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1.
1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/44√ a+√bc/44√ b+√ca/44√c=8√a3b4/2+8√b3c4/2+8√c3a4/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2. 相似文献
2.
常媛媛 《中学数学研究(江西师大)》2015,(8)
第三届陈省身杯数学奥林匹克第6题:
已知实数a,b,c>1,且a+b+c =9,试证明:√ab+bc+ca≤√a+√b+√c.
贵刊2014年第12期文“对一道奥林匹克数学竞赛试题的证明及思考”中,把这个不等式加强为:正实数a,b,c≥k,且a+b+c=9,试证明:√ab+bc+ca≤√a+√b+√c该文验证了k=1/2的正确性,但是文末指出最小的k值如何求解呢?笔者试图找出最小的k值. 相似文献
3.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc>0.证明:
ab+ bc+ ca<a/2abc+1/4.
证法1 因为abc>0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a>0,b<0,c<0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
<0<abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3<2/9.
于是,9q<2√q.
故p≤9q/4+1/4<2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca<√abc+1/4. 相似文献
4.
有这样一道习题:证明:若a+b+c=1,则√4a+1+√4b+1+√4c+1≤5。这道习题在不止一本书中出现。四川人民出版社出版的苏联瓦西里夫斯基著《中学数学解题训练》中还作了错误的证明如下。显然 4a+1~(2/1)=(4a+1)·1~(2/1) ≤1/2[(4a+1)+1]=2a+1 类似可得 4b+1~(2/1)≤2b+1, 4c+1~(2/1)≤2c+1 相似文献
5.
李建潮 《河北理科教学研究》2013,(6)
《数学通报》2010年第8期问题1869如下:
问题1869[1]设a,b>0.
(Ⅰ)若a+b≤√2,则1/1+a2++1/1+ b2≥1/1+(a+b)2 (1)
当且仅当a=b=√2/2时等号成立;
(Ⅱ)若ab≥1/2,则1/1+a2++1/1+ b2≤1/1+(a+b)2 (2)
当且仅当a=b=√2/2时等号成立. 相似文献
6.
一、选择题(每小题7分,共42分)
1.若a=√3/√2+√3+√5,b=2+√6-√10,则a/b的值为( ).
(A)1/2 (B)1/4 (C)1/√2+√3 (D)1/√6+√10 相似文献
7.
常家慧 《中学数学研究(江西师大)》2022,(3)
基本不等式设a≥0,b≥0,则a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时等号成立).最值原理设x>0,y>0.(1)若x+y=S(定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值S2/4;(2)若xy=P(定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最大值2√P. 相似文献
8.
安振平 《河北理科教学研究》2013,(3)
在文[1]里,笔者给出并证明了如下有趣的无理不等式:
问题 设a≥x>1,b≥y>1,c≥z>0,求证:(a+b+c)-(x +y+z)<√a2-x2+√b2-y2+√c2-z2≤√(a+b+c)2-(x+y+z)2.①
等号仅当a:x=b:y=c:z时成立.
下面给出不等式①的几个应用. 相似文献
9.
邹生书 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):25-26
宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下:
猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1.
文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广:
推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ. 相似文献
10.
11.
本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型(x+y)(a/x+b/y)(x,y,a,b都是正数)的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab1/2≤(a+b)/2(a≥0,b≥0),当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p2/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求(x+y)(1/x+4/y)的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值. 相似文献
12.
刘国 《中学数学研究(江西师大)》2021,(5):49-51
一、试题呈现已知a,b>0,a√1-b2-b√1-a2=ab,求证:a/b+b/a≤√5.本文对上述不等式试题给出多种证法,并对其进行变式拓展及解法研讨. 相似文献
13.
本文通过斯特瓦特定理推导出三角形三边中线平方和的公式,借助于三角形的中线长不小于该边上的高,进而推导出三角形面积与三边长的不等式S≤√3/4·√a2+b2+c2/1/a2+1/b2+1/c2,该不等式较Weitzenb(o)ck不等式S≤1/4√3(a2+b2+c2)确定的△ABC面积的上界要小.在推导该不等式的同时也给出了Weitzenb(o)ck不等式的一种新的证明方法. 相似文献
14.
已经a〉0,b〉0,求证:2/1/a+1/b≤√ab≤a+b/2≤√a^2+b^2/2,当且仅当a=b时等号成立。 相似文献
15.
任志兵 《中学生数理化(高中版)》2009,(11)
一、选择题 1.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2√ab-4a2-b2的最大值是( ). A.√2-1/2 B.√2-1 C.√2+1/2 D.√2+1 2.已知不等式m2+(cos2θ-5)m+4sin2θ≥0恒成立,则实数m的取值范围是( ). A.[0,4] B.[1,4] C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[1,+∞)∪(-∞,0] 3.已知正方形ABCD的边长为,√2,→AB=a,→BC=b,→CA=c,则|a+b+c|等于( ). A.0 B.2 C.4 D.|b|=3√2 4.若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是( ). A.(-∞,-1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.[1,+∞) 相似文献
16.
本文旨在建立两个新的无理不等式.
定理1若a,b〉0,满足a+b=1,则
√a^-1-a+√b^-1-b≥√6.(1)证:令x=ab,则0〈x≤(a+b)^2/4=1/4. 相似文献
17.
刘正军 《中学数学研究(江西师大)》2003,(6):16-17
高中数学第二册(上)(试验修订本·必修)P11习题6.2.3 已知a、b都是正数,求证2/1/a+1/b≤√ab≤a+b/2≤√a2+b2/2当且仅当a=b时等号成立. 相似文献
18.
李建潮 《河北理科教学研究》2015,(2):40-41
题 已知a>1,b>1,c>1,且a+b+c=9,试证:√a+√b+√c≥√bc+ca+ab(1)(第三届全国大学生数学竞赛预赛题)
这是一道大学生竞赛题,参考解答应用导数给出了她的证明.在数学竞赛辅导中本入向同学们推崇了如下优美的初等证法,现提出来与大家共享. 相似文献
19.
第一试一、选择题(每小题7分,共42分) 1.若x2-x-2=0,则 x2-x+2√3/x4-2x3+x2-1+√3的值等于( ). 相似文献
20.
题目 已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证:√a+4^-1(b-c)^2+√b+√c≤√3,①(2007年女子数学奥林匹克竞赛试题) 相似文献