圆的切线方程求法比较

人教版全日制普高教材《数学》第二册(上),求圆的切线方程,就出现一道例题,一道练习题,一道复习参考题.下面笔者就经过点(x,y),求圆的切线方程给出几种解法,并比较最佳求法.已知圆的方程(x?a)2+(y?b)2=r2,求经过点M(x0,y0)的切线方程.分析根据圆的切线性质,过圆上一点有且只有一条直线和圆相切,过圆外一点有且只有两条直线和圆相切.解法一不妨设切线的斜率为k(若k无解,则表示相应切线斜率不存在,以下同),则切线方程为y?y0=k(x?x0),把y=kx?(kx0?y0)代入(x?a)2+(y?b)2=r2,得222(x?a)+[kx?(kx0?y0+b)]=r,整理得22(1+k)x?2[k(kx0?y0+b)+a]x+222…     

1991年四川省初中数学联赛决赛

一、已知a为实数,且关于、的方程x“一ax十a二O有二实根a,民试证:a“+口艺)2(a+夕). 二、解关于实数x,夕,‘的方程(8‘xz一27万2+9梦z)2+(3yz一y之+2之2一8劣)2+9“6x一x 2. 三、如图,在△ABC外作△BPC,△CQA,△ARB,使匕PBC=匕CAQ=45。,匕BCpe二艺QCA=30“,乙ABR二匕BAR=15“.求证:△PQR是等腰直角三角形.即aZ+刀2+Za夕一4a)0今aZ+刀“一Za)0. 所以,a“+口2)Za=2(a+厅). 二、解原方程化为 (szx么一27封2+99之)2+(3夕乞一夕z+222一sx)“十(x一3)2=0.由非负数的性质,有{于一{“2么{“2歹‘一27犷龙”吧二U二\3互‘一夕之十22…     

求圆的切线方程的几种方法的比较

基本问题 :已知圆的方程为 x2 + y2 =r2 ,求过圆上一点 P0 (x0 ,y0 )的圆的切线方程。解法 1:若 y0 ≠ 0 ,则所求切线斜率存在 ,设所求方程为 y- y0 =k(x- x0 ) ,代入 x2 + y2 =r2 得 :(1+ k2 ) x2 + (2 ky0 - 2 k2 x0 ) x+ y0 2 + k2 x0 2 -2 kx0 y0 - r2 =0 ,由判别式△ =0得 :(r2 - x0 2 ) k2 + 2 x0 y0 k+ r2 -y0 2 =0。又 x0 2 + y0 2 =r2 ,∴ y0 2 k0 2 + 2 x0 y0 k+ x0 2 =0。即 (y0 k+ x0 ) 2 =0 ,解得 k=- x0 / y0 。故所求切线方程为 y- y0 =- x0 / y0 (x- x0 ) ,即 x0 x+ y0 y=x0 2 + y0 2 亦即 x0 x+ y0 y=r2 。 1当 y0 =0时 ,…     

每期一题

题:若户+夕3一3xg=O,则一10.丫夕2从而得》0。.,. uZ一2:‘一3《0.一l《u《3.因为当u二一1时,即x+万二一1。代入上(.)式。得一xZ一(一1+3)x夕一…     

圆的切点弦问题

<正>过圆x2+y2=r2上一点P0(x0,y0)作该圆的切线,只有一条,易知其方程为x0x+y0y=r2.当点P0(x0,y0)在圆x2+y2=r2外时,切线有两条,设切点分别为A、B,那么如何求直线AB的方程呢?本文借助一道高考题展开.例1(2013年山东高考题)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程为().(A)2x+y-3=0(B)2x-y-3=0(C)4x-y-3=0(D)4x+y-3=0     

配分母的应用

对于分式,我们把分子拼凑出分母,再用分母去除,可使问题获解,并使过程简捷。 】al+}引__}al1+}al+lb}一1+la}+}bl十 例Zx+7x+3 解:1画函数y-的图象。 {b}1+}川一卜}引镇 {a}.}bI二二一十;一:一命石1十}a 11十l亡71例5数列{x”}:x,若x,>2(x+3)+1x+32+1┌─────┐│口(一3,2 │├─────┤│ │└─────┘2,求证对一切n〔N都有2臼,。一1)刃,,>2.x+3证明:(飞、众一归纳法.·1时,x:>2成立;y一2一汉设当n一k时不等式成立,即x*>2 一弓j目.土一土l 一刃x十3一了,y一2一夕或、二*一1>1,那么当n一k+1时即令得夕一少这是中心在O’(一3,2)…     

几何自测试题(二)参考答案

曲线和方程(一)l。一4,4。2。(1,0),(一5,.3了2。6。了65,‘·‘一‘,“,。5·晋,一异与2 户O0)。3 10 7“7一生 2(二)(三)直线(一)1。C。2。B。3。D。夕2+6x+9“0。1。135”,一5。2。y一(二+5),了了二一y+(6十5犷百)=。。3.=护3三+ 6 y一2 1=1,—o 34.二=一丝 45。30“。6。劣+3y一6==0。7。3劣一sy+7=0。8。m ,~.,33_、‘。护0且从护二,兰,0。9。一19。 22 (二)1。D。2。C。3.A。4。刀。5。B。 (三)1.大2.叼3.厂4。厂5.厂6。Xo (四)y=o与y=5或sx一12y一5=o与5二一12夕+60=0。(五)3x一y十10=0或,一卜3夕二O。 (七)AB:sx一2夕十n=0;B…     

