圆锥曲线中参数的取值范围的多种求法

题目:已知椭圆x92 y42=1上总有关于直线l:y=x m对称的两点,试求m的取值范围.一、运用二次方程的判别式求参数的取值范围解法1:设A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆上关于直线l对称的两点,线段AB的中点为C(x0,y0).因为AB⊥l,所以直线AB的斜率为-1,于是再设直线AB的方程:y=-x b.由于A、B点既在椭圆上,又在垂直于l的直线AB上,点C既在直线AB:y0=-x0 b上,又在直线l:y0=x0 m上,从而联立:x29 y42=1y=-x b,消去y得:13x2-18bx 9b2-36=0,依韦达定理和中点坐标公式得:2x0=x1 x2=1183b,∴x0=193b.从而y0=-x0 b=143b.于是有413b=193b m,得m=-153b,而由于A…     

通法特法妙法——解决抛物线的有力武器

1 解析法 解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等). 例1(2007年四川文科卷.10题)已知抛物线y=-x2 +3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则｜AB｜等于(). A.3 B.4 C.3√2 D.4√2 分析:直线AB必与直线x+y=0垂直,且线段AB的中点必在直线x+y=0上,因得解法如下. 解析:∵点A,B关于直线x+y=0对称,∴设直线AB的方程为y=x+m.     

利用曲线系思想解一类轨迹问题

1命题命题1若A B是椭圆22C1:ax2+by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则椭圆22222C:(2x M x)(2y My)a b?+?=1经过A、B两点.证明设点A(x A,y A)、B(x B,y B),则由M是弦AB的中点,可知,x B=2x M?xA,y B=2y M?yA,由点B在椭圆C1上,知(2x M?x A)2/a2+(2y M?y A)2/b2=1,所以点A在椭圆C2上.同理可知点B也在椭圆C2上,故椭圆C2经过A,B两点.类似地有:命题2若AB是双曲线22C1:ax2?by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则双曲线22222C:(2x M x)(2y My)1a b???=经过A,B两点.命题3若AB是抛物线y2=2px的一条弦,且弦AB的中点为…     

抛物线上存在轴对称点的充要条件

经过对抛物线上存在轴对称点的条件的探究,获得了下面的结果.定理1:设抛物线E:x2=2py(p>0)和直线l:y=kx b,当且仅当2k22 1相似文献   

一个命题 两个应用

命题:若直线y=kx+m与双曲线x2/a2-y2/b2=1相交于A,B两点,M(x0,y0)为AB的中点,则b2x0-ka2y0=0. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y2-y1/x2-x1=k 由于A、B两点在双曲线上得: x12/a2-y12/b2=1 ①,x22/a2-y22/b2=1②     

"设而不求"法在解析几何中的应用

熟练地运用设而不求法求解析几何问题,能避免繁杂运算、简化解题过程,使解题收到事半功倍的效果.现归纳解析几何中运用设而不求法解题的几种方法如下:1利用元素的整体结构解题过程中,不直接求出所设元素,而抓住元素的整体结构,能有效地减少运算量,使解题化繁为简.1.1利用点的坐标的整体结构例1已知抛物线y2=4x,过点P(1,3)作直线l交物线于A,B两点,使P恰为弦AB的中点,求直线l的方程.解设A(x1,y1),B(x2,y2).因为点A,B在抛物线y2=4x上,所以y12=4x1,y22=4x2.两式相减可得yx22--xy11=y24 y1.又P是弦AB的中点,y1 y2=6,所以kAB=y2-y1x2-x1=32,…     

2006年高考理科数学(全国卷)21题别解与探讨

(2006年全国卷Ⅱ,理21)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两点,且AF=λFB.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:FM·AB为定值;(Ⅱ)设△ABC的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.解(Ⅰ)由题意知直线AB的斜率一定存在,设AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),又F(0,1),则直线AB方程为y=kx 1,代入x2=4y,得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系,得x1 x2=4k,x1x2=-4.对y=41x2求导,得y=21x.所以过抛物线上两点A、B的切线方程分别是y=21x1(x-x1) y1,y=21x2(x-x2) y2,即y=21x1x-41x12,y=12x2x-14x22,解出两条切线交…     

关于抛物线弦长的两个简单性质及其妙用

抛物线y=ax2 bx c(a≠0),当Δ=b2-4ac>0时,它与x轴必有不同的两个交点,此两点间的距离叫做抛物线截x轴所得弦长.关于抛物线截x轴所得弦长与判别式的关系,我们给出如下性质:定理1　当Δ=b2-4ac>0时,抛物线y=ax2 bx c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,记d=AB=|x1-x2|,则:Δ=b2-4ac=(ad)2.证明　显然x1、x2是一元二次方程ax2 bx c=0的两根,所以x1 x2=-ba,x1x2=ca.Δ=b2-4ac=a2[(-ba)2-4.ca]=a2[(x1 x2)2-4x1x2]=a2(x1-x2)2=a2(|x1-x2|)2=(ad)2.定理2　当Δ=-4ak>0时,抛物线y=a(x-h)2 k与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,记d=AB=|x1-x2|,则:Δ=-4…     

盘点抛物线的焦点弦问题

设直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A、B两点(直线AB的倾斜角为α),设A (x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,准线方程为:x=-p/2,则关于抛物线C的焦点弦有以下九条常用的性质:(1)2x1x2=p/4;(2)y1y2=-p2.     

