边长及角度数均为有理数的三角形问题

我们所常见的三角形 ,三个角度数都是有理数时 ,往往含有无理数的边长 ,而三边长都是有理数时 ,它的三个角的度数又往往不都是有理数 .有没有三个角的度数及三边长均是有理数的三角形呢 ?显然 ,边长为有理数的正三角形就是这样的三角形 .我们要问 ,除了正三角形外 ,还有没有其它三角形也满足这个条件呢 ?本文要证明 ,三个角的度数及三边长均为有理数的三角形只能是正三角形 .先证明下面三个引理 .引理 1　若 cosθ为有理数 ,而 m为整数 ,则 cos mθ也是有理数。证明　只对 m为正整数证明即可 .cos mθ+ isin mθ=( cosθ+ isinθ) m =∑mk=0…     

这样的直角三角形有几个？

马明老师在本刊2001年1、2合刊上发表了题为《边长为连续整数的三角形》一文．文中提出了一个古老的问题，“三边长为连续整数且面积也为整数的直角三角形存在吗?如果存在，有多少个?”文章指出只有一个，这就是边长为3，4，5的直角三角形，它的面积为6，也是整数，问题饶有趣味。     

特殊三角形的探究

小明在一本数学课外书中看到了这样一个问题：是否存在一个三角形,使它的三边长是连续整数,且其中一角是另一个角的2倍？小明试了几个具有特殊角的三角形：①30°、60°、90°;②45°、45°、90°;③36°、72°、72°,发现这些三角形均满足“其中一角是另一个角的2倍”,但三个三角形的三边长都不可能全部是整数,更谈不上是连续整数了．于是小明翻看了答案,答案上说“存在,     

边长为连续整数的三角形

设△ABC的三边长为a、b、‘,那么: (1)如果△ABC是直角三角形,c是斜边,则有 cZ一“2+bZ;(2)如果△ABC是钝角三角形,c是钝角的对边,则有 cZ>aZ+bZ; (3)如果△ABC是锐角三角形,则有 尸<护+夕. 在此基础上可以研究边长为连续整数的三角形. 问一三边长为连续整数的直角三角形存在吗?如果存在,有多少? 分析设三边长为x一1、x、x+1,则有 (x+1)2一xZ十(x一l)2,解得x一4,其三边长为3、4、5,这就是你熟知的“勾三、股四、弦五”,它说明三边为连续整数的直角三角形是存在的,并且只有一个. 问二三边长为连续整数的钝角三角形存在吗?如果存在,有…     

中考的格点相似三角形问题

本文所说的格点三角形是指在正方形的网格中,以方格的顶点为三角形的顶点的三角形.近年来,不少地区就以格点三角形为背景设计格点相似三角形问题.为说明问题,现举例说明.一、判断三角形的相似例1(枣庄市)如图1,小正方形的边长均为l,则在如图2中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()简析因为小正方形的边长均为l,所以△ABC的三边分别是’10、2、’2,且∠ACB=135°,由此我们可以发现只有B图中有一个角是135°,且三边分别是’2、’5、1,所以选B.说明判断正方形网格中的两个三角形相似,通常设小正方形的边长为1,求出三角形的三边,再利用三…     

人教版七年级(下) 第七章三角形

一、选择题(每题3分,共24分)1.下列命题正确的是( ).A.三角形的角平分线、中线及高都在三角形内B.直角三角形的高只有一条C.三角形至少有一条高在形内D.钝角三角形的三条高都在形外2.已知三角形三边的长 a,b,c 均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形的周长为奇数,则第三边长的最小值为( ).A.4 B.6 C.7 D.8     

破解三角形

“△”在甲骨文中,是表示私心的“私”,说“自环为私”.而我们今天把“△”当成三角形的符号,是说至少三边才能组成一个封闭的图形.“△”代表了三角形的主要特征:三条边,三个角,三个顶点.也正是三条边、三个角这6个数据让三角形变化多端,三个顶点让三角形无处可藏.我们在解三角形问题时.就要先找这三个顶点在哪里.特别是在复杂的图形中,找到顶点非常关键,顶点都看错了,就不要忙了.然后,再看6个具体数据或者关系出现了几个,利用它们之间的关系(边与边,边与角,角与角),     

一个开放题素材：整边倍角三角形

1．概念定义及名称约定 定义如果一个三角形的三边均为整数，并且存在一个内角恰为另一内角的正整数倍．我们称此三角形为“整边倍角三角形”．     

伊万斯问题的一个充要条件及应用

R．J．伊万斯1977年在《美国数学月刊》中提出一个问题：“求出所有的整数边三角形，使它的某个高与底边之比为整数．”这一问题被P．K．盖伊收录在其著名的《数论中未解决的问题》一书中．盖伊指出，这个比不能为1和2，但可以为3，例如边长分别为4，13，15的整数边三角形，第一条边上的高为12，并提出问题：这个比能否取大于3的整数？     

“可解三角形”与“需解三角形”

所谓“可解三角形”,是指已经具有三个元素(至少有一边)的三角形;而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形.当一个题目的图形中三角个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型,合理的选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素,并确定解的情况.     

