用导数零点的设而不求化简函数极值式

有一类与求函数f（x）极值相关的问题,作为通性通法,先求导函数f（x）,令f＇（x）=0求导函数f（x）的零点,再由单调性判定其零点是否是极值点,然后求出极值或续求相关问题．然而f（x）的零点可能无法求出（如多数超越方程）,或者零点表达式复杂（参数表达者更甚）,使极值的计算、化简或推演繁琐．正因为如此,这类问题就变成了所谓难题,     

2012年江苏高考第18题的数形结合解法及推广

一、试题呈现题目 （2012年高考数学江苏卷第18题）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x3＋ax2＋ bx的两个极值点.（1）求a和b的值;（2）设函数g（x）的导函数g＇（x）=f（x）＋2,求g（x）的极值点;（3）设h（x）=f（f（x））-c,其中c∈[-2,2],求函数y=h（x）的零点个数.二、试题的分析及数形结合解法本题的第（1）、（2）问考查利用导数求解函数的极值,解答比较简单,这里我们不作讨论.第（3）问考查复合函数（实际上是迭代函数）的零点个数问题.对于第（3）问,命题组提供的参考答案是利用换元法,根据函数零点存在定理,判断函数y=h（x）的零点个数,整个解法缺乏直观,考生不容易想到,运算量也比较大.下面我们借助数形结合的思想对第（3）问进行解答,并依此解法把第（3）问的结论进行推广.     

利用导数的因子判断极值点和拐点

本文通过研究从导数f′（x)（或f″(x)）中分解出来的一些因子在其零点左右两侧的符号变化情况，寻找出这些零点与极值点（或拐点）之间的必然联系，并以此为基础，讨论了多项式函数与有理函数的极值点和拐点。     

借助导数探求三次函数问题

导数为研究函数的性质提供了新的工具,通过求导可以研究函数的单调性和极值．特别地,当f（x）为三次函数时,通过求导得到的．f（x）为二次函数,且原函数的极值点就是二次函数的零点．同时,利用导数的几何意义：曲线在某一点P（x。,Y。）处的切线的斜率k—f’（x。）,可得到斜率k为关于x。的二次函数．     

顾名思义引发的理解错误

分析易错选（C）,其原因是没有理解零点的概念,“顾名思义”地认为零点就是一个点．正确的理解应当是：对于函数y=f（x）,满足f（xz）=0的实数x称作函数f（x）的零点．因此零点并不是顾名思义的,（f）=0时的点,其表示形式也不是（x,0）,而是f（x）与x轴交点的横坐标312．     

2017年高考数学江苏卷第20题的赏析与思考

<正>1原题再现2017年高考数学江苏卷第20题如下:已知函数f(x)=x~3+ax~2+bx+1a>0,b∈(R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b~2>3a;(3)若f(x)、f′(x)这两个函数的所有极值     

函数零点问题的解决方案

函数的零点是研究函数性质的一个方面,也是高考考查的热点,在近几年的高考中出现频率非常高.本文结合几道试题介绍几种函数零点的处理方法.1解方程（方程思想）我们把使得f（x）=0成立的实数x,叫作函数y=f（x）的零点.因此,函数的零点与方程有密切的联系.方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的零点（也是函数f（x）图象与x轴交点的横坐标）;且方程f（x）=g（x）的解就是新函数y=f（x）-g（x）的零点,也是函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的交点的横坐标.因此我们可以研究方程或函数图象解决函数的零点问题.例1（2012年湖北理）函数f（x）=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为.     

由高考题引发的对函数极值点教学的一点思考简

对于一般函数的极值点,教学中多借助几何直观,用自然语言给出函数极值点的描述性定义：若函数f（x）图象在点P（x1,f（x1））处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减）,     

说点又非点——由一道高考题说起

题目（2012年江苏高考18题）若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值,则称x₀为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点.（1）求a和     

例析似点非点的三个“点”——零点、极值点、不动点

<正>在高三复习阶段中,许多同学对零点、极值点、不动点的概念容易望文生义,导致一些不必要的错误。一、零点。一般地,我们把函数y=f(x)的值为0的实数x,称为函数y=f(x)(x∈R)的零点。     

三次函数零点个数的判别

定理1 设函数 f（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d（a≠0）的两个极值分别为y1和y2,则f（x）有三个零点的充分必要条件是{b^2-3ac〉0,y1y2〈0.     

函数的零点——高考的亮点

函数的零点是新课标新增内容之一,是函数的重要性质,它是沟通函数、方程、图象的一个重要媒介.因此处理函数零点问题时,需充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法. 函数零点常用等价关系： 1.函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图象与x轴有交点.     

f（x）（x∈A）的值域为[m，M]与m≤f（x）≤M对x∈A恒成立不等价——剖析一道全国高考题的别解

（2008年全国高考全国卷Ⅱ文21） 设a∈R,函数f（x）=ax^3-3x^2． （1）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值; （2）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围．     

用虚设零点法解函数极值问题

解决有关函数极值问题,一般都是通过求导函数的零点求出极值点来实现,然而,有些时候这一招却不灵啦,请看下例: 例1 已知函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个极值点,证明:f(x)的极小值小于-3/2. 分析 第一步:求定义域.函数f(x)=ax2-2x+lnx的定义域为(0,+∞). 第二步:求导.f'(x)=2ax-2+1/x=2ax2-2x+1/x. 第三步:求极值点. 令g(x) =2ax2-2x+1,函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个极值点的必要条件是g(x)=2ax2-2x+1=0当x＞0时有两个不等实根.     

2013年新课标理科卷第21题的解法探究

题目（2013年新课标理科卷第21题）已知函数f（x）＝ex-ln（x＋m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点,求m,并讨论f（x）的单调性;（Ⅱ）当m≤2时,证明f（x）＞0．此题是一道利用函数、导数、不等式知识研究新问题能力的压轴题．     

对北师大版教材《选修2—2》两处知识点的质疑

最近,在北师大版教材《选修2．2》第三章导数应用的教学中,有两处颇具争议的知识点,会误导学生．本文展现出来,以期加以修正． 误导一 极值点一定是导数为0的点 教材第61页归纳的求极值点的步骤：“一般情况下,我们可以通过如下步骤求出函数f（x）的极值点,首先求导,其次解方程f（x0）=0,然后检验x0,左右导数符号来判断x0是否为函数极值点”,从教材归纳求函数极值点的步骤可看出,“函数的极值点一定是导数为0的点!”     

数学解题要从重视数学逻辑开始

1 问题提出 例1（2008年高考数学全国卷文科第21题）设a∈R,函数f（x） =ax3-3x2.（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值;（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）＋f＇（x）,x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.     

函数零点问题的求解策略

使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点．从这个概念可知,函数的零点个数问题实际上就是求方程f（x）=0的实数根的个数．     

一道最值问题的再探究

1问题 （2008年高考数学全国卷文科第21题）设a∈R,函数f（x）=ax^3-3x^2. （I）若x=2是函数y=f（x）的极值点,求a的值;     

6．浙江卷第22题

题目设函数f（x）=（x-α）^2lnx,α∈R．（1）若．x=e为y=f（x）的极值点,求实数α;