高二数学第一学期期末测试

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的) (e)(0,2)(D)(0,涯)4.圆zxZ+2y2=1与直线xsino+y一1=十k7r,k〔Z)的位置关系1.不等式组尸一1相似文献   

错在哪里

一、湖南省式冈二中钟介澎来稿 题已知:x、y〔R,且尸十犷蕊1,求之=!x+,}+}y+1}一卜12y一x一4}的最值。 解:由已知可得,一1‘x成1,一1(夕(1,所以万十1)O,2万一x一4<0,并且一2成x十y镇2。 :=l、+万!+万+1一(2夕一二一4) =lx+万卜x一y+弓当x十,)0时, 之二x十夕十x一y+弓二Zx十5镇7当x十对簇O时, 之二一(x+互)+x一y+5 =5一翔)3故z的最大值是7,最小值是3。 解答错了!错在哪里? 错误的原因是把正方形区城A二{(芜,,)l一l‘工毛1,且一1镇;簇1}看作与圆面区城‘B={(x,夕)1扩+犷(1,二、万〔R}是等价的,而实际上是姓。B。 正确的解法是:%+对)O尸+对…     

巧用方差性质解题

设夕为一组数二,,x:,…牙一工(xl+x:+…十x,),,x二的方差,则。。1二,。“一万L又工, +(x。一牙)2+(x,一牙),+…一王)’〕工〔(x,青〔(x工+x:十x:十…十x尸)一,尹] 1工十’“十毛一夕一万气xl+xZ十…+x”)“」.n 11易知夕一0<二争x,一x:~···一‘一x.巧用这一性质,可以简解一些非方差问题.(关)例1已知:a十b十c+d~8,矿+夕十产+毋一16,求abc+。‘d十bcd+abd的值.解52=设夕为数组a、b、‘、d的方差,则粤仁(aZ+,,+。,+、2)一李(‘+,+‘+J):」任一任1416一粤x 52 4 一0. 由(,)式知。一b一c一d一2,故ab‘+。‘d+bcd+二bd一2 X 2 X 2 X4一32. …     

过三次函数图像上一点能作几条切线

例1过原点作三次函数y=x3的图像的切线,能作几条?写出其方程.解设切点为P(x0,y0),∵y’=3x2,∴以P为切点的切线的斜率k=3x20,切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=3x20x-3x30+y0=3x20x-2x30.由于切线过原点,∴0=3x20·0-2x30,∴x0=0,从而y0=0,k=0.     

例题的推广

全日制普通高级中学教科书数学(试验修订本)第二册(上)中有这样一道例题(§7.7例2). 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程. 解(略)所求切线方程为xx0+yy0=r2. 此切线方程简捷明了,体现了数学美,这里我们也许会想到当M(x0,y0)在圆x2+y2=r2的内部、外部时方程xx0+yy0=r2有何几何意义呢? 定理1 已知圆的方程是x2+y2=r2,点     

错在哪里

1.南京师大附中袁文形来稿题:Ax“+Bxg+C刀“+D二+E夕+F=0表示圆的充要条件是 (A)A=C,B=O, D’+EZ一4F>0; (B)A=C斗0,B=0, (C)A=C今0,B=0, D’+EZ一4F>0, (D)A二C.寺0,B=0,F=0。 答案是选C。 答案错了I错在哪里? 举一反例: 方程lo0x2+100夕2+6x+6夕+5=0,显粉符合(C),但它不表示圆。这个方程经配方变形后为(x。-1;。,‘+(,+,;。,2+2丝 5000二0,无轨迹。 《平面解析儿何》(甲种木)第77页指出:方程解+犷十Dx+百y+F=0,当刀“+E“一4F>0时,表示一个圆;方程Ax“+Bx万+C刀2+Dx十E分十F二O①表示圆的必要条件是A二C今0且刀=O。…     

略谈解析几何中退化曲线的应用

解析几何中求解二次曲线问题时 ,有时借助退化的二次曲线 ,可以优化解题过程 ,简化运算 ,使一些曲线方程的求解问题巧妙解决 .1　退化曲线的类型1 方程 (x -D2 ) 2 +(y -E2 ) 2 =D2 +E2 -4F4,当D2 +E2 -4F =0时 ,表示圆的极限情形 :“点圆” .2 方程(x -m) 2a2 +(y -n) 2b2 =k ,(k≥0 ) ,当k=0时 ,表示椭圆的极限情形 :“点椭圆” .3 方程(x-m) 2a2 -(y-n) 2b2 =k ,当k= 0时 ,表示双曲线的极限情形 :渐近线 .4 方程Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx +Ey+F= 0 (A ,B ,C不同时为 0 )若能表示为 (ax +by+m) (ax +by+n) =0 (a ,b不同时为 0且m ≠n) ,…     