重视平几知识在解几题中的简化作用

用代数方法研究几何问题是解析几何的本质特征,很多解几题中的一些图形性质和“平几”知识相联系,因此,重视“平几”知识的应用,将使问题更迅速地迎刃而解.1充分发挥三角形,特别是直角三角形的解题功能例1过点P(a,b)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一设点M(x,y),则点A(2x,0),点B(0,2y),∵l1⊥l2,∴2PM=AB,又∵PM=(x?a)2 (y?b)2,AB=(2x)2 (2y)2,∴2(x?a)2 (y?b)2=(2x)2 (2y)2,化简得:所求点M的轨迹方程为:2ax 2by?a2?b2=0.解法二设点M(x,y),则点A(2x,0),点B(0,2y).∵l1⊥l2,…     

抛物线切线与焦点弦的若干关系

抛物线的焦点弦是抛物线定义与性质的交汇点.本文就与其相关的切线探索出若干性质.题目抛物线y2=2px(p>0)上不同两点A、B处的切线交于点Q.求证:若AB过抛物线的焦点F,则(1)AQ⊥BQ;(2)点Q在抛物线的准线上;(3)QF⊥AB.证明设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).对于y2=2px求导,有2yy’=2p,得     

点击抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦有着很多值得思考的性质,这里略举一二.图1(一)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1 x2 p.这由抛物线的定义很容易得到.(二)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,如图1,其中A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-p2.证明:抛物线y2=2px与直线AB:x=ky 2p,联立得y2-2kpy-p2=0,所以由韦达定理得y1·y2=-p2.(三)过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于两点A、B,令|AF|=r1,|BF|=r2,则r11 r12=2p.设抛物线的焦点F2p,0,当直线的斜率不存在…     

一道高考试题的探讨

06年全国高考数学理科试题(北京卷)第19题:已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA.OB的最小值.解:(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为:x2-y2=2(x>0)(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,x22-2),B(x0,-x02-2),∴OA.OB=2.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx b,代入曲线方程x2-y2=2(x>0)中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0(*)依题意可知方程(*)有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2)…     

抛物线的一个定理及应用

定理过点(k,0)作直线AB和抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则有x1x2=k2,y1y2=-2pk.证明设直线AB的方程为x=my+k,代入y2=2px,有y2-2pmy-2pk=0.因为直线AB与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,于是y1y2=-2pk.由y21y22=4p2x1x2,得到x1x2=y21y224p2=4p2k24p2=k2.推论(焦点弦定理)若AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1y2=-p2,x1x2=p24.在解决某些与抛物线相关问题的时候,应用该定理和推论的内容,能简洁、快速地解题,同时也能达到优化解题过程的目的.例1如图1所示,线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0…     

圆锥曲线的一个性质

定理已知圆锥曲线的准线与x轴相交于点E,过相应焦点F的直线与圆锥曲线相交于A、B两点,BC//x轴交准线于C点,则AC经过线段EF的中点.证明(1)若圆锥曲线为抛物线,不妨设抛物线的方程为2y=2px(p>0).当直线AB的斜率不存在时,显然定理成立.当直线AB的斜率存在时,可设直线AB的方程为:y=     

探究圆锥曲线的中点弦的解法

在解析几何中“求以圆锥曲线中的定点为中点的弦的方程”是直线与圆锥曲线位置关系中重要考点之一,高考中也多次出现.题目:设A、B两点是双曲线C:2x2-y2=2上两点,点N(1,2)是线段AB中点,求直线AB方程.解法1(巧用韦达定理,整体替换):要求过定点N(1,2)的直线AB的方程,关键是求斜率k.设点A(x1,y1),点B(x2,y2),由中点公式知:x1+x2=2,y1+y2=4,再利用韦达定理整体替换构造关于k的方程,求k的值.设直线AB方程为:y=k(x-1)+2,代入双曲线C的方程整理得:(2-k2)x2+2k(k-2)x-k2+4k-6=0.当2-k2≠0时,则Δ=4k2(k-2)2-4(2-k2)(-k2+4k-6)>0,解得k<23且k≠…     

圆锥曲线“中点弦”的斜率公式

设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆锥曲线上不同的两点,G(xA,yB)是线段AB的中点,kAB是AB弦所在直线的斜率.则有:(1)椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB)(2)双曲线三(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB);(3)抛物线y2=2px(p>0),kAB=P/(yA).证明:(1)因A、B两点在椭圆(x2)/(a2)+(y2/b2)=1上,所以有     

高考全国理科卷3第（21）、（22）题别解

第21题设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线. (Ⅰ)当且仅当x1 x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F,证明你的结论.     

2018年高考数学浙江卷第21题引发的探究

<正>1试题呈现如图1,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y²=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(Ⅱ)若P是半椭圆x²+y2+y²/4=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围(2018年高考浙江卷第21题).     

直线与圆锥曲线的位置关系例解

直线和圆锥曲线位置关系中的综合问题能有效地考查同学们的思维品质和创新能力,因此成为高考解析几何问题重点考查的热点内容,既常考不衰,又创新不断.1代点作差通性通法例1过M(1,1)的直线交双曲线x42-y22=1于A、B2点,若M为弦AB的中点,求直线AB的方程.解法1显然直线AB不垂直于x轴,设其斜率为k,则其方程为y-1=k(x-1).由x24-y22=1,y-1=k(x-1)消去y得(1-2k2)x2-4k(1-k)x-2k2 4k-6=0.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程①的2个根,又由于M为弦AB的中点,所以x12 x2=2k(1-k)1-2k2=1,所以k=21.经检验,当k=21时方程①的判别式大于零,所以直线…