关于一道课本习题的教学功能的挖掘

人教版新教材《数学》第二册 (上 )有这样一道习题 :过抛物线y2 =2px的焦点的一条直线和此抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为y1、y2 ,求证y1y2=-p2 .这道题并不难 ,大多数学生是这样思考的 :先设过焦点的直线方程为y=k(x- p2 ) ,代入抛物线方程 ,消去x ,得到一个关于y的一元二次方程 ,然后利用根与系数的关系即可求得 .但作为教师 ,对这道题的认识不能只停留在这个层面 .事实上 ,这是一道典型的可用来培养学生的发散思维 ,掌握处理直线与二次曲线有关问题的方法与技巧的好题 .首先 ,在肯定学生解法的同时 ,应指出学生忽略的问题 :在设直线的点…     

用抛物线一性质速解探索题

人教版高中数学第二册(上)第119页有这样一道题: 过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标分别为y1,y2,求证:y1·y2=-p~2. 现对这个问题进行推广,得到抛物线的一条新性质.     

挖掘课本“四题”潜能，加大培养能力力度

2001年高考数学理科(19)题、文科(20)题 试题设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O. 本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.1 来源1.1 引用《平面解析几何》课本第101页8题: “过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求     

抛物线的一个性质及其应用

性质:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标分别为y1、y2,则y1y2=-p2．证明:由题意知,直线若为x轴时,与题意不符．(1)当过焦点的直线不垂直于x轴时,设方程为y=k(x-p/2)(k≠0),即x=     

“y1y2=-p~2”的巧用

题目:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2,求证:.y1y2=-p2. (全日制普通高级中学教科书(试验修订本,必修)数学第二册(上)P119习题8.5第7题. 这个结论是抛物线焦点弦的一个重要性质.其证法甚多读者自证.如果能灵活运用,解证抛物线焦点弦等较复杂的题目,能使解证题快速简捷,事半功倍之效果.现举例供参考:     

一道抛物线焦点弦问题的联想与变型

题如图1,过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条直线和抛物线相交,交点的纵坐标为y1、y2.求证y1y2=-p2.证法1由已知,抛物线焦点F(2p,0),设过点F的直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2).若AB⊥x轴,则y1=p,y2=-p.所以y1y2=-p2.若AB与x轴不垂直,设直线AB的方程为y=k(x-2p),与y2=2px联立,得y2-2kpy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.证法2因直线AB过定点F且与x轴不平行,所以设直线AB的方程为x=my 2p.代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.法1是常规解法,法2设出直线方程,避免了讨论直线斜率的存在性,是一种很…     

创新使教学充满生机——浅谈一道例题的教学

<正>原题过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标分别为y1和y2,求证:y1·y2=-p2.本题常规解法是应用过焦点的直线方程和抛物线方程组成方程组,消去一个未知数后,再由一元二次方程根与系数的关系而得证.     

一道课本习题的再探究

习题:过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的一条直线和这抛物线相交 ,两个交点的纵坐标是y1,y2,求证:y1y2＝-p2(人教版<解析几何>第二章习题八第8题)     

让课本题目的价值在探究中深化和推广

在数学教学中 ,如何开发课本题目的价值 ?如何引导学生寻求课本例题、习题的内在变化规律及其之间的联系 ,从而进行类比、联想、发散、深化和推广 .本文结合人教版全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )《数学》第二册 (上 )第八章“圆锥曲线方程”中 ,有关抛物线焦点弦、定点弦性质的例题、习题探究过程 ,谈谈这方面的问题 .1　多题一组 ,形成题链 ,加强题与题之间的横向整合 ,在反思探究中深化和推广如下三道题 :题 1　 (第 119页第 7题 )过抛物线 y2 =2 px(p>0 )的焦点的一条直线和此抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为 y1、y2 ,求…     

抛物线焦点弦一性质的推广与应用

大家都知道抛物线有这样一条性质： 过抛物线y^2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,设两个交点的纵坐标分别为y1,y2,则y1·y2=-p^2.     

