对一个展开式项数问题的思考

1.问题及背景 1.1题目:把(a b c)10展开且合并同类项后共有多少项? 1.2教材背景:在二项式定理中,我们知道(a b)10的展开式有10 1=11项,可以看成每一项是从a b,a b,…,a b共10个a b中,全取a,9个取a和1个取b,8个取a和2个取b,…,1个取a和9个取b,全取b共11种情况得到展开式的11项,每一项的幂指数和为10.     

由二项式定理展开原理巧解多项式展开题

我们知道,二项式定理(a+b)n展开式中的通项为Cnran-rbr(r=0,1,…,n),可这样得到,n个乘积括号中有r个取“b”,剩下的n-r个取“a”,得Crnbr·Cnn--rran-r,即Crnan-rbr.根据这一思路,能巧妙解决一类多项式展开题.例1解(a+2b+3c)7的展开式中a2b3c2项的系数是多少?此题可以根据二项式定理,先把其中的两项看成整体,用二项式定理展开再求题目所要求的.这种解法体现了化归的意识.但是,根据二项式定理的形成过程的探讨,可以直接得到下述解法:从7个括号的2个里取“a”,得C27a2,再从剩下的5个括号的3个里取“2b”,得C35(2b)3,最后在剩下的2个括号里…     

教本探源求二项展开式的某项或某项的系数——谈组合推导法的应用

求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点,每年的高考题都有一定的题目出现,人们往往利用二项式定理的通项公式去解决,却忽视了推导二项式定理的原理,组合计数推导法,这是伟大的物理学家、数学家牛顿在1665年推导二项式定理的方法,我命名为"组合推导法",多项式的乘法本质是其结果由每个括号中取一项相乘的所有单项式合并同类项得到的.教材中二项式定理的推导就是将(a+b)n看成n个a+b相乘,从每个括号中     

三项式展开题的一种求解方法

二项式（a＋b）“展开式中的通项为Cn^ra^n-rb^r（r=0，1，2，…,n）。它可以这样得到：n个括号（a＋b）中的任意r个括号中都取b，剩下的n-r个括号中都取a，相乘得Cn^rb^r&;#183;Cn-6^n-ra^n-r,即为Cn^ra^n-rb^r。根据这一多项式相乘的组合方法，我们容易解决一类三项式展开式中的项与系数问题。下面举例说明。     

在探究中学习

案例1.提出问题:展开(a1 b1)(a2 b2)(a3 b3).生:(a1 b1)(a2 b2)(a3 b3)=a1a2a3 a1a2b3 a1b2a3 b1a2a3 a1b2b3 b1a2b3 b1b2a3 b1b2b3.师:上述展开式有几项?项是如何构成的?有规律吗?生:从每个括号中取出一项相乘而得,按分步计数原理,共8项,每一项都含3个括号中的一个元素.师:如果令a1=a2=a3=a,b1=b2=b3=b,那么(a b)3展开式又是什么?生:可以合并同类项,得(a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3.师:观察每一项中a,b的指数的变化情况,为什么会有这样的变化情况?生:每项都是3次,因每项是从3个括号中各取一个元素相乘而得的缘故.师:为什么a2b的系数会是3?除了从…     

高考中的二项式问题

解二项式问题,首先要熟悉二项展开式的通项公式,其次还要掌握以下三个方面:(1)(a+b)~n的展开式的二项式系数之和为2~n.(2)对于(a+b)~n而言,当n为偶数时,其展开式中只有中间一项,即第(n/2+1)项的二项式系数最大;当n为奇数时,其展开式中中间两项,即第(n+1)/2和(n+3)/2项的二项式系数最大.     

两类常见错误分析

初学整式的加减，有些同学解题时常常犯以下两类错误：一、合并同类项常见错误例1合并同类项：错解①原式＝5x＋5y＝10xy；③原式＝4a2b－2ab2＝2a2b；③原式＝3；④原式＝5a4．分析我们知道，同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项．由同类项的这一定义看出，判别同类项的关键是“两个相同”，其一是字母相同，其二是相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可，它与各项系数无关．合并同类项就是字母因数不变而仅把各个同类项的系数相加的结果作为系数．上述解答中，第①题3x＋2x＋5y，3x与2x合并同类项后得到5x＋5y，…     

3a~2+2a~3=5a~5吗?

