用根与系数的关系解竞赛题

方程的根与系数的关系是方程的一个重要性质，很多数学竞赛题都以此为命题背景，诸如求（最）值问题、方程的整数根问题、求参数的范围问题、根的分布问题等，本通过实例说明根与系数的关系的应用。     

数学探究式学习例谈

数学新课程倡导探究式学习,数学教师在教学中要注重探究式学习这一重要学习方式的应用。学完《根与系数的关系》以后,我随即布置了几道课外习题来检验学生掌握的效果,学生王明经过认真思考,对其中的一道习题兴趣盎然。这道习题是这样的:已知方程x~2-4x 1=0,求作一个一元二次方程,使它的两根分别     

一元二次方程根与系数关系的六种应用形式

一元二次方程报与系数的关系，它是以一元二次方程的求根公式为基础的。即如果ax~2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x_1，x_2，那么利用它解决问题，在初中阶段一般具有下列六种形式。一、恰当选择根与系数关系，求另一根和系数字母值。由一元二次方程根与系数关系可知存在两个等量关系，解题选用那一个，要看题意，尽量使所选等量关系含一个未知量，进而求另一个未知量。例回、①已知方程SX’＋bX－10一0的一个极为一5，求方程另一个根及b的值。分析：选两个根的积求另一根，进而由两根和求b值。。＿、。、＿＿，＿、，＿。，10。。2＿。‘…     

一元二次方程根与系数关系的应用

我们知道，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：如果的两个报是x1、x2，那;反之，以为根的一元二次方程是o．这个关系在数学中有很广的应用．通常可以用来解决以下问题：一、已知一个一无二次方程和它的一个根，不解方程、求另一个根．例1已知方程2x’一3。＋2。l一0的一”个根为1，求另一个根和nL的值．思路分析此题已告知方程及方程的一个根，欲求另一个根，可根据根与系数的关系求解．解设方程的另一个根为x，由根与系数的关系得：I＋。、一7及I·。、一m．”””“”“”“”“”一2”—～。—’一1122方程的另一个根是专，。，…     

一元二次方程根与系数的关系的应用

若x1，x2是方程ax2－bx＋c＝0（a≠0）的＋bC＋C一0（a≠0）的两个根．这就是一元二次方程根与系数的关系，我们利用其可以解决很多与“二次”有关的问题．一、已知一元二次大程的一个根，求另一个根例1（I）已知4X2－11x＋6＝0的一根是Z，求另一根；（2）已知一2是方程Zx’＋mx－2—0的一个根，求m的值及另一根．分析在（1）中虽然可通过解方程求出另一根，但若利用根与系数的关系求另一根则很简便．我们可设另一根为xl，那么根据xl＋211＿＿6．＿＿＿，一千，灭r1·2一二均可乘出。4”———“－4“””———一在（2）中，由于方程中…     

求作一类二次方程的简便方法

利用一元二次方程的求根公式,可以证明:方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0两根的a倍(a≠0)。运用这个结论,可以很快解决求作一个一元二次方程且使它的根分别是已知方程的各根的几倍问题。例1求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程3x~2-16x+5=0的两根的3倍。解:因为方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0的两根的a倍,所以,所求作的一元二次方程是x~2-16x+3×5=0,即x~2-16x+15=0.如果已知方程的二次项系数刚好等于所求方程的的根是已知方程各根的倍数,那么,就用已知方程二次项系数移乘常数项,二次项系数改为1,一次项不     

巧用代换

在一元二次方程根与系数的关系、二次函数中,对于一些习题,巧用数量代换有利于拓宽解题思路,提高灵活应变能力.现举例如下. 例l已知方程尸一Zx一l一。,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的根是原方程各根的平方. 解设所求新方程的根为y,则y一扩,…x一士丫y.把二一士厂歹代入原方程得 (土、今)“一2(士侧丁)一i一。,化简整理后得了一6y十1一0· 注本题一般用一元二次方程根与系数的关系来解.现用数量代换解亦较简捷. 例2将抛物线y,一粤、一4x+6向左平移:个单位,再向 一‘一“,~’‘一J上2--一’一’‘一”7一”‘一”‘’‘上平移3个单位,…     

一元二次方程根与系数的关系的应用

一元二次方程的根与系数的关系是中学代数的重要内容之一,也是一个难点。每年全国各省市中考数学试题中,都有与一元二次方程的根与系数的关系有关的试题。因此,本文介绍一元二次方程根与系数的关系的简单应用。 一、已知一根求另一根及待定系数的值 例1 已知方程2x~2+kx-10=0的一个根是-2,求它的另一个根及k的值。 (2000年江西省南昌市中考题)     

用开放性思维探求过不共线三点的曲线方程

题目已知三点A(0,2),B(4,0),C(8,2),求过这三点的圆的方程.这是一道相当经典和普通的习题,在我们的教材和各类复习资料中都出现过.它的本意是要求学生理解并领会决定一个圆的基本条件,掌握用特定系数法求圆的方程.当我们用封闭性的思维方式去看这个习题时,也许觉得该习题是再平     

