等补三角形的性质及其应用

定义有一角对应相等而另一角对应互补的两个三角形,称为等补三角形. 等补三角形广泛存在于下列几何图形中:(1)有内或外角平分线的任意三角形;(2)顶点与底边所在直线上任一点连线的等腰三角形;(3)有对角线的等腰梯形;(4)对角线平分一内角的圆内接四边形;(5)一组邻边相等的圆内接四边形.鉴于等补三角形的存在范围非常广泛,笔者研究了它的一些性质,本文介绍其中较为优美的几个,并例谈其在解题中的应用,供参考.     

一个几何命题及其应用

<正>若两个三角形中一角相等,一角互补,则等角与互补角的对边对应成比例.这个事实用数学语言表述为:     

利用弧角关系巧证题

在同圆或等圆中:(1)等弧所对的圆心角相等,所对的弦相等;(2)同弧或等弧所对的圆周角相等,且是所对圆心角的一半;(3)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧,平分弧所对的圆心角;(4)圆内接四边形对角互补,对角互补的四边形内接于圆.利     

中考常考基础题检测与解析四边形(二)

1.下列命题中是真命题的是()A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.两条对角线相等的平行四边形是矩形D.两边相等的平行四边形是菱形     

活用性质解新题

平行四边形除了具有一般四边形的性质外．（1）对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（4）是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中一心．如图1，□ABCD中。△ABO≌△ACDO．△ADD≌△COB,平行四边形被对角线分成的4个三角形的面积相等．     

一个定理的巧证

定理1 在两个三角形中,如果有一个锐角(或钝角)对应相等,且这个角的对边及这边上的中线也对应相等,那么这两个三角形全等。     

第39届国际数学奥林匹克试题

第一天 1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部。证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。     

四边形面积的一个性质及其推论的应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3和S_4,则由三角形面积公式,有     

第39届IMO试题解答

1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部,证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。 证明:先证必要性:即当A、B、C、D四点共圆时,有S_(△ABP)=S_(△CDP).     

用托勒密定理能求出圆内接四边形的对角线长

《数学奥林匹克中级读本(下)》(四川大学出版社出版,1991年10月第二版)一书中有这样一道例题(P75,例6): 如右图,设圆内接四边形ABCD的四边AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求对角线AC和BD的长(要求用a,b,c,d来表示)。书中在用余弦定理和圆内接四边形内对角之和为180°求出了两对角线之长后,有如下说明:“这例题用托勒密定理是不能求出圆内接四边形对角线的长。”然而我们说这说明是不正确的,用托勒密定理同样也能求出圆内接四边形的对角线长,现具体推理如下: 解法一:在弧ADC上取点M,使AM=CD=c,连MC,则△AMC≌△CDA(边、角、边),从而MC=AD=d,对圆内接四边形ABCD及     

听故事得灵犀巧解中考题

1考题回顾例1在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.(1)如图1(a),四边形DEFG为△ABC的内接正方形,求正方形DEFG的边长;(2)如图1(b),△ABC内有并排的两个相等的正方形,由它们组成的矩形内接于△ABC,求正方形GDKH的边长;(3)如图1(c),△ABC内有并排的三个相等的正方形,由它们组成的矩形内     

圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为E,F,G,H,则四边形EFGH是矩形.本文给出圆内接四边形的另外两个性质:性质1 如图1,ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的重心分别为S,P,Q,R,则有如下结论:(1)四边形PQRS∽四边形ABCD;(2)S四边形PQRS=1/9S四边形ABCD.     

怎样证明两条边相等

在几何证明中 ,经常要遇到证明两条边相等的问题 ,学生有时无从下手。本文试图结合实例 ,对证明两条边相等作些探讨。一、两条边若不在同一个三角形中 ,可通过两个三角形全等来证明两条边相等例 1.圆内接四边形ABCD的外角∠ DCH =∠ DCA,DP⊥ AC,垂足是 P,DH⊥ BH,垂足为 H,求证 :(1) CH=CP　 (2 ) AP=BH分析 :要证明 CH=CP,我们发现它们分别在两个三角形△ DCH和△ DCP中 ,只要证明两个三角形全等就可以了。那么要证 AP=BH,这两条线段不在同一个三角形中 ,我们也应首先考虑全等。连结 BP,可把 AD、BH放在△ ADP和△ B…     

证明两角相等的方法

如何证明两个角相等呢 ?本文归纳以下几种方法 ,以供解题参考 .1 对顶角相等 .2 同角 (或等角 )的余角相等 ;同角 (或等角 )的补角相等 .3 全等三角形 (或相似三角形 )对应角相等 .4 平行线中的同位角和内错角都分别相等 .5 平行四边形的对角相等 .6 角平分线分得的两个角相等 .7 等腰梯形在同一底上的两个角相等 .8 在同圆或等圆中 ,等弧 (或等弦 )所对的圆心角和圆周角都相等 .9 圆内接四边形的外角与它的内对角相等 .1 0 弦切角与它所夹弧对的圆周角相等 .现举例说明以上方法的应用 .例 1　如图 1 ,已知AB =DC ,AD=BC .求证 :∠…     

对圆内接四边形一个特殊性质的探求

圆内接四边形两组对边乘积相等的充要条件是过一条对角线两个端点所引的圆的两条切线与另一条对角线共点或相互平行。     

既有外接圆又有内切圆的四边形存在条件及其性质

我们知道,任何一个正多边形都存在外接圆和内切圆且两圆同心。本文四边形内切圆和外接圆存在时,它的一些性质。Ⅰ.存在条件任何一个圆存在着任意多的内接四边形和外切四边形,但并非任意的一个四边形都存在内切圆和外接圆,那么什么情况下这种四边形才存在呢?为此先引进两个引理引理1:四边形有外接圆的充要条件是其对角互补。(证略) 引理2. 四边形外切于圆的充要条件是其对边之和相等。     

圆内接四边形的性质在中考题中的应用

圆内接四边形的性质主要有：圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的外角等于内对角．这些性质在中考题中有着广泛的应用,可以解决与圆内接四边形有关的四类问题现以历年中考题为例说明其应用     

婆罗摩笈多定理和一道IMO题新证

第39届IMO第一题,是一个很有趣的几何题,题目如下: 题在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与CD不平行.点P为线段AB、CD垂直平分线的交点,且P点在四边形ABCD内部.证明:ABCD为圆内接四边形的充分而必要条件是:△ABP与△CDP的面积相等.     

与内接三角形相关的竞赛题

（本讲适合初中） 若一个三角形的三个顶点均在一个图形的边界上,则称此三角形为该图形的内接三角形．与内接三角形有关的问题大多存在于平面几何的三大内容——三角形、四边形及圆——之中．在解题过程中,广泛地运用到了与三角形、四边形及圆等诸多知识,同时还涉及到了代数中函数、方程等重要的思想方法．     

2011年第12期问题

841．在对边乘积相等的圆内接凸四边形ABCD中，M为对角线BD的中点.