关于二次方程的一个定理及其应用

应用关于一元二次方程“‘’十b‘+c=o(a戈0)的根与系数关系的定理可以证明: 定理方程ax“十bx十c二o(a、0)的一根比另一根的k倍大m的充要条件是 kbZ一(k+1)“ae=仍a〔仍a一(沦一1)b〕。 例1.a为何值时,方程 (a+l):艺+(a一3)x+(a一5)=o的一根比另一根大3? 解:定理中取无=l,m二于则 (a一3)2一4(a十l)(a一5)=9(a+1)2, 5a=l或一马. J 例2.方程a:’十bl+。二2:3,求证6b2=25a。. 解:设两根为::,::.有0两根之比一为则21二2:,/3艺a、.了扣一(;·即6b2=25ae. 例3.求证:无论。戈1为任何数,方程 4(明一1)2x2+4(阴一1)(切+3)才 +(仍+1)(”弓+5)=0恒有…     

用物理知识解数学题(高二、高三)

1.光的反射例 1 自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在的直线方程. (89高考) 解圆方程的标准形式是(x-2)2+(y-2)2=1. 设光线l所在的直线方程是 y-3=k(x+3) (斜率k待定)由题意知k≠0,于是l的反射点的坐标是(-3/k-3,0).     

一道圆的例题的引申与探究

人教版试验教材数学第二册(上)§7.7,例2:已知圆的方程是x~2+y~2=r~2,求经过圆上一点M(x_0,y_0)的圆的切线方程。本例题求解方法很多(结果为x_0x+y_0y=r~2),在此不再赘述,下面从三个方面进行引申和探究,供赏析。引申一:若圆的方程是(x-a)~2+(y-b)~2=r~2,那么经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线方程还是x_0x+y_0y=r~2吗?下面我们来探求过点M(x_0,y_0)的圆的切线方程。方法一:用例2的方法(利用点斜式方程求解),可求得过点M(x_0,y_0)的圆的切线方程为     

做数学题要注意“咬文嚼字”

数学问题考查的不仅仅是同学们的数学思维能力,同时也考查同学们对数学语言的理解能力,即对题目给出的数学语言怎样理解,理解后怎样转化为熟悉的数学问题并进行解决的能力.所以做数学题目时,在理解数学语言上要“咬文嚼字”.下面举几个例子说明.“咬文嚼字”一“过”和“在”不同【例1】曲线y=x3+x+1过点(1,3)处的切线方程是.错解切线的斜率为y′|x=1=(3x2+1)|x=1=4,故所求的切线方程是y=4(x-1)+3,即4x-y-1=0.剖析“过”点(1,3)的切线方程,说明(1,3)不一定是切点,这时切线可能不只一条.就必须通过设切点来求.设切点坐标为(x0,y0),对y=x3+x+1求导得y′=3x2+1,故切线的斜率为3x02+1,于是切线方程为y=(3x02+1)(x-x0)+y0,由于点(1,3)在切线上,故有3=(3x02+1)(1-x0)+y0①又切点在曲线上,即y0=x03+x0+1②解①②得x0=1y0=3或x0=-21.y0=83当x0=1y0=3时,切线斜率为4,方程为4x-y-1=0;当x0=-21y0=83时,切线斜率为47,方程为7x-4y+5=0.错解是求曲线y=x3+x+1在点(...     

“病题”与“病解”

前几年一份杂志载有如下数学题及解答:题若x十y十:一工,34 试证:x’一卜yZ十z’夕去 原证:令二“一秀一t,y=,五一2t,二告一十3t(t是实数)护+y之+户 =(通一t)’+(感,一Zr)’+(告一+3t)’ =告+14t’)去(丫t是实数) 当t二O时,即劣=g=二二含时,上式取等号。 此题的几何意义:二+互+:=1在空间解析几何中表示如下平面:经过三条坐标轴上的单位点(i,o,o)、(0,1。0)、(0,o,1)所决定的平面,原点到这个平面的距离是告,即原点到这个平面上各点距离中最短者为去。 .’. xZ十夕2+2事)告。 事实上,由题目的已知条件不一定能推导出结论:取x=i,万=一i,“=1, …     

构造直线和圆有交点解题

构造直线和圆有交点,利用点线距离公式可以简洁地解答不少问题. 例1若实数x,y适合方程x2+y2-2x-4y +1=0.那么代数式y/x+2的取值范围是____. 解:令y/x+2=k,则直线kx-y+2k=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4有交点,所以|k-2+2k|/(k~2+1)~(1/2)≤2 解得0≤k≤12/5,故y/x+2∈[0,12/5]. 例2求函数y=sinx/2-cosx的值域. 解:由原函数式得ycosx+sinx-2y=0. 令u=cosx,v=sinx,则直线yu+v-2y= 0与圆u2+v2=1有交点,所以+-2y|/(y~2+1/~(1/2))≤1.