3条狗＋2只猫＝5个狗猫．谁见了这样的加法,都会觉得错得可笑．可是,有的同学一遇到3a2＋2a3,就毫不犹豫地把它们加在一起得到5a5,类似的错误还有3a＋2b＝5ab,3a2b＋2ab2＝5a3b3,…发生错误的原因在于：非同类项也进行了合并．要进行合并,就要搞清什么是同类项．同类项是指所含的字母相同,并且相同字母的次数也相同的项．如3a2与2a3,3a3与2a3,3a2b与2a2b都是同类项．狗和猫不是同类,不能加在一起;同样道理,3a‘和2a3（3a和Zb,3a‘b和Zab句不是同类项,当然也不能加在一起．有的同学对于运算结果3a‘＋2a3,总觉得没有做完,在…     

两个重要数学知识点学习指津

一、从公式(a+b)《a-b)=a2-b2谈起现从平方差公式为例,谈谈学习乘法公式的方法。1.了解公式的结构特征在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中,左边是两个二项式的积,在这两个二项式中有一项(a)完全相同,另一项(b)和(-6)互为相反数;右边是完全相同     

浅析二项式定理的应用

二项式定理： 对于任意两个数a和b以及正整数n，总有（a＋b）n=Cn0an＋Cn2an-1b＋Cn2an-2b2＋…＋Cnran-rbr＋…＋Cnnbn,式中Cnm为组合数．公式右边的多项式称为二项展开式，又称牛顿二项展开式．     

由“求(a+b+c)~5展开式的项数”谈隔板法

在二项式定理的教学中遇到这样一题:用乘法原理求出(a+b+c)5展开式的项数.这题大部分学生都错解为有35项,35项是用乘法原理得来的,是展开后没有合并同类项时的项数.在实际的展开式中,我们都会合并同类项,那合并同类项后有多少项呢?该题的正确答案是21项.具体解法如下:因为展     

同类项与合并同类项

同类项与合并同类项是整式中的两个重要的基本概念,必须牢固掌握．一、同类项课本第150页讲：“所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项．”几个常数也是同类项．我们可以从下面3个方面米理解同类项的意义：1．同类项是指两个或两个以上的项的特殊关系,不是对单独一项来说的．如是同类项,是同类项,而不能说－X‘是同类项,或者说一XZ不是同类项．2．同类项必须同时具备两个条件：①所含字母相同心相同字母的次数相同．这两个条件缺一不可．如4ah’c和a’bZc,所含字母相同,但相同字母的次数不完全相同,其中字母a的次…     

学习乘法公式的方法

现以“平方差公式 ( a b) ( a- b) =a2 - b2 ”为例 ,谈谈学习乘法公式的方法。一、了解公式的结构特征在平方差公式中 ,左边是两个二项式的积 ,在这两个二项式中有一项 ( a)完全相同 ,另一顶( b)和 ( - b)互为相反数 ;右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方。二、掌握公式的几何意义如图 1中 ,1、2、3三部分的面积和为 a2 - b2 ,若把它搬动成如图 2 ,则它所示矩形的面积为( a b) ( a- b) ,因此 ( a b) ( a-b) =a2 - b2。　　三、弄清公式的变化形式公式 ( a b) ( a- b) =a2 - b2 有八种变化形式 :1位置变化 ( b a) ( - b a) =;2符号…     

配完全平方式有三种结果(初一)

a2±2ab+b2可化成(a±b)2的形式,所以称为完全平方式.式中的三项有确定的关系,知道任意两项都可以求出另一项.如:第一项a2=第二项±2ab=第三项b2=例已知x2+m+y2是完全平方式,求m.解 (1)若x2、m、y2分别为完全平方式a2±     