直线方程x-x0=m(y-y0)的作用

在解析几何中当直线过定点 (ｘ0 ,ｙ0 )时 ,学生在解题时往往只会机械地套用点斜式 ,将该直线方程设为ｙ- ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 ) ,这当然没有错 ,但有时会出现下列情况 :(1)容易忽视对斜率不存在的情形 ;(2 )运算较繁 ,有时还会陷入僵局 .如果当我们知道这样的直线斜率不为零时 ,也可将其方程设为ｘ -ｘ0 =ｍ(ｙ- ｙ0 ) .这样不仅可以避免讨论直线斜率存在性 ,而且有时可大大简化运算 .例 1　过抛物线ｙ2 =2 ｐｘ的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为 ｙ1,ｙ2 ,求证 :ｙ1·ｙ2 =- ｐ2 .解　显然过焦点的直线的倾斜角不为零 ,故…     

巧设方程 避免疏漏

高中《平面解析几何》第99页有这样一道题: 题 过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1、y_2,求证:y_1y_2=-p~2。 教学参考书(人民教育出版社)上的解答如下: 设过焦点的直线为y=k(x-p/2)(k≠0),即     

从一道解析几何习题谈起——拟一次高中学生数学讲座

六年制重点中学高中数学课本《解析几何》P.111的第8题:“过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1,y_2求证:y_1y_2=-p~2”。若设两个交点的横坐标为x_1,x_2,由y_1y_2=-p~2,易知x_1x_2=p~2/4,这就是说“抛物线焦点弦(经过焦点,并且两个端点在抛物线上的线段)的两个端点的横坐标之积是常数,纵坐标之积也是常数”。此结论很重要,它反映了抛物线焦点弦的一个重要性质。解题时,为了减少引进参数,若设抛物线y~2=     

盘点抛物线的焦点弦问题

设直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A、B两点(直线AB的倾斜角为α),设A (x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,准线方程为:x=-p/2,则关于抛物线C的焦点弦有以下九条常用的性质:(1)2x1x2=p/4;(2)y1y2=-p2.     

一道课本习题的引申与应用

题目:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求证:y1y2=-p2.这是高中数学教材第二册(上)(试验修订本)第119页第7题.笔者对该题进行了引申,得到了一些更为有趣的性质.本文着重介绍这些性质及它们的应用.     

从一道高考题看过抛物线焦点弦性质的应用

今年高考“3 Ｘ”型数学试卷理科第 1 9题(文科第 2 0题 )是 :设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ >0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ ∥ｘ轴 ,证明 :直线ＡＣ经过原点 .一、试题的背景揭示该试题是《平面解析几何》(全一册 ,必修 )第 1 0 0页习题八的第 8题 :“过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点的一条直线和这条抛物线相交 ,两个交点的纵坐标为ｙ1 ,ｙ2 ,求证 :ｙ1 ｙ2=-ｐ2 ”的改变题 .二、过抛物线的焦点弦的性质设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,若…     

圆锥曲线部分典型错误解析

一、忽视特殊情况【例1】过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.0条错解:设直线的方程为y=kx 1,联立y2=4x,y=kx 得(kx 1)2=4x,即:k2x2 (2k-4)x 1=0,再由Δ=0,得k=1,得答案A.剖析:本题的解法有两个问题:一是将斜率不存在的情况漏掉了,二是将斜率k=0的情形丢掉了.故本题应有三解,即直线有三条.小结:直线与抛物线只有一解时,并不一定相切,因为直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一解.二、忽视焦点位置【例2】设双曲线的渐近线为:y=±32x,求其离心率.错解:由双曲线的渐近线为:y=±23x,可得:ba=23,从…     

圆锥曲线的顶点与对应焦点的弦的性质的探索

教学中,课本上一道脍炙人口的解析几何题引起了我的兴趣.经过探究之后,得到了如下一些结论与同行共享.原题:过抛物线y2=2px焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点M、N的纵坐标为y1、y2.求证:y1y2=-p2.(人教版高中数学第二册(上)第119页习题8.5的第7题)其证明一般是这样的(如图     

高考数学综合题解题策略透析

数学综合题常常是高考试卷中的把关题和压轴题,在高考中举足轻重.高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标.近几年高考数学综合题已由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型,尤其是创新能力型试题.综合题是高考数学试题的精华部分,具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点.下面举例谈谈高考数学综合题的基本解题策略.一、避实就虚,整体求解【例1】抛物线C的方程为y=ax2(a&lt;0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足BM=λMA,证明线段PM的中点在y轴上;(Ⅲ)当λ=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.解析(Ⅰ)由抛物线C的方程y=ax2(a&lt;0)知,焦点坐标为0,41a,准线方程为y=-41a.(Ⅱ)设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),直线PB的方程为...     

轨迹为抛物线的一个充要条件

<正>在人教版《数学》(第二期)第119页,给出了习题7:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1、y2, 求证:y1y2=-p2.综观文中关于抛物线有关的例题与习题,许多都与过焦点的一条弦有关.例如,第118页例3:斜率为1的直线经过抛物线