三角形三边关系考点透析

三角形三边关系是三角形一章的重点内容,也是各类考试必考知识点之一,现对本节的考点作如下评析:一、知三角形两边,求第三边的取值范围例1已知两根木棒的长分别是5cm和7cm,要选择第三根木棒,将它们钉成三角形,那么第三根木棒的取值范围是.分析:本题直接利用三角形三边关系定理及推论即可求解.解:设第三根木棒长xcm,由三角形三边关系定理及推论可得7-5相似文献   

“线段的中点”导学

“△”在甲骨中，是表示私心的“私”，说“自环为私”，而我们今天把“△”当成三角形的符号，是说至少三边才能组成一个封闭的图形．“△”代表了三角形的主要特征：三条边，三个角，三个顶点．也正是三条边、三个角这6个数据让三角形变化多端，三个顶点让三角形无处可藏．我们在     

谁对谁错?(初三)

题若直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程mx2-2x-m+1=0的根(m为整数),这样的三角形是否存在?若存在,求出满足条件的所有三角形的边长;若不存在,请说明理由.     

对求整边三角形个数的一点思考

在初中数学教学过程中,我们经常会碰到已知三角形周长,求边长为整数的三角形个数或求三角形的各边长度等问题.对于这样的问题,我们可以用穷举法将所有的情况全部列出,然后利用“三角形两边之和大于第三边”排除不符合要求的“三角形”,进而得到正确的结果.显然求解过程比较繁琐,费时费力,稍有不慎,可能功亏一篑.对于这种类型的问题,笔者进行了一番思考、分析,得出了一种可简化“排除法”过程的方法,以期在今后的教     

例说3:4:5

我们知道,一个三角形有三个内角,三条边,三条高,三条中线和三条角平分钱.如果这些角,边以及线段之比是3:4:5,那么这些三角形有怎样的结果呢?对应的边、线段之比又是怎样的比呢?请看下面的例说. 一、角度、边长之比是3:4:5的三角形 例1 三个内角之比是3:4:5的三角形的三个内角分别是45°、60°、75°。 例2 三边之比是3:4:5的三角形是     

解相似三角形问题易错点辨析

<正>相似三角形是中考的热点之一,考查的知识点主要是相似三角形的判定和性质.不少同学在初学时,常因找错对应边、对应角导致出错,也因考虑问题不全面而导致漏解.一、在运用相似三角形的性质时,找错对应边而致错例1若△ABC的三边分别为3,4,5,△DEF有两边长分别为6,10,而且这两个三角形相似.试求△DEF的第三边长.错解设△DEF的第三边长为x,     

《三角形》全章测试题

一、填空题（每空４分，共３２分）１．已知△ＡＢＣ的两边ａ＝９，ｂ＝２，那么第三边ｃ的取值范围是；如果第三边长为偶数，则第三边长是２．在等腰三角形中，两条边的长分别为４和９，则它的周长是３．如果三角形三条高的交点在三角形的外部，那么这个三角形是．角三角形．４．三角形的内角和等于　　　度，三角形的外角和等于　　　　　　度．５．直角三角形的一个锐角等于２５°，则另一个锐角为　　　度．６．等腰三角形的顶角是４０°，则其中一个底角的度数是．二、选择题（每小题５分，共２５分）１．若一个等腰三角形有一个角是４…     

相似三角形的判定方法应用探究

相似三角形的判定方法有：（1）如果一个三角形三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简单说成“三边对应成比例的两个三角形相似”;（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简单说成“两角对应相等的两个三角形相似”;     

一类美妙的海伦数组

请看下列三角形: 它们有两个特征: (1) 各边长都是整数; (2) 面积也是整数。这种三角形称为海伦(Heron)三角形。其边长构成的数组,如 (5,5,6),(13,20,21),(25,51,52),(41,104,105),…(*)称为海伦数组。将三角形三边由小到大依次记为a_n、b_n、c_n。△_n表示面积,s_n为半周长,h_n为c_n边上的高,p_n为a_n在c_n边上的射影,q_n为b_n在c_n边上的射影。     

三角形成立条件与余弦定理的关系

有这样一个题目:例1 一个锐角三角形的三条边长分别为2,3,x,求x的取值范围.上述解答似乎很完美,也给出了正确的答案,但实际上却忽略了一个重要的不等式,即三角形成立的条件:两边之和大于第三边,或两条较小的边长之和大于最大边.因此完整的正确解答应该添上这个重要的条件,为了看得清楚,重写如下:①若x为最大边.