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/a=k,试求k的值.（2）（2003年全国初中数学联合竞赛试题）已知实数a、b、c、d互不相同,满足a＋1/b=b＋1/c=c＋1/d=d＋1/a=k,试求k的值[1].很显然,题（1）和题（2）是同一类型的两个问题,两题的做法也极为相似.笔者用如下方法给学生做了解答.     

a~l=b~l+c~l(a、b、c∈R~+,t∈R且t≠0)型问题的一种解法

借助下面的数学模型,可方便地解决一些有关问题. 定理若a~1=b~1+c~1(a、b、c∈R~+,t∈R且t≠0),则对任意的k∈R,有 a~kb~k+c~k(k/t>1),(3) 证明:由条件可得 (a1/2)~2=(b1/2)~2+(c1/2)~2令 b 1/2=a 1/2sinθ, (0<θ<π). c 1/2=a 1/2cosθ,     

归类分析初中数学中的易错点

<正>一、关于0和负数1.规定次数的整式中,最高次项系数不能为0;方程中的非常数项系数不能同时为0.如:一次函数y=kx+b,k≠0;函数y=kx+b,k可以为0.一元二次方程ax²+bx+c=0,a≠0;方程ax2+bx+c=0,a≠0;方程ax²+bx+c=0,a可以为0,但a、b不能同时为0.2.一元二次方程与二次函数中,Δ的取值范围根据具体情况确定.     

构造法解竞赛题初探

大多数竞赛试题设计新颖 ,构思巧妙 ,综合性强 ,注重对学生的思维能力的考查 ,因此难度较大 ,不少学生无从下手 .本文在用构造法解竞赛题方面做一些粗浅探讨 ,希望对数学爱好者有所启迪 .1　构造特殊图形例 1　正数 a,b,c,A,B,C满足 a+A=b+B=c+C=k,求证 :a B+b C+c A相似文献   

一类分式方程的简捷解法

去分母法和换元法是解分式方程的基本方法,但对于形如1/a+1/b+1/c=1/a+b+c的方程,在通常情况下,去分母会产生高次项,又找不到恰当的换元途径,从而给求解带来困难.     

《小辞海》

【比】比较两个同类量 a 和 b 间的关系时,如果以 b 为单位来度量 a,称为 a 比 b,所得的数 k 称为“比值”,记为 a:b=k 或 a/b=k.“:”是比号,比号前的量称为“比的前项”,比号后的量称为“比的后项”.【比例】当两个比 a:b 和 c:d 的比值相等时,称这四个量 a,b 和 c,d 成比例,记作 a:b=c:d.     

例说等比性质的应用

等比性质:a/b=c/d=…m/n(b+d+…+n≠0), 则a+c+…+m/b+d+…+n=a/b。在解关于比例一类的问题中,若能灵活运用这个性质,那么就能收到化繁为简、化难为易的效果,现举例如下。