韦达定理在解数学竞赛题中的应用

(本讲适合初中) 由于韦达定理揭示了方程的根和系数间的联系,因此,凡是可归结为讨论一元二次方程根的数值问题,通常都可用韦达定理来解决。1 求方程中字母系数的值或取值范围 当题设方程中含有字母系数,且已知方程的两个根具有某种关系时,可利用韦达定理建立一个以字母系数为主元的方程或不等式,从而求得字母系数的值或取值范围。     

如何求根的非对称式的值

在解一元二次方程中，利用一元二次方程根与系数的关系，可以不解方程较简便地求出方程两根对称式的值．但是如何求方程两根的非对称式的值，同学们往往觉得比较困难，以下介绍几种方法，供大家参考：     

判别式及韦达定理的应用

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系应用广泛，在中学数学中占有重要地位．本文对一类“给出根的条件，求方程的系数的取值范围”问题，举例说明判别式及韦达定理的应用．     

已知二次方程的一根求另一根的技巧

已知二次方程的一根求另一根的题目,是中招升学考查和初中数学竞赛的重点题型之一,本文分类介绍此类问题的解题技巧,供读者参考。 1.求另一根和方程中的字母系数 此类问题可由根的定义,将已知根代入原方程求出字母系数的值,再由韦达定理求出另一根。 例 1.已知方程3x~2-(2a-5)x-3a-1=0的一根是2,求另一根。     

一元二次方程两根同次幂之和的一个递推公式及其应用

求一元二次方程两根同次幂之和,是中学数学中常见的题型.通常是转化为用两根之和与两根之积的形式来表示,这说明两根同次幂之和一定与方程系数有关.笔者在本文中将给出一元二次方程两根同次幂之和的一个递推公式,并用这个公式解答相关数学问题.     

运用韦达定理解题的基本思路

在初中数学竞赛中，涉及韦达定理的题型主要有三大类：一、根据两根求一元二次方程中待定系数的值或取值范围，简称求作方程型；二、求由一元二次方程的两根组成的代数式的值，简称求值型；三、求由带参数的一元二次方程的两根组成的代数式的最值，简     

用根表示系数求多参数式子的取值范围

一元二次方程根与系数的关系是初高中数学衔接的重要内容之一,应用非常广泛.有这样一类二次方程根的分布问题:已知一元二次方程的两根的分布情况,求含有多个系数的式子的取值范围或最值.这类试题特别在浙江省近几年的高考、高考模拟和数学竞赛中频频亮相,成为一道独特的风景.这类题目,我们可先设出方程的两个根,然后借助根与系数的关系用根表示系数,继而将所求含有多系数的式子用两根表示出来,最后运用不等式或函数的有关知识求最值或取值范围,下面举例说明供读者参考.     

用交叉相乘法构造方程

初中代数第三册第153页第4题是: 求一个一元二次方程,使它的根分别是方程x~2+px+q=0的各根的平方.本题的常规解法是利用根和系数的关系来构造所需要的方程     

浅谈妙用根的定义求代数式的值

在初中代数中 ,求关于已知一元二次方程的两根的代数式的值 ,是常见的一类问题。在解决这类问题时 ,一般情况下 ,利用一元二次方程根与系数的关系来求解 ,但在不少情况下 ,题中所给的代数式与方程两根的和与积并没有明显的联系 ,单独利用根与系数的关系不易求解 ,甚至无法求解。此时就可以先利用一元二次方程根的定义把所给的代数式进行变形 ,使之与方程两根的和与积产生联系 ,再利用根与系数的关系求解。例一 :已知α,β是关于 x的方程 :x2 + ( m- 2 ) x+ 1=0的两个根 ,求 ( 1+ mα+ α2 ) ( 1+ mβ+ β2 )的值。分析一 :考虑用根与系数的…     

一元二次方程根的讨论

解含字母系数的方程，是教学中的一个难点，亦是重点．从题型上来看，主要有两种类型．第一种类型是求使方程的根具有某些特征的字母系数的取值范围，第二种类型是确定方程在指定数集内有解和无解的条件．这两类问题往往归结为解不等式(组)加以解决．下面结合例题，探讨解此类题的一般规律．     

充满活力的韦达定理

一元二次方程的根与系数关系,即韦达定理,是初中数学中一个充满活力的定理.它与许多知识点有机结合,可以编拟许多丰富多彩的习题和试题,成为历年中考中的命题热点.在解答与韦达定理相关的数学问题时,需要应用到多方面的数学思想和数学方法.因此,教学一元二次方程的根与系数的关系时,应注意让学生系统了解韦达定理的应用.韦达理的应用,在课本中的例题、习题和复习题中均有介绍,但都比较基本,不够系统;本文以各地中考试题、竞赛试题为例,介绍这方面的知识,供教学或复习时参考.1　求一元二次方程根的对称式的值若x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的…