(七)整式的加减测试卷

一、境空题（每空3分，共39分）：1．代数式中，是单项式的有，是多项式的有共有个整式．2单项式的系数是，次数是3.多项式5x－3x2－2是次项式，它由这样几项组成其中常数项是，把它按x降幂排列应写为4．下列各项3ab2，－8，－2b2a，中，同类项是5．用括号把多项式Zx－x2＋y2如分成两组，使一次项放在前面带有“＋”号的括号里，二次项放在前面带有“－”号的括号里，得．6单项式3xy，－2x，5x的和是二、单项选择题（每小题4分，共12分）：1．下列说法中正确的是（A）单项式X的次数是0；（B）单项式x的系数是0；（C）－12是单项式；（D）…     

掌握特点巧用完全平方公式

（a＋b）^2=a^2＋2ab＋b^2，（a-b）^2=a^2-2ab＋b^2叫做两数和（或差）的完全平方公式．这个公式的特点是：左边为一个二项式的平方，右边为一个二次三项式，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．此公式可简单地概括为口诀：首平方，尾平方，积的2倍夹中央．在解题时，掌握完全平方公式的特点，并能熟练运用它，会收到事半功倍的效果．现举例如下。     

关于多项式的展开问题

在中学数学中，二项展开式是大家熟知的，当多项式的项数在三项以上时，仅在幂指数n＝2的情形即多项式的平方给出一个一般的展开法则；当幂指数n≥2时，多项式的展开一般学生要借助于二项式的展开式来处理，但用这种方法处理多项式的展开问题，往往要涉及到两次二项式展开，因此计算容易出错，这也是高考中这类问题得分率往往不高的一个原因．例如，对于求（2x~2－3X－1）~6展开式中。x~6的系数这个问题，一般学生有下面两种处理方法：方法1的展开式中。了得到x~4的系数，分下面三种情况讨论：的展开式中取常数项，因此这时x~4的的展开式中…     

例说两数列的相等项

下面请看与两数列的相等项有关的例子.【例1】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠0),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,求实数a1和d的值.分析:由题意知,an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.由a4=b4,a10=b10得a1+3d=a1d3a1+9d=a1d9整理得d6+d3-2=0,解得d3=1或d3=-2.∵d≠1,∴d3=-2,即d=-32.将d=-32代入a1+3d=a1d3,得a1=32.【例2】在等差数列5,8,11,…,302与等差数列3,7,11,…,299中,有多少个相同项?错解:记这两个数列分别为{an}和{bn}.易知an=3n+2,bn=4n-1.设an=bn,则3n+2=4n-1,n=3.所以这两个数列中只有第3项相同.错因:在求两数列{an}与…     

怎样学好同类项

一、掌握同类项的判定方法判定几个单项式是不是同类项.关键是“一看”、“再看”,一看所含字母是否相同:再看相同字母的指数是否也相同.如:3ax2y与5ax2y所含字母都是a、x、y。且a的指数都是1,x的指数都是2,y的指数都是1.具备了“两相同”.所以它们是同类项.又如:3ax2y与3axy2,虽然所含字母相同,但x的指数前者是2,后者是1,所以它们不是同类项.再如:5ax2y与5ab2y,所含字母不同,前者是a、x、y,后者是a、b、y,所以它们也不是同类项. 注意:(1)同类项的判定只与字母及其指数有关,与系数及字母因数排列顺序无关.如     

应用乘法公式错例分析

乘法公式作为初中代数的重要基础知识之一，我们不仅要准确掌握，熟练记忆，还要会运用这些公式．初学乘法公式，有些同学由于对公式的理解不深，在运用公式时，稍不注意，就容易出错，现将几种典型错误举例归纳如下：例1计算：（1）（a＋2b）2；（2）（a－2b）2错解（1）（a＋2b）2＝a2＋4b2；（2）（a－2b）2＝a2－4b2．错误分析上述解法错误是由于对完全平方公式没有掌握好，（a±b）2展开后共有三项：a2±2ab＋b2，这里共有两项，缺少了乘积项．错误分析（m＋2n）（m2＋2mn＋4m2）的2mn项的符号为正片（“＋”），（m＋2n）（m2－4mn＋4…